對2022年高考物理遼寧卷第14題的深入分析

摘 要：文章對2022年高考物理遼寧卷進行剖析，將小球在復合場中的運動作為類拋體運動處理并進行相關問題的解答；適當改換題設條件，將原高考題目變式為物理材料背景相近，考查知識點類似的變式，并對給出的變式進行分析解答.

關鍵詞：彈簧；光滑軌道；機械能守恒；復合場；類拋體運動

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0104-04

從一道與類拋體運動內容有關的高考題目說起.

例1 （2022高考物理遼寧卷第14題）如圖1所示，光滑水平面AB和豎直面內的光滑1/4圓弧軌道在B點平滑連接，導軌半徑為R.質量為m的帶正電小球將輕質彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，脫離彈簧后經過B點時的速度大小為√gR，之后沿軌道BO運動.以O為坐標原點建立直角坐標系xOy，在x≥-R區域有方向與x軸夾角為θ=45°的勻強電場，進入電場后小球受到的電場力大小為√2mg.小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度為g.

求：（1）彈簧壓縮至A點時的彈性勢能；

（2）小球經過O點時的速度大小；

（3）小球過O點后運動的軌跡方程.

1 試題簡評

這道題目是2022高考物理遼寧卷的第14題，也是整份試卷的倒數第二題，處于壓軸題目的重要位置：人們通常把一份試卷中題目難度相對較大、所占分值比例相對較高的最后兩三道題目稱之為試卷的壓軸題，它是拉開不同能力考生分數差距的題目，所以格外受到人們的關注.題目設置的物理情景是壓縮的彈簧將帶電小球以一定的速度推入勻強電場，之后在電場和重力場形成的復合場中運動，這樣設置問題把力學和電學中的多個知識點有機結合，可以綜合考查學生對電場力、能量守恒定律、動能定理、牛頓運動定律、平拋運動規律及其相關知識點的掌握情況，以及靈活應用物理知識解決復雜物理問題的能力［1］.題目內容不長，只有二百多字符的內容，但卻把與所求問題相關的物理情景交代得清楚明白，通讀題目一遍，即可明晰對應的物理過程，不存在任何歧義或費解之處，體現了編者高超的原創題目的編擬水平.

2 試題解析

解析 （1）因為水平地面AB是光滑的，所以，在小球與彈簧接觸并受彈簧彈力而運動的整個過程中（包含小球剛要脫離彈簧的時刻），小球與彈簧組成系統的機械能守恒，

（2）帶電小球由B點離開水平面，進入電場所在的空間之后，不僅受到自身重力的作用，而且受到電場力的作用，受到這兩個力的情況如圖2所示.顯然，小球所受重力和電場力的合力方向水平向右，大小等于小球重力mg，1/4圓弧軌道BO位于方向水平向右的復合場中——重力場和電場形成的復合場，在此復合場中，小球沿光滑軌道由B“右落”至O點時，以y軸所在的豎直面為復合場的零勢能參考面，小球的機械能守恒，所以，小球在O點時的速度vO滿足：

（3）因為復合場的方向水平向右，所以，小球于O點離開光滑圓弧軌道進入復合場所在的第一象限后，作類平拋運動，運動軌跡如圖3所示.由圖2可知，類平拋運動中方向水平向右的“類拋體重力加速度”大小與重力加速度大小相同，也為g，所以，小球的運動軌跡是頂點在坐標原點，開口向右的拋物線.以小球離開O點的時刻為0時刻，時間t后，小球在坐標系內的橫、縱坐標分別為：

兩式結合，消去t可得到小球的運動軌跡方程為y2=6Rx.

3 試題變式

可以發現，上面的這道高考題目給出的數據條件非常的“湊巧”——其中一點是勻強電場的方向剛好與水平面成45°角的“巧”，另一點是“進入電場后小球受到的電場力大小為2mg”，電場力大小剛好為小球重力大小2倍的“巧”，正是這些“巧”的搭配，才使復合場的方向是水平向右，才會有小球離開軌道之后，在復合場中的運動軌跡是對稱軸平行于x軸，開口向右拋物線的“巧”［2］.當然，這些“湊巧”的數據肯定是編者精細設計的結果，可以使確定小球運動軌跡方程的過程不至于過難.

實際上，對于這道高考題目，在保持原來的物理情景（包含題設建立的物理模型）基本不變的情況下，適當改換題目條件，可以得到與這道高考題目考查知識點類似但難度更高的不同變式來.

例2 （2022高考物理遼寧卷第14題變式）.如圖4所示，光滑水平面AB和豎直面內的光滑1/4圓弧軌道在B點平滑連接，導軌半徑為R.質量為m帶正電荷的小球將輕質彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，脫離彈簧后經過B點時的速度大小為gR，之后沿軌道BO運動.在過B點豎直平面右側區域有水平向右的勻強電場，進入電場后小球受到的電場力大小為3mg.小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度為g.求：（1）彈簧壓縮至AS中點時的彈性勢能（S為水平彈簧自然長度下小球的位置）；（2）小球經過O點時的速度大小；（3）小球離開軌道后的最小速度；（4）判斷小球脫離軌道后電勢能最大時的位置.

分析 跟原來的高考題目相比，這道變式題目的物理情景基本相同，不同點是電場方向由原來的與水平面成45°角的斜向上方向更改為水平方向，同時將小球所受電場力由原來2mg改換為3mg，最后題目所求的問題也作了適當調整.這樣更改題設之后，解題的難度將比原來增大一些.

解析 作出帶電小球在電場中僅受重力和電場力的受力示意圖，如圖5所示.易知，這兩個力的合力方向斜向下，與水平面成30°角，合力大小為F合力=2mg，所以，物體在復合場中的受力情形，可以等效為“等效重力場”中的受力情形，其“等效重力加速度”的方向即為圖5中的合力方向，“等效重力加速度”大小為g′=2g.

（1）小球壓縮至AS的中點時，彈簧的形變量是小球由S壓縮到A點時形變量的一半，所以，彈簧的彈性勢能是小球壓縮到A點時彈簧彈性勢能的1/4：

（2）因為圓形軌道是光滑的，所以小球在B點離開彈簧，進入由重力場和電場組合而成的復合場之后，其機械能守恒（這里的“機械能守恒”指的是等效重力加速度為g′=2g的等效重力場中小球的機械能守恒，在“等效重力場”中物體的“等效重力勢能”等于物體質量、物體的相對高度和“等效重力加速度”的乘積）.過O點作垂直于“等效重力加速度”方向（即CP方向）的垂線ON交圓形軌道于N點，如圖6所示（為避免無關線條的干擾，圖6中水平向右的電場線沒有畫出），過B作BM⊥ON，垂足為M，顯然，OM為等效重力場中的“等效水平面”.

兩方程結合消去y，得到一個關于x的一元二次方程4/3（23-1）Rx2+b=0，令根的判別式Δ=0得b=0，所以，拋物線的豎直切線方程為y=3/3x，與拋物線的切點為坐標原點O，即，小球在剛離開軌道時的電勢能最大.

應該說，我們上面通過聯立方程組的方法進行推理得出結論的過程，雖然是可行的，但過于麻煩.還可以通過簡單的邏輯推理，得出小球在剛離開圓弧形軌道時電勢能最大的結論.因為小球是離開圓形軌道后在復合場中作拋物線軌跡運動的，所以拋物線與圓形軌道連接點O是兩曲線相切的切點，因為圓形軌道在O點的切線是豎直的，所以拋物線軌跡在O點的切線也將是豎直的，而拋物線豎直的切線只有一條，所以O點是小球運動軌跡中水平向右電場內最靠左邊的點，因此小球在O點的電勢能最大.

實際上，如果該變式題設軌道圓弧設置的不是1/4圓弧，而是比這個稍微長一些.比如設置為1/3圓弧，小球離開圓弧形軌道在復合場中的運行軌跡依然是拋物線，那么，圓弧上端點位置該圓弧的切線（也是小球運動軌跡拋物線在該點的切線）就不再豎直.換句話說，拋物線的豎直切線就不再過原點，在此情況下確定小球電勢能最大的位置，就只能通過聯立方程組的方法進行判斷了.

4 結束語

2022高考物理的第14題，巧妙設置物理模型，將力學與電學中的多個知識點有機結合起來，可以綜合考查學生對彈性勢能、機械能守恒、拋體運動等公式的掌握情況，以及靈活應用物理知識解決復雜問題的能力［3］.適當改換題設條件，可以得到與原高考題目材料背景相近，考查知識點類似的不同變式，通過對變式的解析，可以使學生對同類物理問題有更為深入的理解.

參考文獻：［1］ 崔軍，鄒建光.深度分析高考試題 提升學生思維能力：對高考試題中拋體運動和類拋體運動問題的分析[J].中學物理教學參考，2020（8）：65-67.

[2] 王磊，陳建文.斜面上定向拋體運動的初速度放大鏡效應[J].物理教師，2019（6）：84-86.

[3] 任亦心.面積法妙解類拋體運動[J].數理化解題研究，2017（4）：73.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：王偉民，中學高級教師，從事高中物理教學研究.