淺入深出“串題成鏈” 化繁為簡“思維拓寬”
——以“定義法求圓錐曲線的軌跡方程”為例*

徐士權 (江蘇省宿遷中學 223800)

隨著新課改的不斷深入,廣大一線教師逐漸認識到培養學生思維能力的重要性．思維能力的培養需要用問題引領[1]．教師要在課堂教學中設計前后連貫、邏輯一致的問題鏈,給學生創設合理的問題情境,引導學生獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等,逐步激活學生的創新思維,在輕松和諧的環境中拓寬思維、提升能力．那么,應該怎樣去設計“問題鏈”來提升學生的思維能力呢?下面以“定義法求圓錐曲線的軌跡方程”為例談談個人的一些看法,與各位同仁共享．

1 教學分析

內容分析 圓錐曲線是高中數學的重要內容.圓錐曲線的定義形式多樣、內涵豐富,充分體現了解析幾何的基本思想,是高考必考的內容．用定義法求圓錐曲線軌跡方程,就是直接利用圓錐曲線的定義探求動點運動的軌跡,從而得到軌跡方程的方法．利用定義法求圓錐曲線軌跡方程可以起到事半功倍的作用,能讓學生加深對圓錐曲線定義的理解,為后續的學習夯實基礎,同時教會學生從不同的角度和層面去思考問題,提高學生的思維水平和創新能力,培育數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養．

學情分析 教學對象是高二物化生類創新班學生,基礎扎實,有較強的邏輯推理、數學運算和綜合運用知識解決問題的能力．本節課是學完《圓錐曲線與方程》后的數學探究課．

教學目標 (1)掌握運用圓錐曲線的定義求軌跡方程的方法;(2)通過探究活動提高靈活運用定義解題的能力;(3)提升數形結合和空間想象能力．

教學重點 根據定義求圓錐曲線軌跡方程的方法及其實施步驟．

教學難點 軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論．

2 教學過程

2.1 溫故知新 自主研學

問題1我們已經學習了《圓錐曲線與方程》這一章,你能用表格的形式回顧圓錐曲線的類型及其定義嗎?(生1口答,略)

設計意圖通過對圓錐曲線定義的復習,比較橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線定義的異同,為本節課的探究任務“定義法求圓錐曲線的軌跡方程”打好基礎．

2.2 例題講解 情境活學

問題2已知圓F1:(x+1)2+y2=1,圓F2:(x-1)2+y2=9．若動圓C與圓F1外切,且與圓F2內切,求動圓的圓心C的軌跡方程．(蘇教版(2019)選擇性必修第一冊第87頁“思考·運用”第10題)

圖1

師(追問):你運用的什么方法?

生1:我用的是橢圓的定義．

問題3你能給這里的“定義法求圓錐曲線的軌跡方程”下一個定義嗎?

師生共同完成:所謂定義法求圓錐曲線的軌跡方程,就是利用所學的橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的定義,確定動點的運動軌跡是哪一種圓錐曲線,從而直接寫出動點軌跡方程的方法．具體操作步驟是:一定曲線,二定方程,三定范圍．

設計意圖教材上的這道習題設計精妙(圓心用F1,F2表示,暗示學生考慮其可能是橢圓的焦點),能引導學生思考、研究、討論,對不同的解法進行辨析,總結各自的優缺點．學生通過親身實踐,體驗到用定義法求軌跡方程能促進對定義的理解,而且解決問題既準又快．

問題4請大家思考:能否適當變化上題的條件,使得點C的軌跡是橢圓的全部?

生2:只需要將圓F1與圓F2的位置關系由內切變為內含即可,比如已知圓F1的方程為(x+1)2+y2=1,圓F2的方程為(x-1)2+y2=16,這時動圓圓心C的軌跡是整個橢圓．

圖2

師(用GGB展示動畫,并追問):很好!如果要得到雙曲線的另一支?題目條件該如何變化?

生3:根據圖象,只需要將上題中“圓C與圓F1外切,且與圓F2內切”改為“圓C與圓F1內切,且與圓F2外切”即可．

設計意圖問題4的切口很小,基于幾何直觀,學生很容易作答．接著追問,學生自然會想到調整動圓和兩個定圓的位置關系,這樣既訓練了學生思維的縝密性,也啟發了思維的廣闊性,為接下來研究其他變化策略埋下伏筆．

2.3 合作探究 融通用學

問題5若綜合考慮兩定圓和動圓之間的位置關系,我們還能得到哪些新的問題?請大家分組討論,選定其中一種情況進行研究、討論、展示．

生4(代表第1組展示):我們組研究了圓F1和圓F2內含,且動圓C與圓F1和圓F2相切的情況．為了研究方便,且不失一般性,不妨設F1內含于F2,設圓F1和圓F2的半徑分別為r1,r2．

圖3

生5(代表第6組展示):我們組重點研究了圓F1和圓F2相離,且動圓C與圓F1和圓F2相切的情況．如果圓F1和圓F2相離．

圖5

師:若按照兩個定圓的位置關系來分類,共有相離、外切、相交、內切、內含五種情況,再考慮動圓與它們是外切還是內切,同時考慮兩個定圓的圓心是否重合、半徑是否相等諸多因素,可以得到一系列問題和結論.這個問題正是2011年北京大學自主招生考試的第6題:設C1和C2是平面上兩個不重合的固定圓,C是平面上的一個動圓．若C和C1,C2都相切,則C的圓心軌跡是何種曲線?請證明你的結論．這個問題比較繁瑣,我們之前的探究,已經將兩個定圓相離、外切、內切、內含這4種情況初步解決．接下來我們來看最后一種情況:兩定圓相交．

設計意圖將這道比較復雜的自招試題拆解為若干個簡單問題,部分問題已經被很好地解決,初步收到化繁為簡的效果．此時課堂氛圍漸入佳境,及時拋出北大自招原題,激發學生的成就感和探究欲,引導學生進行合作探究,作出階段性總結,鼓勵主動展示、及時補充,培養學生善用數學的語言表達問題,發揚協作精神深入探究,同時培養了思維的縝密性和廣闊性．

問題6已知圓F1和圓F2相交,且動圓C與圓F1和圓F2相切,求動圓的圓心C的軌跡方程．

圖7

設計意圖兩個定圓相交的情況貌似復雜,實際上解決辦法與前面的問題相同．此種情形下,動圓與兩個定圓的位置關系可以是都外切,都內切,一個外切、一個內切(兩種情形),而這些問題,學生之前全都成功探究到位了,所以只要細致分析、推理、運算,完全可以解決．將這個問題破解之后,學生深切體會到復雜的問題往往就是簡單問題不斷迭代而來,只要不斷拆分,逐個擊破,一定能將其解決．解決問題的過程能培養學生堅韌不拔的意志和不厭其煩的耐心,同時讓學生體會到化繁為簡的思維方式威力巨大,這也拓展了思維的深度和寬度．

2.4 鞏固練習 反思評學

問題7以上兩個定圓、一個動圓位置關系帶來的動圓圓心軌跡問題,我們已經全面、徹底地解決了．我們能否對題目條件進行大膽的、更有創意的變化,從而提出新的問題呢?

生7:可以考慮將圓F1變為一個點,動圓經過C這個點,且與圓F2相外切．

師:很好!可以這樣改,不過這樣提出的一系列問題和我們之前研究的問題差別不大.除了把圓變化成點,還可以變化成什么呢?

生7:可以將圓F1變成一條直線,不過這條直線要特殊一點,比如就是y軸．

問題8動圓C與直線l:x=0和圓F:(x-1)2+y2=1相切,求動圓圓心C的軌跡．

師:這個變化很有創意,請大家嘗試解決．

生7(作圖、講解):設圓C的半徑為r,則CF=r+1,C到直線l:x=0的距離為r,則C到直線l:x=-1的距離為r+1,C的軌跡是以點F為焦點、x=-1為準線的拋物線(不含原點),方程為y2=4x(x≠0)(圖9)．

圖9

生8:少考慮了一種情況,就是圓C與直線l和圓F都相切于原點,即點C在x軸上的時候,C的軌跡方程為y=0(x≠0)．

生9:還得再挖掉一個點(1,0),因為此時圓C與圓F重合,應舍去．

師:非常好!經過共同努力,得出正確答案:C的軌跡方程為y2=4x(x≠0)或y=0(x≠0,1)．

這道題也提醒我們,思考要細致、全面,確保軌跡方程的純粹性和完備性,通俗地講,就是不多不少．至此,我們圓滿完成了既定的任務,大家的表現非常棒．再給大家留一個開放性的問題,課后繼續思考、研究、討論．

問題9繼續對以上的問題條件進行調整,你還能得到哪些有趣的問題和結論?

設計意圖問題1～6形成了一個閉環的問題鏈,且已經全部解決．接下來,要突破這個問題鏈,需要對問題的條件進行全新的變化.此時學生的思路已經打開,想到把其中一個定圓變為直線,在教師提出的問題7基礎上主動提出問題8并順利解決,把圓錐曲線的最后一種類型——拋物線,囊括在內了．問題8的徹底解決,需要細致觀察、縝密思考．學生經過協作可以完成任務,再輔之以動畫演示,能使其印象深刻．這道題是訓練思維縝密性的好素材．課堂上的這個問題遠沒有結束,研究之路仍然漫長,需要繼續探索.最后給出開放性的問題和任務,激勵學生課后繼續思考、探究,讓他們在討論的過程中感受研究的樂趣,朝著梳理研究成果、嘗試寫出小論文的目標努力．

3 學生反饋

課后經過對全體學生的問卷調查,收集到以下一些反饋意見:

很喜歡串題成鏈的教學方式,課堂上的問題由淺入深、層層遞進,大家一直都在緊張地觀察、思考、嘗試、討論、調整;整堂課思維含量大,思維沖擊力強;感覺問題6和問題8的環節節奏稍快,建議今后在突破難點的時候要慢一點、細一點．

印象深刻之處有以下幾點:一是可以自己編題自己做,有挑戰更有吸引力,同時因為問題的開放性,可以按照學習小組展示研究成果,有競爭性更強調團隊協作．二是感嘆于對一道自招難題的解決方案竟然是如此樸素,分解成更小的問題,逐個擊破,層層遞進,不斷螺旋上升,最終完美解決．感慨成大事者都需要愚公移山的決心和求實較真的態度．三是課堂上用GGB輔助學習,有視覺沖擊力,能激發興趣,建議可以開設GGB的拓展課,進一步提升學習的效果．

也有一小部分學生表示,由于這堂課的知識容量和思維容量較大,且采用開放性問題引領學習,感覺有點吃力;但是課后認真整理、反思后,也能很好地消化吸收,甚至還有的學生課堂上反應稍慢,但課后深入研究,也能給出很有創意的自編問題．

4 教學啟示

4.1 串題成鏈,引領學生深入思考和探究

問題是數學的心臟,問題也是數學教學的載體和驅動器．知識蘊含在問題之中,思維和能力在解決問題的歷程中不斷得到淬煉和發展,所以“知識的問題化”應當是數學教師的基本功．同時要注意到,碎片化的問題對發展學生思維效果不佳．只有讓問題序列化、邏輯化,才能“串題成鏈”,讓問題更有意義．

本堂課把教學重點和難點拆分、重組,形成一個個互相關聯、層層遞進的問題,讓問題成為知識的載體、思維的階梯．問題的設計立足學情,貼合實際,總是從學生的認知起點出發,圍繞教學重難點層層遞進、持續追問,做到了淺入深出．

問題串的預設在課堂現場教學中往往需要靈活調整．上課時如果感覺到子問題低于學生的認知水平,可以直接跨過去或者提高其難度,同時給跨度太大的問題增加子問題,作為學生解決問題的臺階[2],或者調整子問題的順序,讓問題的順序與學生的認知順序契合,增加問題的趣味性,從而激發學生的探究欲和好奇心．

4.2 拓寬思維,激勵學生持續思考和探討

知識是思考的結果,而思考的開端是問題．好的問題鏈引領學生思考,也能激發學生探究,進而能自主提問．在問題鏈的引領下,學生主動尋找并提出問題,正是數學思維的體現．

尋找問題鏈是數學發現的一種基本方法,它的目的則是希望尋找到的問題盡量多地轉化為真命題(定理)[3]．在解決問題的過程中,未解決的“問題”被論證為“真命題”,學生的思考會逐漸更廣闊、更深入、更細致、更合理、更有效．最關鍵的,學生在課上的收獲能支撐其不斷提出新問題,課后依然還能保有充分的好奇心和探究欲,支撐學生的持續思考和相互探討．

之前一系列思考的方式和探究的過程在解決新問題時依然可以使用,在不斷復制、迭代的過程中,思維的寬度不斷提升,復雜的問題逐漸被拆分、解決.學生經歷了探究成功的過程,收獲了喜悅,充分體驗到“化繁為簡”思維的威力,體會到數學的簡潔美,為后續的學習提供了強大的動力．

4.3 開放設問,培育學生數學學科核心素養

開放性問題通常是指“條件”“解法”“答案”具有多樣性和不確定性的問題．課堂上的開放性問題一般較少,因為開放性問題的不確定因素較多,往往會使得課堂不可控．若能設置適當的問題鏈,在保持開放性的同時,確保開放度在可控范圍內,就可以放手讓學生提問．

讓學生學會提問是高中數學教師的巨大成功,因為當學生能提出有效的問題,并能嘗試自主解決時,意味著其思維層次已經得到提升,相應的數學學科核心素養得到了發展．再進一步,師生能繼續深入思考,持續研究,大膽求同,不斷求變,必然能讓學生的數學思維愈發深刻,數學視野愈發廣闊,數學學科核心素養得到更好的培育．