“圖形與幾何”內容領域解答題特征分析及啟示
——以2023年9省市中考數學試卷為例

盛昊燦 張景斌 (首都師范大學 100048)

陳文俊 (浙江省杭州市十三中教育集團(總校) 310012)

1 問題提出

教育部于2019年發布了《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》(下稱《意見》),提出了堅持正確導向、提高命題質量等一系列要求,明確了今后命題改革的基本方向．《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《11版課標》)與《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《22版課標》)中也均明確提出了試題命制需要設置合理問題的評價建議．中考作為學業質量的重要評價手段,其試題經多位數學教育領域專家命制和評審,不僅具有較強的內容效度,而且凸顯了數學學科特征．故分析中考數學試題具有挖掘數學學科本質、指導數學課堂教學的重要意義．

“圖形與幾何”內容領域是初中數學教學極為重要的內容之一．目前教學使用的依然是依據《11版課標》編寫的教材,分析《11版課標》中圖形與幾何內容領域的“內容要求”可以發現,圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標這三部分知識點合計為126個,在《11版課標》內容要求中占比超過了40%．此外,圖形與幾何內容領域也是數學課堂教學的重點和難點,如圓和相似三角形等章節內容在初中數學教學中占據了重要位置．數學試題題型中解答題最能考查學生的幾何推理能力,并能從書寫過程中關注到學生對數學知識本質的理解和對數學思想的領悟．因此,對該內容領域中考數學解答題進行分析具有較強的現實意義．

本文以2023年山西省、安徽省、江西省、福建省、河北省、河南省6份省統一命題考試(下稱省統考)試卷和北京市、天津市、上海市3份直轄市統一命題試卷中圖形與幾何內容領域解答題為主要分析對象,通過文本分析法、專家咨詢法回答如下兩個問題:(1)中考數學試卷圖形與幾何內容領域解答題具有哪些特征?(2)從學科特征中可得到哪些對數學課堂教學的啟示?

2 圖形與幾何內容領域的分析

2.1 基于《11版課標》圖形與幾何內容的分析

圖形與幾何內容領域在《11版課標》中分為圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三個主題,具體的內容要求如表1所示．

表1 《11版課標》圖形與幾何內容領域主題內容要求

《11版課標》對每個知識內容的要求有進一步的區分,主要利用行為動詞作進一步分類,其中共有兩種行為動詞:一是描述結果目標,二是描述過程目標．中考數學試卷作為結果導向的評價工具,主要采用結果目標的四類行為動詞增強分析的可行性和準確性．基于四類行為動詞對圖形與幾何內容領域進行梳理,結果如表2所示．

表2 《11版課標》圖形與幾何內容領域主題認知要求

《11版課標》中明確提出了“依標命題”的要求,故在分析中考數學試卷前,對《11版課標》中圖形與幾何內容領域的內容和認知要求進行清晰的梳理是極為重要的．如表1、表2所示,內容要求中,對三角形、圖形的相似、四邊形內容要求的數量是最多的．認知要求中,對圖形的性質主要集中在水平4,對圖形的變化主要集中在水平1和水平2,對圖形與坐標主要集中在水平3．在水平4的要求中,更是幾乎完全以圖形的性質主題為主．

2.2 基于已有研究的分析

中考數學關乎人才的選拔,是民生大計,故中考數學試題一直廣受關注．已有的中考數學試題文獻數量較多,以“中考數學”為主題在知網中進行查找,可以發現340篇文獻,再以“中考數學”為篇關摘在知網中進行查找,共有793篇文獻．分析這些文獻,可以發現有以下幾個研究方向:

一是各個地區的數學教育專家從命題的角度高屋建瓴地對中考數學試題進行評述．如文[1]提出當前命題中仍然存在一些不容忽視的問題,需要進一步地補短板和變革;文[2][3]對2016年、2017年北京市中考試卷的整體設計進行評析;文[4]提出全國各地的中考試題出現了許多格調清新、別具匠心的新題型．

二是數學教育實踐者和研究者從省統一命題等相關政策的視角對連續幾年或多個地區的中考數學試卷中一道試題或一類題型進行分析.如文[5]基于福建省全省統一命題的規劃對福建九個地市的中考數學試卷進行了詳細的分析．

三是基于數學課程標準“核心素養”“四基”和“四能”的視角對中考數學試題進行評析．如文[6]以數學中考試題為例,從數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等角度出發,討論數學核心素養在試題中的體現．

四是基于一些信度較高的理論框架,如SOLO理論、教育部“一體、四層、四翼”、PISA的測評框架,對中考數學試卷的內容或信度進行測評．如文[7]基于SOLO理論對2017—2019年南寧市中考數學試卷進行分析研究;文[8]分析PISA 2012數學測評題和2012年南京市中考題的異同;文[9]發現中考采用固定分數法進行標準設定的質量一般,對于學業水平考試這種高利害性考試來說需要進一步提高．

已有文獻資料雖然研究分析各有不同,但最終目的仍是為了中考數學試卷內容的高信度、數學性和公平性．基于對文獻資料的分析可以發現,雖然因為地區文化和資源不同,導致各省市的中考數學試卷有所區別,但由于數學學科具有鮮明的學科特征,提取9份試卷中試題的數學學科特征是可行且有現實意義的,并能為教師課堂教學提供一些建議．

3 圖形與幾何內容領域解答題內容分析

對2023年9省市中考數學試卷中圖形與幾何內容領域解答題部分的基本信息進行整理(表3),可以發現:該領域解答題分值在解答題總分中的占比都大于35%,江西省甚至高達54.76%;在試卷總分中,占比也都不低于21%,可見其重要性及代表性,其中尤以江西省最為重視,試卷總分占比為38.33%;安徽省的這兩項分值占比雖然在9個省市中略低,分別為35.56%和21.33%,但與其他內容領域比較,仍占據重要地位．

表3 9份試卷圖形與幾何內容領域解答題基本信息

4 圖形與幾何內容領域解答題特征分析

對9份試卷圖形與幾何內容領域解答題部分進行多次思考和尋求多種解答方法的嘗試,再結合北京市等地區多位具有數學教育經驗的專家的建議,提煉出以下幾個中考數學試卷中體現的數學學科特征,并結合具體案例進行詳細說明,以此回答提出的問題(1)．

4.1 以核心概念為起點,重視數學思考的漸入佳境

數學內容廣博而深入,試圖掌握所有的數學知識是不可能且沒必要的,而數學教育中存在一些核心概念,在眾多數學知識中,它們起著推動數學發展的重要作用．在9份試卷中,可以明顯察覺到核心概念起著重要的起點作用,從核心概念出發,以概念相關性質定理為脈絡,呈現出循序漸進、“引人入勝”的數學思考路徑．

例1(2023·北京23題)在△ABC中, ∠B=∠C=α(0°<α<45°),AM⊥BC于點M,D是線段MC上的動點(不與點M,C重合),將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．

(1)如圖1,當點E在線段AC上時,求證:D是MC的中點;

圖1

(2)如圖2,若在線段BM上存在點F(不與點B,M重合)滿足DF=DC,連接AE,EF,直接寫出∠AEF的大小,并證明．

對第(1)題,通過三角形外角定理、等角對等邊的等腰三角形判定定理可以證明．重點是對第(2)題的討論．審題可得,除了垂直之外,圖形中沒有明確已知的角度,欲求∠AEF必然需要借助特殊三角形的核心概念及其相關定理,可以得出∠AEF為90°的猜想．構建問題解決的邏輯圖如圖3所示,在提出特殊三角形的概念之后,經多次嘗試,通過構建等腰三角形,利用三線合一定理可解決問題．但如何構建符合條件的三角形需要多次思考和嘗試,并不能一蹴而就,其過程往往需要借助已有數學學習活動經驗,通過類比或歸納找到問題解決的路徑．

圖3 問題解決邏輯圖

4.2 以數學文化為背景,蘊含數學內容的人文價值

眾多學者專家都意識到了數學文化在數學教育中的重要地位,最為典型的是數學史中重要數學問題的引用,數學史與數學教育(History and Pedagogy of Mathematics,HPM)成為極為重要的數學教育研究領域．在9份試卷中,包含數學史內容在內的數學文化幾乎溢出紙面．

例2(2023·山西23題)閱讀與思考:下面是一位同學的數學學習筆記,請仔細閱讀并完成相應任務．

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道,在如圖4的四邊形ABCD中,若點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E,F,G,H,得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料,得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切:

圖4

圖5 瓦里尼翁(1654—1722)

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時,瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形;

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系;

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．

結論③可借助圖6證明如下:

圖6

證明:如圖6,連接AC,分別交EH,FG于點P,Q,過點D作DM⊥AC于點M,交HG于點N．

∵H,G分別為AD,CD的中點,

∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形,

∴HE∥GF,即HP∥GQ．

∵HG∥AC,即HG∥PQ,

∴四邊形HPQG是平行四邊形.(依據2)

∴S=HG··DM．

(1)填空:材料中的依據1是指;依據2是指．

(2)請用刻度尺、三角板等工具,畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為矩形;(要求同時畫出四邊形ABCD的對角線)

(3)在圖4中,分別連接AC,BD得到圖7,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關系,并證明你的結論．

圖7

對上題分析可知,題目以數學史中瓦里尼翁平行四邊形的相關資料作為背景,設置層次遞進且具有探究性的3個小題．意圖讓學生在閱讀理解數學史料的基礎上,通過類比的數學思想獨立解決數學問題,既符合數學課程標準中“三會”的要求,也弘揚了數學文化,具備鮮明的數學特征．

4.3 以知識邏輯為紐帶,凸顯演繹幾何的嚴謹規范

知識邏輯可以從兩個方面進行探討:一是體現在推理過程的邏輯推理中;二是體現在知識間的聯系上.例如,圓和相似三角形內容的聯系較高,在9份試卷的相關解答題中,這兩部分內容幾乎是“你中有我,我中有你”休戚與共的關系．

例3(2023·上海25題)如圖8,在△ABC中,AB=AC,O在邊AB上,點F為邊OB的中點,以O為圓心、BO為半徑的圓分別交CB,AC于點D,E,連接EF交OD于點G．

圖8

(1)如果OG=DG,求證:四邊形CEGD為平行四邊形;

(2)如圖9所示,連接OE,如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4,求邊OB的長;

圖9

分析第(1)題可知,利用等邊對等角定理、中位線定理可以證得直線平行,據此再證得平行四邊形．第(2)題可以利用相似三角形,進而列方程解決問題．由題目條件可以發現,其中應用的知識內容互有聯系．第(3)題需要結合相似三角形和等腰三角形的性質,分類討論解決問題．三個小題的知識邏輯圖如圖10所示．

圖10 知識邏輯圖

可以發現本題主要結合了等腰三角形和相似三角形的知識內容,層次遞進地展開邏輯論證．圖形與幾何內容領域不同內容的互相結合是極為常見的,如圓、三角形和四邊形等常常結合在一起,不同知識的結合在于考查學生的數學高階思維以及在不同知識內容交織時對其中知識邏輯進行梳理的能力．

4.4 以課標“四基”為基石,避免數學問題的繁難偏雜

數學知識的學習具有層層而上的特點,有基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想(下稱“四基”)作為基石,方能學得“平穩”,在數學學習上走得久遠．有部分“人為”數學題具有繁難偏雜的特點,偏離了數學學習的常規軌跡,并以其較強的技巧性干擾了正常的數學學習,磨滅了學生的數學學習興趣．在9份中考試卷中,對課標中提出的“四基”要求有較為明顯的體現．

例4(2023·天津22題)綜合與實踐活動中,要利用測角儀測量塔的高度,如圖11,塔AB前有一座高為DE的觀景臺,已知CD= 6 m,∠DCE=30°,點E,C,A在同一條水平直線上．某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為45°,在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為27°．

圖11

(1)求DE的長．

分析題目可知,該題以生活中常見的場景作為問題背景,重在考查特殊直角三角形和相似三角形的基礎知識．“數學化”與“生活化”是數學學習過程中不可或缺的兩個基點[10],數學化是一個過程,把變化、延拓和深化的現實問題,利用數學知識和數學能力進行解決．本題引導學生使用數學方法解決生活常見問題,不以繁難偏雜的難題為導向,重視體現數學問題解決中“四基”的基石作用．

4.5 以識圖能力為基礎,注重核心素養的基本要求

識圖能力包含辨明圖形結構的能力以及將圖形與已有定理相結合構造圖形解決問題的能力．圖形與幾何內容領域較為注重的素養是幾何直觀、空間觀念和推理能力,其中推理能力主要指幾何推理．三者與識圖能力聯系密切,且在9份試卷中,對頂角定理、三角形內角和定理、圓內接四邊形定理都是需要通過識圖獲得的“隱形條件”,也是數學學習的基本要求．故識圖能力是考查核心素養基本要求的基本能力,以例5為例作具體說明．

例5(2023·安徽22題)在Rt△ABC中,M是斜邊AB的中點,將線段MA繞點M旋轉至MD位置,點D在直線AB外,連接AD,BD．

(1)如圖12,求∠ADB的大小;

圖12

(2)已知點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD,DE∥AB．

①如圖13,連接CD,求證:BD=CD;

②如圖14,連接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值．

分析第(1)題,可以直觀地辨析出直角三角形斜邊中線定理的應用．第(2)題也能較為直觀地 發現菱形的存在,以此運用圓周角定理反推出其中的四點共圓,利用圓周角定理證明第①問．對第②問進行識圖,也可以發現平行四邊形EMBD的存在,可以通過構造直角三角形解決此問．識圖能力是解決幾何問題的基本能力,通過識圖先得到直觀的基本假設,再運用幾何推理順利解決問題,對培養空間觀念、幾何直觀和幾何推理具有重要價值．

5 對數學課堂教學的啟示

數學課堂教學是落實數學核心素養的主戰場,結合專家建議和課堂教學實際,從篇首問題(1)出發,對數學課堂教學給出四點啟示．

5.1 開展具有層次性和關聯性的變式教學,在循序漸進中啟迪數學思維

我國傳統數學教學離不開變式教學.顧泠沅曾在青浦實驗中證實了變式教學在數學學習中的巨大作用,并提出了概念變式和過程變式的概念．此外,從9份試卷的分析中發現,試題離不開對教材的借鑒思考,數學課堂教學應當重視借鑒教材例題和重要數學史問題,進行具有層次性和互相關聯的變式教學．由此循序漸進地引導學生進行數學思考,啟迪其數學思維的同時,使得學生的數學學習漸入佳境．

5.2 引入具有典型性和育人性的數學史問題,在身臨其境中體會數學之美

數學文化的重要性已經在第二點特征中作了具體說明,在課堂教學中要更為突出其典型性和育人性的特征,選取具有正能量和符合社會道德觀念的數學史問題,使學生更為了解數學學科的來龍去脈,并改變對其枯燥難學的刻板印象．張奠宙先生曾言數學兼具“火熱的思考”和“冰冷的美麗”[11]．正確認識數學的文化價值、體會數學之美,是極為重要的數學課堂教學目標．

5.3 結合具有創新性和時代性的教學范式,在深度學習中落實課堂目標

9份試卷中的試題極為注重創新性和探究性．在時代的不斷變遷和社會發展中,涌現出許多促進數學深度學習的新概念,如項目式學習、大概念教學和跨學科學習．數學課堂教學要適應我國社會發展和人才培養的需要,必然要接受一些必要的變革和觀念的轉變．但在適應新教學范式帶來的浪潮時,仍要重視落實基礎知識和基礎技能,變革并非“全盤推翻”,而是秉持著審慎的態度接受有助于改善數學課堂和學生學習的因素．

5.4 構建具有整體性和結構性的知識體系,在顧全大局中承載數學思想

中考數學試題重視數學知識體系的整體性和嚴謹的結構性．圖形與幾何內容領域中,不同的數學內容具有潛在的知識邏輯,在學習過程中能 進行類比或具有明顯的邏輯鏈條．不論是教師或者學生,對數學知識結構有整體的理解和體會,都有助于有大局觀地展開數學教學或者學習,從而有正確的數學學習觀念,在顧全大局中承載數學思想．