基于思維可視化促進學生邏輯推理素養提升的實踐與思考
——以“函數背景下的數列不等式證明”為例*

李志中 (江蘇省宿遷中學 223800)

隨著高考改革的不斷深入,高考數學也從“知識立意”“能力立意”轉向“素養立意”,貫徹“多想少算”的原則,注重在數學應用和探究等方面突出對數學思維能力的考查．數學思維能力包括觀察、猜想、類比、歸納、抽象、概括、證明等邏輯推理能力．在教學中如何培養學生的數學思維能力、促進學生邏輯推理素養的提升呢?下面以高三復習課“函數背景下的數列不等式證明”為例,談談筆者在基于思維可視化提升邏輯推理素養方面的實踐探索．

1 基本情況分析

1.1 學情分析

教學對象是四星級高中高三文科創新班學生,基礎良好,有較強的自主學習能力和自主創新意識．

1.2 教學分析

數列是高考的核心考點之一,新課標要求了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系,感受數列與函數的共性與差異,體會數學的整體性[1]．同時,數列求和是微積分的基礎,是初等數學與高等數學聯系最密切的內容之一．因此,高考往往會在數列、函數、不等式等知識交匯處進行考查．這就要求我們通過數列章節教學重點培養學生的邏輯推理與數學運算素養,提升數學思維能力,讓學生學會用數學的眼光看問題．

教學目標 (1)通過具體問題總結數列不等式證明的常見方法與策略;(2)經歷函數背景下的數列不等式證明過程,歸納解題路徑,繪制解題思維導圖,提升邏輯推理素養;(3)通過小組合作提出新問題、解決問題,體會命題人的思維視角,提高動手實踐能力,發展自主創新意識．

教學重點 通過證明數列不等式繪制思維導圖,并能逆向構造新問題．

教學難點 函數背景下的數列不等式證明的一般策略與路徑,以及如何對函數的自變量合理賦值．

2 教學過程實錄

2.1 自主研學 回顧方法

師:前面我們已經研究過數列不等式的證明,請大家先完成下面兩個不等式的證明．

師:從兩個問題總結一下數列不等式證明的基本策略有哪些?

生:對可求和的數列直接求和證明,不可求和的數列通過放縮轉化為可求和的數列．

師:很好!這體現了高中數學中重要的轉化與化歸思想．那么,在高考題中的數列不等式證明還有哪些不同的考查方式呢?

設計意圖讓學生總結數列不等式的證明方法,為復雜函數背景下的數列不等式證明做好鋪墊．著名數學家華羅庚指出:退到原始而不失重要的地方,是學好數學的一個訣竅．

2.2 情景活學 歸納方法

例題已知函數f(x)=lnx-ax+1,a∈R．

(1)若不等式f(x)≤0恒成立,求實數a的取值范圍;

師:請大家先完成第(1)題,再思考如何解決第(2)題的證明,你有哪些解題策略?

第(1)題略,答案是a≥1．

生1:是否可以考慮移項構造數列,通過研究數列的單調性來證明?

生2:可以使用數學歸納法證明有關正整數n的等式或者不等式．

生3:能否繼續使用放縮法來證明,但是我還沒有想到具體的方法．

師:在剛才我們課前練習總結的方法基礎上,同學們又提出了兩種新的方法,即利用數列的單調性或者數學歸納法來證明.非常好!大家可以在課后嘗試證明．但是,在第(1)題利用函數與導數研究不等式恒成立的背景下,我們如何更好地應用已經得到的結論來證明該不等式呢?我們能幫生3解決他的困惑嗎?

生:我們可以回到開始解決的問題,證明 第(2)題的時候實際上我們是將數列的和式不等式通過放縮通項進行轉化．

師:你能借鑒已有的探究經驗來思考新問題,非常棒!我們解決這類問題的基本原理是將證明數列{an},{bn}前n項和Sn,Tn的大小關系轉化為證明通項an,bn的大小關系．

生:然后應用不等式的基本性質a1

師:在證明過程中我們分別使用了不等式的傳遞性與同向相加的性質．那么,例題和我們已經解決的問題有什么區別呢?同學們可以談談你們的想法．

生2:左側相當于已經告訴我們數列{an}的前n項和Sn=ln(n+1),然后求出通項公式．

師:經過各位同學的共同努力,我們找到了不等式證明的關鍵.那么證明該不等式可以有哪些思路?

生1:可以用自變量x替換不等式中的n,然后移項構造函數,利用導數方法來證明．

師:前兩位同學直接構造新函數證明不等式,而第三位同學能聯系題目背景思考已有的不等式和證明目標之間的聯系,更有全局觀念,多觀察、善思考,方能減少計算量!

師:那么我們該如何利用第(1)題進行賦值?

師:精彩!你能從要證明的不等式和已有不等式形式上的相似之處進行恰當的賦值．那么,下面請大家回顧一下例題的解決過程,分組合作交流本題的思維流程．

生:我們小組討論后用算法來表達:

S1 確定函數不等式f(x)≤0;

S2 賦值變形得到an≤bn;

S4 如有需要對其中一側繼續進行放縮．

設計意圖借助典型例題創設情境,引導學生在遇到解題障礙時能夠類比找到解題方案,并歸納解題的思維流程．通過共同探究讓學生能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的聯系,形成重論據、有條理的思維品質和理性精神,發展學生的邏輯推理素養．

2.3 融通用學 拓展思維

師:我們已經繪制出這類數列不等式證明的思維流程圖,那么同學們能利用不等式lnx≤x-1或ln(1+x)≤x命制一道數列不等式問題嗎?請大家分享一下命制的過程．

師:兩位同學能在函數不等式背景下,聯系我們課堂開始已經證明的兩個數列不等式命制更為深刻的新問題.還有其他的問題嗎?

師:這位同學能從等差數列求和公式入手命制這樣一道漂亮的數列不等式,體現了數學的樸素與簡潔之美!高考真題往往也有異曲同工之妙,請大家來看一道高考題:

(2017年新課標Ⅲ卷)已知函數f(x)=x-1-alnx,a∈R．

(1)若不等式f(x)≥0恒成立,求a的值;

設計意圖引導學生運用“類比、特殊化、強化/弱化結論”等策略提出新問題并解決問題,激發學生學習數學的興趣,促進學生實踐能力和創新意識的發展．

2.4 類比遷移 形成策略

(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

師:思路非常清晰!這位同學能舉一反三,把剛才我們的探究過程類比遷移到了該問題的解決中,根據題目變化合理調整解題方案．

設計意圖通過變式檢驗學生的應用能力,鼓勵學生合理運用數學語言與思維進行表達與交流．

2.5 課堂小結(略)

3 教學反思

3.1 創新試題情境,促進深度學習

高考試題往往源于教材,通過深挖基礎概念,在試題設計上進行創新,一方面是創新試題情境,選取新穎的呈現形式,另一方面是拓寬思維的深度和廣度,強調靈活思考與準確理解[2]．靈活新穎的情境有利于激發學生學習數學的熱情,鍛煉學生創新思維、發散思維等,培養學生的動手實踐能力,形成篤定持久的學科興趣,這是培養拔尖創新人才的時代需求．在函數背景下研究數列不等式的證明,需要合理使用函數構造不等式,再通過恰當的賦值證明數列不等式,試題兼具開放性與探究性,重點考查學生的思維過程和創新意識．

層次豐富的數學情境使得設問具有一定的跨度,這就需要我們在課堂上有意識地創設數學情境,用數學問題鏈組織和驅動教學[3]．通過問題鏈的設計及解決幫助學生積累解題經驗,激活學生原有認知域中與問題相關的知識、方法,批判性地思考新問題與新事物,主動進行知識與方法的遷移運用,最終實現深度學習．

3.2 有效設計提問,引導學生思維深度參與

高效的提問往往能激發學習興趣、啟迪心智、拓寬視野,使得課堂變成師生、生生之間的思維碰撞與交流,這就要求教師在課堂提問環節進行有效的設計[4]．本節課通過設計課前問題來復習已有解題經驗,為新問題的解決做好鋪墊,同時可以調節課堂的緊張氛圍．小組討論時設計的開放性問題讓學生進行充分的聯想,喚醒已有知識、方法,同學之間相互補充,促進教學難點的突破．在實踐應用環節,讓學生提出新問題,體現其對問題解決的較高參與度,同時把自己頭腦里的理解傳遞給教師;以原創問題的提出為契機,強化學生主動學習的意識,培養自主思考的能力．

在高三專題復習中教師提問的設計要具備啟發性、開放性、延伸性,通過有效設計,將學生在思考中的困惑、掙扎、沮喪、收獲甚至震撼與感動呈現出來,在面臨更為復雜的新問題的處理中,長期形成的思維的韌性與深刻性將幫助他們度過難關,從而提高學習成績．

3.3 思維路徑可視化,發展邏輯推理素養

在活動實踐、與他人的交流和總結反思中展開學習,學生更容易形成有邏輯的思考與表達．我們需要在課堂上將教學內容(包括數學思維)可視化地呈現,通過學生交流與展示,看見思維、診斷思維、培養思維,幫助學生重新建構知識系統,促進學生理解與聯想記憶,提升學生創造力．思維可視化為抽象邏輯、思想、智慧提供具體化或表象轉換,可以有效提高信息獲取、處理、應用的效能．為實現思維可視化,需要我們在教學設計中體現教學重難點學習過程的可視化與問題解決路徑的思維可視化[5]．

在本節課的情境活動環節,學生通過無領導討論之后的交流分享充分展示思維的多樣性,既有問題解決過程中的難點,也有易錯點,更有對問題解決的聚焦聯想,讓每一種有代表性的思維都可見、可想．在融通用學環節,學生在解決一類問題后通過歸納畫出思維流程圖,引發對問題本質的深刻思考,代替傳統的記筆記.學習不再是被動地接受教師的思想與實踐,而是將解題經歷中的思維作為一種新的知識進行學習．在反思評學環節,學生通過類比遷移解決新問題,最終實現思維可視化的實踐,體現思維對每個人都是可探索、可挑戰、可進步的．這樣的教學設計更有利于激發學生的探索欲,培養學生復雜背景下的邏輯思維能力,發展學生的邏輯推理素養．