籌謀單元窺全局 優化結構突主線
——對“冪函數”說課的思考

符強如 (新疆烏魯木齊市實驗學校 830026)

說課作為常用的教研形式之一,是課堂觀摩這一傳統教研活動形式的補充和發展．說課對教育觀念的革新,對教育理論的理解和掌握,對教學的研究、反思、評價,無疑是一種可取的有效途徑．筆者以為,數學說課須注重四個方面:首先,數學理解要深刻.好的教學效果源于教師對數學內容的深刻理解和把握.其次,教學價值要體現.數學教學是以數學的知識、方法和思想育人的教學,把數學內容的學術價值轉化為教學價值是數學教師的專業責任.再次,學生基礎要明確.高效益的數學教學建立在教師對學生知識經驗的了解基礎上.最后,活動設計要到位.教師關于數學內容的理解、教學價值的確定和學生基礎的分析,需要反映在教學活動中．本文以“冪函數”說課為例,談談筆者的思考和實踐,以期有悟道參玄之功,格物致知之效．

1 數學理解:動態理解和靜態理解

數學有三種形態,其中教育形態的數學是基于育人的數學,介于學術形態和原始形態之間,要一定程度上還原知識創造的過程,給予學習者探索和發現新知識的方法啟示,還要展現靜態、穩定的性狀,反映空間形式和數量關系的規律,提供學習者分析和解決數學問題的依據和模型．從動態理解的角度,圍繞數學知識的產生過程,揭示邏輯背后的驅動力量;從靜態理解的角度,圍繞數學內容的形態結構,述說知識的意義價值．

·“冪函數”說課片斷1

用數學的眼光觀察現實世界．創設實際情境:2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．假設我們是烏魯木齊某綜合企業,要準備經濟營銷等活動,在準備中有如下問題需要思考:

(1)若某新疆特色小吃每分鐘可以生產一袋,則它生產的袋數p(袋)和時間w(min)之間有何關系?這里p是w的函數嗎?

(2)若新建的汽車生產基地為一個正方形,且邊長為a,則該生產基地的占地面積S是多少?這里S是a的函數嗎?

(3)若新建的汽車研發中心為一個正方體且棱長為b,則該汽車研發中心的體積V是多少?這里V是b的函數嗎?

(4)若汽車生產基地正方形場地的面積為S,則正方形的邊長c是多少?這里c是S的函數嗎?

(5)若特色小吃運送車輛ts內行進1 km,則車輛的平均速度v是多少?這里v是t的函數嗎?

靜態理解改變教材上情境分布零散的現象,以地方經濟發展為實際背景,得到整體連貫的5個具體實例的解析式,引導學生用x,y表示,概括解析式共性,獲得冪函數定義．引導學生從實際背景中抽象出冪函數的概念,讓學生經歷并體會從眾多事物中抽取出共同的、本質性的特征,舍去非本質性特征,提升數學抽象素養．中學階段學習的幾種函數都有其實際背景,對實際問題進行抽象是許多數學概念和問題產生的方式．教學中有必要補充相關的數學史內容,比如中國很早就借用“冪”字表示面積,后來演變為表示平方或立方.清末大數學家李善蘭把power這個詞譯為“冪”,這樣“冪”就表示若干個相同數之積．

動態理解冪函數是在初中(八、九年級)學習正、反比例函數,二次函數y=x2的基礎上,對形式上具有共同特征的一類函數的擴展和延伸．從函數主線來看,冪函數是高中階段研究的第一類具體函數,通過本節課讓學生了解一類具體函數的研究內容、過程和方法,為后續函數的研究提供系統的參考．值得一提的是,冪函數模型教法與指數函數、對數函數有所不同:冪函數可以看成代數函數,可以用代數運算研究冪函數單調性等性質,也可以從函數圖象研究冪函數性質,而指數函數、對數函數一般僅從函數圖象研究性質;冪函數通過5個具體函數類比遷移達到學生對其他冪函數的掌握,而指數函數、對數函數的性質則通過歸納概括掌握．

2 教學價值:即時價值和深遠價值

教學價值就是基于前面的數學理解,對照數學教育目標,闡述教師對教材內容的教學意義的認識.即時價值表現在教學活動后,學生很快有哪些收獲、能夠解決哪些數學問題;長遠價值體現對學生后續數學發展的推動作用,讓學生獲得超越教材知識的認識,重構原有認知,形成完善體系[1]．

·“冪函數”說課片斷2

即時價值結合以往研究一次函數、二次函數和反比例函數的經驗,調動學生回憶初中研究函數的內容、過程和方法,梳理一個具體函數的研究內容:研究一類函數的內容(定義域、值域、單調性、奇偶性等),并用表格呈現出來;研究函數的路徑(定義—表示—圖象與性質—應用)．明確繼承初中借助圖象研究函數的方法,發展本章用嚴謹數學符號定義和研究函數性質的能力．

深遠價值改編教材,以熟悉的地方經濟發展為實際背景,建立冪函數模型,增強文化自信,培養愛國愛疆的情感．筆者認為本節課是研究一類函數的單元起始課和研究函數方法的單元起始課,要以知識為明線、思想為暗線、素養為眼線,按照函數主線大單元整體設計．讓學生從實際進行抽象,經歷概念學習一般過程.繼承初中函數的學法教法,精選特例函數,借助圖象研究性質,發展高中階段通過代數運算研究性質的能力,并形成框架體系．隨后要求學生用研究函數一般方法課后主動研究“對勾函數”,形成函數單元整體學習．對一般冪函數的性質進行猜想,通過信息技術軟件Geogebra動態驗證猜想．學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決部分問題的過程,體驗特殊到一般、觀察、猜想、驗證的科學研究過程,為后續的研究提供方向．

3 學生基礎:知識經驗和知識生長

美國著名教育心理學家奧蘇泊爾指出:“影響學習最重要的因素是學習者已經知道了什么,我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學．”弄清學生基礎,就是圍繞教學的內容分析學生的知識狀況:分析完成學習任務所需要的顯性知識,學生原有的顯性知識是否與此一致;分析完成學習任務所需要的數學經驗,學生原有的數學經驗是否與此有差距．

·“冪函數”說課片斷3

知識經驗基礎初中學習正比例函數、反比例函數和二次函數的學法教法,是通過選特例函數,采用列表、描點、連線畫函數圖象的方式研究函數的性質;高中通過奇偶性定義、單調性定義研究函數的性質,這與學生原有的顯性知識是一致的．需要的數學經驗有:從實際問題中抽象概括;及時反思自己的數學活動經驗;在觀察和分析的基礎上嘗試;用數學概念驅動思維．從學生的原有經驗來看,學生具備一定的抽象概括能力,但是停留在結構形式層面;學生缺乏反思自己思維過程的自覺,會研究一個具體函數,但對一類具體函數缺乏研究框架和系統,習慣于單一地用函數圖象或代數運算研究函數性質[2]．

4 活動設計:實踐和思維

數學活動包括顯性的實踐活動和隱性的思維活動,它們往往交織在一塊,相輔相承,互為促進．設計合理的數學活動能優化課程結構,突出內容主線,使學生在教師的引導下積累數學實踐和思維的寶貴經驗,把握知識的本質,學會數學的方法,領悟數學的思想．本節課基于學生認知水平的分析和對教學內容蘊含的教學價值的理解,設計了如下5個活動環節．

實踐活動

環節1 情景建模,定義模型

通過創設的情境提問:觀察這些函數的解析式,它們在結構上有什么共同特征?追問:5個函數解析式是否可以統一改成以x為自變量、y為因變量的形式?追問:(強調)這幾個函數是研究冪xα隨x的變化而變化的規律,但是名稱卻不同,我們能否給它們起一個統一的名稱?

環節2 合作探究圖象性質

思維活動

環節3 梳理路徑,明確方向

問題:結合以往學習函數的經驗,我們應該如何研究冪函數?追問:如何作出冪函數y=xα的圖象?追問:作出函數圖象后可以研究哪些內容?追問:在研究它們的圖象和性質之前,我們應該先明確什么?

環節4 典例分析,多重感悟

環節5 課堂小結,形成結構

優化課程結構,突出函數主線,形成函數的單元整體學習(提示語:知識、方法、思想).追問:用圖形框架如何體現?追問:研究函數的套路是什么?形成函數的單元整體學習．

5 結語

弦歌不輟,芳華待灼;砥礪深耕,履踐致遠．以深遂的目光洞察數學,以全面的眼光分析價值,從學生的角度審視內容,用有效的數字化賦能教學．從數學到數學教育,再到課堂,三者水乳交融、渾然一體地展現出來時,讓人感受到的不僅是數學學科的內在規律,更有數學教育與課堂藝術的勃勃生機．