基于光學衍射神經網絡的拉蓋爾–高斯光束識別

摘要：拉蓋爾–高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束除了軌道角動量（orbital angular momentum，OAM）維度外，還擁有徑向量子數 ，因此 LG 光束可以為光通信和光計算等應用提供更多的物理自由度。但目前常見的干涉、衍射機制的 LG 光束模式探測方法在受到大氣湍流的干擾時，識別準確率會明顯下降，從而限制了其實際應用。提出了一種基于衍射神經網絡（diffractive neural network，DNN）的 LG 光束識別方式，實現了p在1～3范圍內的識別。即使在強湍流強度，衍射距離為5m 的情況下，該識別方式的識別準確率依然能達到95% 以上。該 DNN 方法能夠為準確識別 LG 光束模式提供有效途徑，在大容量 OAM 通信、高維量子信息處理等方面均具有潛在應用價值。

關鍵詞：拉蓋爾–高斯光束；軌道角動量；大氣湍流；衍射神經網絡

中圖分類號：O438.2文獻標志碼：A

Laguerre-Gaussian beam recognition based on optical diffractive neural network

HE Yu1，2，CHEN Long1，2，HU Xiaonan1，2，LUAN Haitao1，2

（1. Institute of Photonic Chips， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai200093， China;2. School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai200093， China）

Abstract： Laguerre-Gaussian （LG） beams possess radial quantum number p in addition to orbital angular momentum （OAM） dimension， and thus LG beams can provide more physical degrees of freedom for applications such as optical communication and optical computing. However， the recognition accuracy of the LG beam pattern detection method， which is commonly used by interference and diffraction mechanisms， is significantly reduced when it is disturbed by atmospheric turbulence （AT）， which limits its practical application. We propose a diffraction neural network （DNN）-based LG beam recognition method that achieves p in the range of1-3. Even in the case of strong turbulence intensity and diffraction distance of5m， the recognition accuracy still reaches more than95%. This DNN method can provide an effective way to accurately identify LG beam patterns， and has potential applications in high-capacity OAM communication and high dimensional quantum information processing.

Keywords： Laguerre-Gaussian beam； orbital angular momentum； atmospheric turbulence；diffraction neural network

引 言

1992 年，Allen"等[1] "發現具有特殊螺旋波前 " exp（ilφ）"的 渦 旋 光"束"，"其"中 "l 表 示"拓"撲"荷"""（topological charge"，TC），"φ 表示圓柱坐標系中""的方位角，"其攜帶的每個光子的軌道角動量""（"orbital"angular"momentum"，"OAM）為"l?"， ""? 表""示普朗克常數。由于光束截面的相位奇異性，"OAM"呈現出“暗中空”的強度分布，并且在空""間上具有無限的維度正交[2]。這些空間變化的場""分布賦予了 OAM"許多獨特的光學功能，使其可""以被廣泛應用于光通信[3]、量子信息處理[4]、全""息[5-8]"等方面。

拉 蓋 爾"– 高"斯（"LG）光"束"是"一"種"特"殊 的""OAM"模式，"它不僅具有角量子數 l"，還具有徑 "向量子數"p"，這意味著 LG"光束可以在提高通信""容量和調制能力方面提供額外的物理自由度[9]。"但是，對于 LG"光束中徑向量子數"p"的高效精準""檢測一直是亟待解決的難題。目前，"已經出現許""多探測 LG"光束模式的方法，例如，參考光場與""物光干涉[10-12]、各種衍射技術[13-15]、傾斜雙凸透""鏡[16]"等。必須指出的是，"上述方法存在模式檢 "測范圍小和衍射效率有限的問題。另外，"由于光""學系統的不對準以及環境擾動引起的相位失真，"更容易導致探測"LG 光束模式性能的嚴重下降。如""在涉及自由空間光通信的實際混合復雜空間模式""中，普遍存在的大氣湍流（atmospheric turbulence，"AT）就成為了一個棘手的問題[17]。

神經網絡（neural network ，NN）由于其強大 的數據處理能力， 已經被廣泛應用于計算機視 覺[18]、語言處理[19] 和光學信息處理[20-21] 等領域。 2019 年以來， 相關研究團隊通過卷積神經網絡 （convolutional neural network ， CNN）實 現 了 對30 階 OAM 模式的 LG 光束的高精度識別。在AT 的影響下，這些 LG 光速傳播 50 m，系統對其仍然保持著高于 89% 的識別準確率[22] 。2021年， 本研究團隊使用衍射神經網絡（diffractiveneural network ，DNN）實現了對 768階 LG 光束的模式識別， 且準確率高達 95%[23]。最近， 基于衍射實現三維空間神經元鏈接的光學 DNN 得到廣大研究者的青睞[24] 。DNN 可以以光速、近乎無能耗地實現深度學習， 已被廣泛應用于全光學圖像分析、特征檢測和對象分類中。其中，互 補 金 屬 氧 化 物（ complementary metal oxidesemiconductor ， CMOS）集成 D2NN 芯片被證明可以用于處理相位信息， 獲取 Zernike 系數[25]。因此，復振幅波前調控能力為 LG 光束模式的探測提供了新的思路。

采用 DNN 的架構，通過觀測輸出光強的空間位置，實現了對 LG 光束模式的識別。概念圖如圖 1 所示。設計了一個 3 層的 DNN 模型， 當輸入間隔 Δl = 1 ，Δp = 1 的 LG 光束模式時， 發現網絡能夠對其進行很好地識別，計算準確率高達 99%。進一步模擬、分析實際光路中存在的環境因素、系統誤差以及各方面影響因素對該模型的影響，優化 DNN 模型，提升其魯棒性。具體操作為，在光束的傳播路徑中插入隨機相位來模擬 AT， 并且在不同的 AT 強度下傳輸 5 m。結果顯示， 在 AT 強度 C = 3根 10-13 m-2/3 情況下，識別準確率超過 95%，說明 DNN 模型具有較強的抗干擾能力。

1 """基于 LG 光束識別的 DNN"網絡

1.1 """拉蓋爾–"高斯光束

LG"光束是亥姆霍茲方程在緩變振幅近似下"的一個特解，可以表示為

式中："Cpl"為常數； w0"為基模束腰半徑； l 為角 "量子數； p 為徑向量子數，可取任意非負整數；"r 為光斑半徑； φ 為圓柱坐標系中的方位角； ? "為古伊相位。"""w（z） 和"? 分別為

采用 Python 編寫程序，將式（1）的模型展示出來， 給出了拓撲荷數 l 為 1～3，徑向指數 p為 1～2 的 LG 光束模擬光強和相位分布， 結果如圖 2 所示。

1.2 """大氣湍流模型及其影響

當光束在大氣中傳播時，它將在空間和時間 上受到大氣壓強、溫度的影響，從而導致信道產 生起伏。并且存在于大氣中的氣體分子和雜質會 對光束的傳輸產生散射和吸收等作用，從而導致 光束發生質心漂移、波前擾動和強度變化。這些 因素會對自由空間光通信系統會造成不利的影 響。因此，為了確保光通信系統的效率，需要深 入研究大氣湍流的物理原理，并了解不同的湍流 程度對光束的影響。

Davis[26]"根據大氣折射率結構常數 Cn（2）數值的大小，將大氣湍流劃分成 3 種：強湍流，"Cn（2）"gt;2.5 """10-13"m-""；"中湍流，"6.4 """10-17"m-"n（2）"lt;2.5 """10-13"m-""；"弱湍流，"Cn（2）"lt; 6.4 """10-17"m-""。

為了模擬更加真實的大氣湍流影響，"采用"了 Ochs"等"[27] "提出的大氣湍流功率譜密度函數模型

將 LG 光束在大氣湍流中傳輸的過程模擬成 LG 光束經過一個厚度忽略不計的大氣湍流相位屏，進行相位調制。相位調制是將一個隨機矩陣 C 與大氣相位功率譜密度函數模型相乘后，再進行傅里葉逆變換得到的， 以實現隨機和濾波處理的效果，其表達式為

式中："N"是設置的總采樣點數；"Δx 是它的采"樣間隔； "φ"（kx"，"ky"）是相位功率譜密度函數。

如圖 3 所示，不同 AT"參數對 LG"光束影響不同，"在實際傳播中不可以忽略不計。

1.3 """用于 LG 光束識別的 DNN"網絡

根據文獻 [24]，本文給出如圖 4（a）所示的 DNN 網絡模型制備流程圖。 DNN 模型主要分為 3 部分：分別為輸入層、輸出層和隱藏層。其中輸入層和輸出層對應相應的輸入光場和輸出光場，隱藏層則是變量優化層，可以是振幅型、相位型或者復振幅型。每層神經元之間通過角譜理論衍射傳播連接。具體衍射表達式為

是自由空間的傳遞函數； A0 是輸入平面， 即 LG 光束的頻譜， 由輸入平面的光場 U0（x，y， 0） 作 傅里葉變換獲得。

接著， 對通過 DNN 訓練后網絡識別 LG 光 束的整體過程做詳細描述。首先，選取分辨率為 256x256 ， 單個像素大小 12.5 μm， 光波波長 633 nm 作為網絡的基本參數。其次，利用 LG 模 型生成 l 為 1～3 和 p 為 1～3 的 9 階不同模式作 為網絡的輸入光場。網絡的輸出光場如圖 4（b） 所示，規定目標區域外環代表 l 的識別， 內環代 表 p 的識別。通過搭建 3 層相位變量層作為網絡 對光場的調制層， 并且每層之間的傳播距離為 150 mm。接著，使用均方誤差 MSE 作為損失函數 來 衡 量 DNN 輸 出 層 光 強 s+1 與 標 簽 真 值g+1 之間的差異，其表達式為

式中， K 表示輸出平面的測量點數。

本文設置目標函數為 nE （φ）來優化 DNN設計。應用誤差反向傳播和下降梯度法來訓練 DNN， 損失函數對 DNN 網絡的誤差梯度表達 式為

網絡在設置學習率為 0.01 的條件下，經過 2 000 次的迭代優化后，相 應相位變量層參數已被更新完畢， 同時損失函數得到收斂， 最終得到預期光場。如 圖 4 所示， 當網絡輸入 LG（l 為 1～3，p 為 1～3）經過圖 4（d）中的 3 層相位后得到如圖 4（e）所示的光強分布。

1.4 """用于 AT影響下 LG 光束識別的 DNN"網絡

由于大氣湍流在實際中的影響無法忽略， 因此 本 文 選 取 3 種 不 同 強 度 的 C（弱 湍 流 C =2x 10一19 m一 ， 中湍流 C = 5x 10一15 m一 ，強湍流 C = 3x 10一13 m一 ）來進行衍射 LG 光束 DNN識別的模擬，見圖 5（a），（d）和（g）。

由于 LG 光束在衍射過程中光的波前會擴散， 也就是說， 原來平行的光線會變成在不同方向上發散的光線，從而導致在屏幕上形成一個光斑， 并且這個光斑會隨著距離的增加而變大。過大的光斑對計算機的訓練會造成巨大的挑戰，因此，為了能對 AT 影響下的衍射 LG 光束進行 DNN 識別，需要對 LG 光束做預處理操作。

步驟一， 選取像素個數 1 280x 1 280 ，像素大小 12.5 μm，光波波長 633nm 作為 LG 光束預處理的基本參數。

步驟二，在選取的參數下，依據 LG 模型生成所需的 9 階 LG 光束（ l 為 1～3 和 p 為 1～3）的光場分布。

步驟三， 在每種不同強度參數下， 隨機生成 40 個大氣湍流相位屏，作為每一階 LG 光束在自由空間傳播 5 m 中的 AT 影響。如此操作，生成的 1 080 張 LG 光束圖像作預處理后的輸入光場。

步驟四，不同 LG 光束通過角譜理論自由傳輸 5 m后得到對應的輸出光場。

步驟五， 由于所得輸出光場尺寸較大，為了滿足之后的 DNN 搭建的輸入要求，將衍射后光場經過 4f 縮束系統后，得到最終的光強和相位分布， 并截取以中心為準的 256x256 像素的區域作為 DNN 搭建的輸入光場，見圖 5（a），（d）和（g）。

將 預 處 理 后 的 每 類 360 張 光 場 分 布 作 為DNN 模型輸入光場，具體每類選取 288 張圖片作為訓練集， 剩下的 72 張作為測試集。經過2 000 次反復迭代，最終得到預期光場，如圖 5（c），"（f）和（i）所示。

分析了每類 AT 影響下的識別準確率， 如圖 6 所示，訓練過程隨著迭代次數的增加，模式識別測試機的準確度穩步上升。可以看到在 250次左右， 3 種湍流下的識別準確率分別達到了100% ， 100% 和 95%。由于強湍流影響下的 LG模式光場（振幅及相位）發生較大畸變，DNN 對其的識別準確率相比其他強度的影響存在明顯下降。

2 討 論

2.1 相位層個數影響

當網絡參數固定后，為了驗證 DNN 深度信息，即層數對結果預測能力的影響，分別使用1層、2層、3層和4層的4種深度信息對網絡進行訓練。經過2000次的訓練后，最終得到不同層數下的識別準確率（如表1所示）。從1層增加到3層時候，識別準確率從88.9% 升到97.2%，可見在所選取參數下，衍射器件層數增加對神經網絡信息處理能力是有正向影響的。但當層數增加到4層的時，準確率不再升高，這說明深度信息已經飽和，再多的層數也不會使網絡性能進一步提高，甚至還會使得網絡性能下降。因此認為，網絡在完成某項任務的時候所需要的神經元個數是存在最優值的，少了不能實現好的約束結果，多了在神經網絡訓練過程中會引入了冗余不可控自由度，可能造成神經網絡性能下降。

2.2 相位層對準誤差

由于光路的不準直等因素很有可能導致系統無法取得理想的效果，為了探究對準誤差對DNN 模型識別 LG 光束的影響，將光束偏移12.5～62.5μm，以此來模擬實際光路中對不準的情況。結果如表2所示，識別準確率由最初的100% 驟減至38.4%。

為了避免偏移對網絡的影響，將光束的偏移引入 DNN 中一同訓練。在光束預處理步驟五中，選取偏離中心90個像素點（1.125mm）的4個方向，如圖7（a）所示，將其作為訓練集代入訓練。經過2000次的反復迭代，得到了新的相位信息，見圖7（b），對應的輸出光場如圖7（c）所示。模擬結果表明，LG12、LG23和 LG31經過迭代后的相位層后，最終輸出光場的識別準確率提升至92%。由此可見，DNN 具有良好的適配性。

3 結 論

提出了一種 DNN 輔助的 LG 光束模式識別。用 LG 光束模式強度圖來訓練 DNN，成功快速地識別了 l 為1～3和 p 為1～3的 LG 光束模式，訓練后的 DNN 模型在不同 AT 環境下均具有良好的識別能力。為了探究神經網絡深度信息對 DNN 的影響，測試了1～4層衍射層 DNN對 LG 模式識別的準確率，發現在所選取參數下，3層能達到最佳識別準確率。因為 DNN 在LG 模式探測時具有魯棒性，在構建 DNN 時將光束的偏移考慮到訓練參數中，以此來對抗外界因素所帶來的影響。未來，本研究可能在光通信、量子通信等領域顯示出巨大潛力，同時也為人工智能光學芯片的研究做好鋪墊。

參考文獻：

[1]ALLEN， L， BEIJERSBERGEN， M W， SPREEUW， R，et al. ， Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes[J].Physical review A，1992，45（11）：8185.

[2]FORBES A， DE OLIVEIRA M， DENNIS M R.Structured light[J]. Nature Photonics，2021，15（4）：253–262.

[3]YAN Y， XIE G D， LAVERY M P J， et al. High capacity millimetre-wave communications with orbital angular momentum multiplexing[J]. Nature Communications，2014，5：4876.

[4]LEACH J， JACK B， ROMERO J， et al. Quantum correlations in optical angle-orbital angular momentum variables[J]. Science，2010，329（5992）：662–665.

[5]REN H R， BRIERE G， FANG X Y， et al. Metasurface orbital angular momentum holography[J]. Nature Communications，2019，10（1）：2986.

[6]FANG X Y， WANG H J， YANG H C， et al.Multichannel nonlinear holography in a two dimensional nonlinear photonic crystal[J]. Physical Review A，2020，102（4）：043506.

[7]REN H R， FANG X Y， JANG J， et al. Complex amplitude metasurface-based orbital angular momentum holography in momentum space[J]. Nature Nanotechnology，2020，15（11）：948–955.

[8]FANG X Y， YANG H C， YAO W Z， et al. High dimensional orbital angular momentum multiplexing nonlinear holography[J]. Advanced Photonics，2021，3（1）：015001.

[9]HE Y L， LI Y， CAI Y， et al. A full-duplex100-GHz radio-over-fiber communication system based on frequency quadrupling[J]. Optik，2018，175：148–153.

[10]HARRIS M， HILL C A， TAPSTER P R， et al. Laser modes with helical wave fronts[J]. Physical Review A，1994，49（4）：3119–3122.

[11]BASISTIY I V， SOSKIN M S， VASNETSOV M V.Optical wavefront dislocations and their properties[J].Optics Communications，1995，119（5/6）：604–612.

[12]OSTROVSKY E， COHEN K， TSESSES S， et al.Nanoscale control over optical singularities[J]. Optica，2018，5（3）：283–288.

[13]NARAG J P C， HERMOSA N. Probing higher orbital angular momentum of Laguerre-Gaussian beams via diffraction through a translated single slit[J]. Physical Review Applied，2019，11（5）：054025.

[14]FERREIRA Q S， JESUS-SILVA A J， FONSECA E J S， et al. Fraunhofer diffraction of light with orbital angular momentum by a slit[J]. Optics Letters，2011，36（16）：3106–3108.

[15]AMBUJ A， VYAS R， SINGH S. Diffraction of orbital angular momentum carrying optical beams by a circular aperture[J]. Optics Letters，2014，39（19）：5475–5478.

[16]LIU P， CAO Y Q， LU Z H， et al. Probing arbitrary Laguerre-Gaussian beams and pairs through a tilted biconvex lens[J]. Journal of Optics，2021，23（2）：025002.

[17]WILLNER A E， HUANG H， YAN Y， et al. Optical communications using orbital angular momentum beams[J]. Advances in Optics and Photonics，2015，7（1）：66–106.

[18]GOODFELLOW I J， BULATOV Y， IBARZ J， et al.Multi-digit number recognition from street view imagery using deep convolutional neural networks[J].arXiv preprint arXiv：1312.6082，2013.

[19]GU J X， WANG Z H， KUEN J， et al. Recent advances in convolutional neural networks[J]. Pattern Recognition，2018，77：354–377.

[20]LOHANI S， KNUTSON E M， O’DONNELL M， et al.On the use of deep neural networks in optical communications[J]. Applied Optics，2018，57（15）：4180–4190.

[21] ZAHAVY T， DIKOPOLTSEV A， MOSS D， et al.Deep learning reconstruction of ultrashort pulses[J].Optica，2018，5（5）：666–673.

[22]WANG P P， LIU J M， SHENG L J， et al. Convolutional neural network-assisted optical orbital angular momentum recognition and communication[J]. IEEE Access，2019，7：162025–162035.

[23]LUAN H T， LIN D J， LI K Y， et al.768-ary Laguerre Gaussian-mode shift keying free-space optical communication based on convolutional neural networks[J]. Optics Express，2021，29（13）：19807–19818.

[24]LIN X， RIVENSON Y， YARDIMCI N T， et al. All optical machine learning using diffractive deep neuralnetworks[J]. Science，2018，361（6406）：1004–1008.

[25]GOI E， SCHOENHARDT S， GU M. Direct retrieval of Zernike-based pupil functions using integrated diffractive deep neural networks[J]. Nature Communications，2022，13（1）：7531.

[26]DAVIS J I. Consideration of atmospheric turbulence in laser systems design[J]. Appl Optics，1966，5（1）：139–147.

[27]OCHS G R， HILL R J. Optical-scintillation method of measuring turbulence inner scale[J]. Applied optics，1985，24（15）：2430–2432.

（編輯：李曉莉）