基于大概念的微專題構建探索
——以“不等式與數軸”為例*

潘麗莎 (江蘇省徐州市開發區中學 221001)

1 大概念的提出

傳統知識本位的教與學的結構表現為從部分到部分:學科被分成若干章節,章節被分為若干知識點,每個知識點都被分別處理.支離破碎的教學使學生失去了將事實和觀察聯系起來,并利用當前的知識進行解釋的機會.為了應對未來的挑戰,學生需要整合知識、經驗、學科的核心要素,并在正確價值觀的引領下實現問題的解決,這種整合和聯系的訴求對課程與教學本身提出了新要求.

《義務教育數學課程標準(2022年版)》要求通過合適的主題整合教學內容[1],即圍繞數學的核心概念、主題、問題來組織架構,提煉出大概念,并從多個角度加以表征,讓知識在真實復雜的情境中得到運用.因此,選擇少量主題作為核心線索進行內容整合,即圍繞“大概念”實施教學,為素養本位的課程建設提供了新的視角.使用大概念統整課程內容,能夠有效促進學科課程體系建構[2].

從加涅的學習條件理論看,學習的外部條件主要是教師如何組織教學內容(即對教材的處理),采用什么樣的教學方式、方法和手段把知識傳授給學生,教師是否以及如何給予學生反饋.因此,學生要想習得遷移能力,離不開教師對知識的結構化輸出,離不開教師選擇什么樣的教學事件組織輸出.大概念的教學重點是聯系而不是事實,它強調更深層次的理解方式,使學生的學習具有主動性,這種促進核心素養發展的教學恰與加涅的學習條件理論相契合.實施大概念教學就是把孤立的知識與事實建立聯系,實現邏輯貫通,使學習變低效為高效,變封閉為開放,變“零星的惰性事實”為系統的流通知識,實現遷移以解決現實問題.

2 微專題

當下的教學組織形式依然是以“課”為單位,所以大概念教學最終還是要落實到課時教學[3].教師要以大概念為“核”思考資源連接的渠道,尋求“連接”載體,找到實現知識結構化理解的路徑.當把這些連接具體物化,形成一個個專題或項目穿插在單元新課中實施以后,則可以持續進行特定節點的信息連接和維護,而持續實施的過程,就是推動學生內在發展即追求對知識的整體把握、鑒賞力、批判力的過程.

在自然單元學習后,教師可基于對數學教材的整體理解,研究不同時段學習內容的共性和聯系,確定若干個大概念,分別構建具有生長空間的微專題.每個微專題承載知識方法的整合或數學思想的深化,使碎片式的知識在循環應用中形成結構,讓大概念教學得以落地.

3 大概念統領下的微專題構建原則

3.1 聚焦性

微專題要圍繞一個主題或概念進行構建,以保證學生學習的深度和質量.事實上,教師在進行自然單元教學時如果只重視新課教學,將導致學生獲得的知識呈散裝狀態,他們對重要概念、法則、方法的理解僅停留在低層次思維水平,形成不了遷移所需要的結構化能力,這就降低了學生的學習質量;而以大概念統攝的微專題是聚焦關鍵概念和重點主題進行的深度學習,使得學生思維得到縱深發展,高階思維獲得培育.

3.2 嚴格性

教師常常重視學生以追求知識的記憶、掌握、理解、應用為標志的知識發展,即外在發展,而忽略學生的內在發展.文[4]認為:“在當下,社會普遍存在知識碎片化的時候,教會學生學會結構性思考,并形成可遷移的思維模型,比直接說出標準答案更有意義,能更好地促進學生的內在發展.”因此構建微專題所選擇的主題必須具有挑戰性和遷移性,才能實現幫助學生深入思考和反思、形成結構化知識體系的目的.

3.3 連貫性

數學核心素養的培育應貫穿基礎教育階段整個過程,在不同的知識內容的學習中保持培育數學核心素養的連續性.穿插在單元之間的微專題就需要尊重主題內容的序列結構,體現不同學段、不同知識間的內在邏輯,使得“基本概念能夠有意義且有序地過渡到高級概念”.構建時需要研究學生的認知水平發展階段,為學生理解提供循序漸進的空間,支持學生建立新舊知識之間的聯結[5],讓學生的認知在連貫發展的同時,其數學學科素養也保持高質量連貫發展.

4 大概念統領下的微專題構建策略

如果說確定大概念需要教師從課程標準和核心素養出發,基于經驗和反思進行提煉,屬于上位思考,那么圍繞一個大概念怎樣具體分課時設計微專題則是教師的下位行為,是落實大概念教學的具體樣態.下面以學習蘇科版七年級下冊不等式單元后,“在不等關系中培育數學模型觀念”為大概念,挖掘概念中的共同屬性為資源連接,建構微專題“不等式與數軸”為例,對大概念統領的微專題建構進行探究.

4.1 概念屬性關聯研究

數軸是一條有方向的直線,它上面的點與實數一一對應,是實數集合的圖形表達形式.一般的不等式的解集是實數集合的子集,也可以用數軸的一部分表示.不等式的解集可以借助數軸刻畫,用向左、向右的折線所覆蓋的區域表示.反之,由覆蓋的區域也可以讀出不等式的解集.不等式與數軸完美體現數學的數形結合思想.

深入研究兩個概念的內在屬性,發現不等式是表示兩個數或式之間不等關系的模型,而數軸概念里的正方向的確定則蘊含著不等關系(右邊的數總比左邊的大).從圖形角度看,數軸上點的位置代表兩個數的大小關系;從代數角度看,不等式的建立表達兩個數量間的聯系.學習不等式單元后如果再回歸到數軸,將數軸作為不等關系的模型進行研究,那么數軸上表示的數就可以發展到一般的代數式,從而提高學生對兩者的認知站位.這種從形到數再到形的不等關系的邏輯發展軌跡,與學生在不同年齡階段的認知規律相吻合.通過聚焦共同屬性建構專題,可以提高學生對不等關系模型的深度理解;引導學生經歷這種關聯探究的過程,既能提高學生的數學思維能力,又能培養其用數學的語言表達事物關系的學科素養.

4.2 教學過程設計

·環節1 剖析屬性,形成模型

問題1如圖1,觀察數軸,點A表示的數為a,點B表示的數為b．

圖1

(1)標出點M:2,點N:-1;(2)寫出你觀察到的數學信息(比如:線段MN長為3,a<-1,1b+1).

總結 重新認識數軸:確定點的相對位置—比較兩數大小—不等關系模型(從形到數).

問題2(1)在數軸上表示不等式x<3的解集;(2)不等式解集的表示:所有比3小的數與這條射線上的點一一對應,因此用這條射線形象地表示小于3的數集,體現從數到形．

·環節2 理解屬性,建模應用

問題3如圖2,在數軸上,點A,B分別表示-2x+3,1.(1)求x的取值范圍;(2)在點A左側標記數-3,寫出你獲得的信息;(3)數軸上表示數-x+2的點應落在( )．

圖2

A.點A的左邊B.線段AB上C.點B的右邊

總結 ①提煉常用解法:作差法、分類討論;

②特殊解法:特殊值代入法、特殊位置法;

③數學思想運用:從形想數、用數釋形,由數想形、以形示數.

·環節3 聯結屬性,發展模型

問題4絕對值與不等式.

已知數軸上點A表示1,點B表示2x,若A,B之間的距離小于5,求x的取值范圍．

總結 以形示數,用數軸建構新型不等式模型,借助不等式進一步理解絕對值的定義．

4.3 微專題構建策略

(1)從新入舊,提供多維視角

根據加涅的學習條件理論,在教學設計中要“確定習得的能力、選擇適宜的教學事件、進行累積學習的任務分析”[6]30.其中“習得的能力”即指學生原有的知識、能力及其認知結構．在圍繞大概念進行微專題建構時,必須尊重認知規律,尊重學生的前擁概念,將當下新知與舊知多維度關聯,每個概念都要涵蓋充分的實例(變式),分別用以說明該概念在不同方面的含義,從而形成對概念的多角度理解,如此才能體現大概念教學的作用.

上面的案例中,教師運用屬性關聯的共性有意識地引導學生從不等關系模型視角重新看待數軸,使學生的認識得到了升華:一方面不等關系模型可以用形和數兩種數學語言進行描述,其中數的方式是學生原有知識,形的方式是新的認知;另一方面通過這種從新入舊的過程,學生對數軸的認識從原來只表示實數的大小及關系深入到表示式的關系,從而對數軸的工具功能賦予了更加一般的意義,使舊知煥發出新的活力.

通過這節微專題教學,學生經歷了從新知回歸舊知的過程,深度學習數軸與不等模型的關系,以創設模型的多維表征來擴充學習經驗.因此,通過概念屬性關聯建立微專題,可以讓學生在從新入舊的過程中深刻理解概念屬性,實現把新的知識方法嵌入到原有的認知結構、豐富擴展知識結構的目的.

(2)由簡入繁,預見建模差異

圍繞大概念設計的微專題具有“微而專”的特性且需要一定的綜合性.構建的主題要能以小見大,通過由簡入繁的變式設計引導學生把握知識的本質.由于遷移的必要條件是同時具備共同性和差異性,因此在構建過程中教師需要預見兩種差異:一是在探究前后知識共性的基礎上凸顯差異;二是不同學生構建知識的意義時的差異.

比如案例中觀察數軸活動設計,意在重新認識數軸,對其功能進行剖析.通過對數軸上的線段長度的代數表示和大小關系的建立,形成對數軸進階式的理解,感受與初學數軸時的認知差異,建立數學符號意識和模型觀念.環節2和環節3運用模型環節中提出的新問題,意在引發學生的模型應用熱情,迅速建立不等式(組)解決問題,凸顯數軸中建立不等關系模型在前后學習中的差異.

建構主義認為,學習過程同時包含兩個方面的建構:學習既是對新信息的意義的建構,也是對原有知識經驗的改造和重組[6]33.即人對信息的理解是通過運用已有經驗,超越所提供的信息而建構起來,從記憶系統中提取的信息本身,也要按具體情況進行具體建構,而不是單純提取.因此當學習者以自己的方式和經驗建構對數軸的理解時,他們所看到的事物的意義是不同的,其理解也就不存在唯一的標準.教師在設計問題時需要根據不同學生的理解差異去加以引導并發展.比如環節2的最后通過組織獨立思考和交流互學活動引發學生多角度思考,通過一題多法滲透分類、轉化等數學思想,讓不同學生的不同理解得到肯定,促進數學能力發展.

(3)以點帶類,建構多元主題

建構主義學習理論研究者斯皮羅等人認為,對信息意義的建構可以從不同的角度入手,以獲得不同方面的理解.因此大概念統攝下的微專題構建要圍繞單元中涉及的具體知識建立,每個微專題代表一類方法或思想,幾個微專題涵蓋整個單元或前后單元的核心知識與方法.對同一內容的學習要在不同單元多次進行,每次情境都經過改組,以不同的目的分別著眼于問題的不同側面.

比如在不等式單元以大概念“在不等關系中培育數學模型觀念”為核心,可以建構不等式與數軸、不等式中的參數、實際問題中的相等或不等關系應用等微專題;而在學習一次函數、反比例函數、二次函數后都可以“函數中的不等關系”為課題建構系列微專題,將不等關系在函數領域中進一步發展.這種在各個不重合的學習情境中發生的以點帶類式微專題教學,不是為鞏固知識技能而做的簡單反復,而是為使學習者對概念獲得新的理解.

教師可以通過注重教學過程中各關鍵環節、元素之間的邏輯關聯及整體設計等路徑構建多元主題,比如從內在屬性關聯、數學思想關聯、方法模型關聯等不同側面進行微專題資源開發.通過微專題在不同學段和單元反復出現,學生在知識上獲得新的理解,在結構上獲得不同維度的聯結,在螺旋式上升的認知能力發展中獲得素養提升.