問題法驅動下“相似三角形的判定”教學活動的實踐

尚衛成 譚曉玲

摘要：問題是認識世界和改造世界的原始動力，數學科目也不例外.本文中以“相似三角形的判定”一課的教學設計為例，結合問題法應用的兩個原則，從“在現實情境中發現數學問題”和“利用新舊知識間的聯系生成和解決問題”這兩個方面探討了在數學單元教學活動中運用問題法的實踐和探索.

關鍵詞：問題法；相似三角形的判定；教學實踐

問題是認識世界和改造世界的原始動力，數學學科也不例外.克萊因強調：“每一個數學分支均是為攻克一類問題發展起來的.”惠州學院數學與大數據學院王海青副教授也曾表示：“高質量的數學活動總是從特定的數學問題開始的.”可見，問題是數學工作開展的基礎，合乎邏輯的數學教學工作也應該圍繞著問題逐步展開［1］.《普通高中數學課程標準（2022年版）》明確指出要堅持以問題為導向，全面梳理課程改革的困難與問題，明確修訂的重點和任務，注重對實際問題的有效回應.為此，教師要充分圍繞問題設計數學教學，為學生提供真實的問題情境，引領學生圍繞問題展開數學探究，以此提高學生的學習熱情，推動數學教學從“形式化”教學模式向“實質化”教學模式轉型.

1 在現實情境中發現數學問題

問題法驅動下的數學教學遵循“從問題到理論”的具體教學原則.教師要從現實情境出發完成數學教學.這里的“現實”主要有兩方面的含義：一是數學各個分支產生的歷史背景，二是數學基礎與學生日常生活實踐的聯系.問題法驅動下的數學教學活動，其驅動模式的關鍵在于教師是否在教學組織時充分考慮到學生的主體地位以及數學問題的創設能否符合真實的現實情境［2］.

教學片段1：

師：面對大數學家泰勒斯的侃侃而談，國王又對泰勒斯發問道“我想知道希臘基菲索斯河的寬度，你不過河可以做到嗎？”泰勒斯點了點頭.同學們知道泰勒斯是怎么解決這一問題的嗎？

生1：應該是運用相似三角形的判定定理吧？

生2：可以在河岸取一條與河道垂直的垂線，再運用相似三角形的判定定理證明兩個三角形的相似關系，進而解出河道的具體寬度.

師：兩位同學說得都很正確，那大家一起嘗試著將真實情境具體到簡單的幾何圖形中吧.我們可以取河岸對面一點A，在河岸邊取點B和C，使點A，B，D共線且直線AD與河岸垂直，過點D作AD的垂線交直線AC于點E，如圖1，AB為河的寬度.那怎么求出線段AB的長度呢？

生9：因為△ABC∽△ADE，在測量出BD，BC，DE的長度后就可以求出AB的長度了.

師：很好，那接下來我為這些線段賦值，大家一起嘗試著做一下.已知BC=120 m，BD=90 m，DE=240 m，則河道的寬度AB是多少？

解：因為∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=∠EAD，所以

△ABC∽△ADE，則

ABAD=BCDE，即

ABAB+BD=BCDE，于是

ABAB+90=120240，

解得AB=90，所以河道的寬度AB大約90 m.

教學反思：教師以真實情境作為問題的支撐，為學生提供了更加形象而具體的想象空間.引導學生展開頭腦風暴，提高學習積極性和主動性.

2 利用新舊知識間的聯系生成和解決問題

初中數學教學過程中，問題法在實際運用時，學生原有的知識結構基礎是非常重要的.因為初中數學的很多知識前后聯系性較強，如果沒有以前的知識基礎，在采用問題法引導時，學生會感到有較大難度.因此，在進行問題法教學時，一定要注意新舊知識之間的聯系，幫助學生回憶，在原有知識基礎上運用問題法實現知識的深化和遷移.

教學片段2：

師：我們已經跟泰勒斯學會了用相似三角形解決生活中的實際問題，那么老師現在想知道我們學校的旗桿的高度，哪位同學有辦法解決呢？

生4：可以利用光線，測量出自己的身高、自己影子的長度以及旗桿影子的長度，這樣就出現了兩個直角三角形.根據相似三角形的判定定理——兩角分別對應相等的兩個三角形相似，就可以知道由旗桿和旗桿的影子構成的三角形與自己身高和自身影子構成的三角形是相似三角形.再根據相似三角形對應邊成比例這一性質，就可以得出旗桿的高度了.

師：這位同學講得非常正確，可以看出同學們已經基本掌握了相似三角形的相關性質，通過情境思考，利用光線構建相似三角形解決問題.

接下來，我們通過案例解析熟練掌握相似三角形的判定定理并將其運算原理遷移到其他生活情境中，在數學教材的支撐下，掌握其中的核心聯系.讓我們來具體聯系一下吧.

例1? 在同一時刻，物體的高度與它自身的影子成正比.在某一時刻，有人測得一高為1.5 m的竹竿的影子長5 m，某一高樓的影子長75 m，那么高樓的高度是多少m？

師：為了正確運用相似三角形的判定定理，同學們應當在解答之前，先嘗試列舉已知、位置、常量、變量等條件，提取重點內容，建立知識框架.

生5：物體的高度和它自身的影子成正比、1.5 m的竹竿影子長5 m、高樓的影子為75 m，以正比例為重點，找到竹竿和高樓之間的聯系，就能計算出最終答案.

師：嗯，特別棒.

生6：設高樓的高度為x m，則x1.5=755，解得x=22.5 （m）.所以高樓的高度為22.5 m.

師：不錯，看來同學們已經掌握了此類題型之間的邏輯關系，能從中提取核心內容.

例2? 如圖2，一名同學直立于旗桿影子的頂端B處，測得該同學的身高BD=1.8 m，其影長CB=2 m，又測得同一時刻旗桿的影長OB=18 m，根據測量數據，求出旗桿的高度AO.

生7：根據圖2可以得出，這是相似三角形判定的經典題型，只要找到兩個三角形之間的聯系，肯定能夠計算出結果.

師：非常正確，同學們要記住，數學知識間是互通的，在每次解題之前，要能找到問題與已學知識點之間的內在聯系，選擇性加以應用，才能摸清問題的來龍去脈.

生8：因為DC∥AB，所以∠ABO=∠DCB.

又∠AOB=∠DBC=90°，所以

△AOB∽△DBC，于是

AODB=OBBC，則

AO=OB×DBBC=18×1.82=16.2.

所以旗桿的高度AO為16.2 m.

師：有理有據，因果明晰，運算步驟不繁瑣，運算結果精準，整體完整性較高，值得表揚.

教學反思：教師在引導學生解決樓房的高度問題后，逐步引導學生應用新學的知識解決問題.加深對所學知識的印象，幫助學生嘗試自主建新舊知識之間的聯系，構建數學知識框架，提高題解的準確性.

教學片段3：

師：同學們已經學會運用鏡子的反射原理，構建相似三角形，并運用相似三角形的判定定理解決數學問題.那接下來，我們一起來探討下面這道題吧.

例3? 如圖3所示，小明將一面鏡子放在離樹（CD）10 m的點O處，然后沿著直線CO后退到點B，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點D，再用卷尺量得BO=3.2 m，而小明的身高為AB=1.6 m，則樹高是多少？你可以解決這個問題嗎？

生9：如圖4，過點O作HO⊥BC，則∠BOH=∠COH=90°，∠1=∠2，

∠AOB=∠DOC.

又∠ABO=∠DCO=90°，所以

△AOB∽△DOC，于是

DCAB=COBO，則DC=AB×COBO=1.6×103.2=5.

故樹高5 m.

師：很好，大家已經充分掌握了運用鏡子構建相似三角形，并學會了運用相似三角形的判定定理解決數學問題.

教學反思：教師以教學片段2中的數學問題為基礎，并提出類似的數學應用問題，以此提高學生對舊知識的應用以及對相似三角形判定定理的理解.

教學片段4：

師：大家能否根據相似三角形的判定定理，幫助泰勒斯尋找其他求河的寬度的方法？

生10：我們可以在河岸邊設置一點A，連接河對岸上的點P與點A，交河岸BC于點O，再過點P和點A分別向BC引垂線，構建相似三角形.

師：這位同學的想法很好，我們一起來實踐一下，看看可操作性強不強.現在請大家判斷圖5中的△ABO與△PCO是否相似？并說明理由.

生11：△ABO∽△PCO.

因為∠AOB=∠POC，∠ABO=∠PCO=90°，所以

△ABO∽△PCO.

師：既然可以證明兩個三角形相似，那么能否運用相似三角形的定義和性質，求出河道的寬度呢？

生12：可以.由△ABO∽△PCO，可得PCAB=COBO，則可求出PC的長.

師：很好，大家已經懂得了相似三角形判定定理的具體應用方法.

教學反思：根據教學片段3的內容，教師對河寬的求解方法提出了新的思路，在原有的解題方法上拓展了學生解決問題的思路.

設計并研究問題法教學在于體現數學的應用價值.一方面，教師要逐步引導學生針對生活中的實際情況提出數學問題，以此引發思考，提高學生的自主探究能力.另一方面，教師要加強新舊知識之間的聯系，引導學生在解決數學問題的同時，拓展解題思路，活躍數學思維.教師要掌握問題法教學的核心，帶領學生感受數學的真正魅力所在.

參考文獻：

［1］余春妹.深挖相似定理，突破問題難點——以函數背景中的相似三角形問題為例［J］.數學教學通訊，2021（23）：86-88.

［2］謝玉平.巧用"構造相似比"解向量與三角形的綜合問題［J］.數理化解題研究，2020（19）：45-46.