“導”出思維過程，“評”促思維進階
——小學數學復習課的思考與實踐

北京市昌平區燕丹學校 張子文

北京教育學院 劉曉婷

數學教學要立足核心素養發展，培養學生的思維能力，幫助學生學會學習。然而，素養、思維、能力都是隱性的，需要通過恰當的活動將其轉化為可觀、可測的行為，進而用有效的教學為其發展搭建階梯。復習課是數學學習中的重要內容，承擔著查漏補缺、深化理解等任務。如何在復習課中既幫助學生厘清知識的脈絡，也能讓學生發現知識的聯系，對學過的內容有更深入的理解，發展思維的全面性、深刻性？六年級平面圖形面積復習課后的一道診斷題引發了筆者的思考，并轉化為探索有效復習課模式的實踐行為。

一、常規復習課后的診斷題引發的思考

案例：復習了，怎么還這么多錯？

六年級期末總復習階段，學生會進行平面圖形內容的復習。教學過程一般是先對平面圖形進行分類，借助分類標準回憶圖形的特征；然后按三角形、四邊形、多邊形的順序，回憶圖形的周長、面積計算公式；最后通過解決問題熟悉圖形特征，鞏固計算方法。常規復習課后的一道診斷題（如圖1）在一定程度上反映了復習的效果。

圖1

該題沒有直接給出高，通過兩條平行線暗示了三個圖形的高是相等的。結構不良的問題容易檢驗學生在解決問題時的表現，特別是對圖形之間關系的理解程度。結果，37%的學生選擇“D 無法比較”，理由是缺少高作為條件；各有15%的學生選擇“A.平行四邊形的面積最大”和“B.三角形的面積最大”，理由是直觀地看出來的；剩余33%的學生選擇“C.一樣大”，但超過一半的學生在訪談中沒有給出具體的理由，另外的學生通過假設一個高度進行計算或者用面積公式推導得到結果。由此可推斷，大部分學生通過常規復習并沒有建立平面圖形之間的聯系。訪談時，學生的反饋更是給教師“潑了涼水”：“都學過的知識又說一遍，既沒有新的收獲，也很沒有意思。”學生對復習課不感興趣，又何談促進思維的提升、素養的發展？

復習課如何更好地展現學生的思維，促進學生的思維進階？筆者結合“平面圖形及其面積復習”一課進行嘗試。

二、用思維導圖和表現性評價促進學生思維進階的嘗試

（一）將思維導圖與表現性評價結合的構想

讓學生展示自己的思考是表現性評價的重要理念。表現性評價可以用于評價學生的認知能力、推理能力以及解決真實問題的能力；可以促進學生復雜思維能力的獲得。同時，它還具備課堂診斷性，可以幫助教師了解學生思維的發展情況、調整教學策略，幫助學生了解自身情況、明確發展目標。

皮亞杰認為，隨著學生學習的知識越來越多，就應該讓學生認清所學知識之間的聯系，主動構建認知圖式。可視化思維導圖是發散思維的表達，可以從直觀圖形的角度刺激學生的形象思維，從知識的結構與關聯的角度刺激學生的抽象思維，使學生建構知識框架，形成結構化思維體系。其作用體現在兩個方面：一是提高思維加工的質量和效率，主要表現為知識覆蓋全面；二是清晰地表征了概念及其相互關系，促進了新舊知識的融合。

基于思維導圖的特性，將其作為表現性評價中的任務形式，特別在單元復習中，學生用直觀、結構化的圖形將知識連接在一起，在分散的知識之間建立關聯，以此引發深度思考。學生繪制出思維導圖后，通過構建表現性評價量規，評析作品，促進思維發展。在本研究中，評價量規關注兩個維度：知識的覆蓋和知識的關聯。

（二）任務設計與量規制訂

1.可觀、可測的行為目標制訂

六年級下冊總復習課將“圖形與幾何”領域分為“圖形的認識”“測量”和“圖形的運動”，其中，“四邊形及其面積的復習”涉及前兩個部分。新課標將“圖形的認識”與“圖形的測量”統整為一個大的主題，說明“圖形的認識與圖形的測量之間有密切的關系”，其目的是幫助學生從直觀認識圖形到量化認識圖形，逐步積累度量經驗，進一步形成量感、空間觀念和幾何直觀。其中，新課標對“四邊形及其面積”內容的學業要求表述為“會計算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應公式解決實際問題”。新課標在“教學提示”中指出：“通過對平面圖形性質的認識，感知數學說理的過程……引導學生運用轉化的思想，推導平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識。”

教師需要將具體的行為目標作為參考，才能評估學生所達到的層次；學生也需要通過比對行為目標，才能明確所在的位置，以及要努力的方向。結合教材內容和新課標的要求，筆者制訂如下教學目標：

（1）能回憶平面圖形的特征，按照一定標準對圖形進行分類，能通過分割、組合等進行圖形之間的轉化；

（2）能回憶出基本圖形的面積公式，畫圖說明面積和三角形、平行四邊形、梯形的底和高有關系；

（3）能運用等積變換解決三角形、平行四邊形、梯形及不規則圖形的面積計算問題。

“說明關系”和“運用等積變換”等都是具體的行為，可以通過學生繪制思維導圖的方式得以充分展現。

2.設計達成目標的學習任務及其評價量規

行為目標與標準明確之后，教師就需要設計表現性任務。對學生而言，表現性任務不僅可以是學習效果評估，還可以是學習經驗。在完成任務的過程中，學生需要思考知識之間的關聯，整理有關的證據，歸納結論并進行推理和證明。表現性任務所涉及的學習過程指向高階思維，有助于學生達成行為目標。

本節課把“繪制平面圖形及其面積知識的思維導圖”作為學習任務。設計任務時，教師要對任務進行描述，指導語要清晰準確、簡單明了，讓學生清楚地知道要做什么、怎么做，如“請你整理學過的平面圖形及其面積的相關知識，用思維導圖把你的想法表達出來”。教師還要對完成任務的過程提出具體要求，以幫助學生了解完成任務時要達成的行為目標（標準），如“要求1：導圖中包含的內容要盡可能地清晰和全面；要求2：哪些知識之間有聯系？用線連起來”。

教師預設學生完成任務時的不同表現，基于SOLO理論對表現結果劃分等級，描述不同等級的典型特征，如表1。

表1 “四邊形及其面積”思維導圖評價量規

量規分為兩個維度，維度一用以評估學生“知識的覆蓋面”，即知識是否全面、豐富，該維度可以充分展現學生對“圖形與幾何”的認識程度。維度一共劃分為三個等級：達到等級1 的學生可以完成知識的簡單羅列，包含了常見平面圖形的特征和面積的計算方法；達到等級2 的學生補充了更多的信息，如組合圖形及其面積的計算方法，如圖2 所示，其中包含圖形轉化過程（割補）等內容，比簡單地羅列平面圖形知識思維水平更高；達到等級3 的學生則構建了更復雜的知識網絡，如圖3 所示，其中包含了邊或角等圖形組成元素的特征和平面圖形之間的包含關系等內容，學生的知識覆蓋面更廣，他們對圖形特征的理解更深刻。

圖2

圖3

第二個維度用以評估“知識的聯結”，即是否理解平面圖形之間的變化關系，而圖形與圖形之間的關系恰恰是本節復習課的重點內容。該維度分為兩個等級：等級1 的學生只把平面圖形的內容零散地分布在圖中，沒有建立圖形之間的聯系；等級2 的學生可以抓住底和高兩個要素，在不同圖形之間建立轉化關系，如圖4所示，“箭頭”說明學生基于圖形特征進行了推理，建構了不同圖形面積公式之間的聯系，該等級的學生具備了理解圖形與圖形關系的抽象能力。

圖4

（三）應用量規促進學生思維進階

開展基于表現性評價的課堂教學，促進學生思維進階的關鍵是量規的使用。在課堂教學的實施中，匯報交流可分成全班分析和小組互評兩個環節。在全班分析環節，教師根據巡視情況，按照水平等級分別展示學生的作品，在全班分析及評價的基礎上，滲透量規的評價標準。在小組互評環節，因為有了評價的標準，學生就可以對同組成員的作品做出基于標準的客觀評價。通過小組互評，學生可以獲得反饋，從而修改自己的導圖，在反思中促進思維的提升。

例如，當學生展示了圖2，教師根據評價量規，判斷出該學生處于維度一的等級2。此時，教師可以對學生進行適當的評價，引發學生思考。

師：我看到你的作品中不僅有平行四邊形、梯形和三角形的內容，還提到了組合圖形，以及組合圖形面積的算法。能把這些知識串聯起來，說明你進行了充分的思考。如果讓你把這些圖形分類，你會怎么分呢？仔細觀察這些圖形面積轉化的方法和計算公式，你還有什么發現？

生：我可以用“邊的數量”來分類，三角形是三條邊，平行四邊形和梯形都是四條邊，那長方形和正方形也可以放到四邊形里。計算面積時，我們都是先把其他圖形變成平行四邊形，比如，兩個（完全相同的）三角形或梯形就可以拼成一個平行四邊形，而且，我還想到平行四邊形是從長方形（等積轉化）得來的。

師：你的想法特別有意思，一下就幫助我們打開了思路。這里還有幾份作品，大家看看能表達出他剛才的思考嗎？

生（看過其他學生的作品后）：我發現他們都把圖形進行了分類，比我的更全面。而且，我還發現，計算面積時都是先轉化成長方形，所以，公式都可以用“a×b”表示，只不過計算不同圖形的面積時要有調整。

上述教學過程說明了“判斷表現”與“交流反思”的重要性。教師給學生提供與任務相匹配的評價量規，根據既定的量規來觀察學生的行為表現，以此掌握學生的學習效果，然后給予有針對性的指導。同時，學生在完成任務的過程中比對量規進行自我評估，或者在匯報交流時給予同伴有效評價，讓思維在碰撞中得以提升。

三、思考與啟示

學生借助思維導圖進行深度學習，既構建了比較完整的平面圖形知識的體系，又發現了平面圖形面積之間的轉化關系，為發展空間觀念提供了機會。課后，教師用同樣的診斷題對班級同水平的學生進行了診斷，結果發現超過90%的學生選擇“C.一樣大”，大部分學生能基于“圖形特征和圖形之間的聯系”解釋其過程。（如圖5、圖6）

圖5

圖6

通過上述研究，筆者得到如下思考：

第一，“思維導圖”是學生整理知識、展示思維的載體。

復習課更應該關注學生反思與質疑能力的提升。筆者經常聽到學生說：“我不喜歡上復習課，都學過了，太沒意思了。”而實際情況卻是“以為會，但實際漏洞不少”。復習課的意義就在于幫助學生整理與反思，讓知識重新梳理完整并建立知識之間的聯系。在繪制思維導圖的過程中，學生不斷回憶零散的知識，并將知識進行歸類整理，甚至構建聯系，在面對復雜問題時，就能夠產生聯想，找到解決問題的突破口。

第二，用好表現性評價量規，能促進學生思維進階。

學生思維進階的關鍵是他人反饋和自我反思。基于表現性的學習活動使隱性的思維過程顯性化，為交流和反饋提供了素材。指向目標的表現性評價量規為評價提供了標準，教師可以借助標準對學生進行評估，學生也可以進行自我評估和互相評估，明確前進的方向。教師根據學生的情況，恰當地選擇切入點，引發學生自我反思，乃至實現全班不同觀點的分享和討論，為深度學習提供了素材，促進學生思維的進階，發展其核心素養。