項目式學習在數(shù)學探究活動中的應用研究
——以“楊輝三角的性質與應用”為例*

柯燕萍 (福建省廈門市同安區(qū)教師進修學校 361100)

數(shù)學建模與探究活動是高中數(shù)學課程四條主線之一,這類活動以學生為主體,在教師的引導下,學生通過經(jīng)歷實踐獲得知識技能,并提高學科素養(yǎng)．項目式學習的理念和數(shù)學探究活動在一定程度上是相通的,但是兩者又有差異．數(shù)學探究是從數(shù)學角度明確所研究的內容,而項目式學習則是從方法角度強調怎么做,對過程和結果要求更加具體明確．

經(jīng)過實踐驗證,通過項目式學習方法開展數(shù)學探究活動,可明確活動的目標,加強活動的程序性,增強學生學習過程的體驗,提高學生的綜合能力和數(shù)學核心素養(yǎng)．本文以“楊輝三角的性質與應用”為案例,解讀如何借助項目式學習開展數(shù)學探究活動的教學．

1 模式探索,優(yōu)化數(shù)學探究活動的學習路徑

數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動[1]35．它的特點是有一個要解決的問題,引導著活動的進程;有一個要學生全程參與、解決問題的過程;有一個可以分享交流、需要交互參與的評價結果．

美國巴克教育研究所提出:項目式學習是一套系統(tǒng)的教學方法,既是對復雜的、真實的問題的探究過程,也是精心設計項目作品、規(guī)劃和實施項目任務的過程,學生通過經(jīng)歷過程掌握知識,提高技能．項目式學習這一模式給高中數(shù)學探究活動提供了一條實施的路徑．它以終極產(chǎn)品要求來制定活動的目標,目標的指向性更為明確．

對于項目式學習實施的流程,經(jīng)過一段時間的學習和實踐探索,我們把流程具體化為如圖1所示的幾個步驟．那么,在具體教學中,如何借助項目式學習來進行數(shù)學活動探究呢?

圖1

2 應用實踐,強化數(shù)學探究活動的過程體驗

2.1 定目標——確定對象,制定項目目標和產(chǎn)品

學習了二項式定理,了解二項式系數(shù)之間的規(guī)律．那么如何深挖二項式系數(shù)背后的規(guī)律呢?可以從定理本身的背景或者生活應用入手．

楊輝三角是我國數(shù)學史上一個偉大的成就,它不僅具有數(shù)學思維和數(shù)學文化上的魅力,還蘊含著豐富的代數(shù)性質和應用價值．因此把“楊輝三角的性質和應用”作為探究活動,可延續(xù)之前對楊輝三角的探究,制定“從楊輝三角發(fā)現(xiàn)規(guī)律性質”和“調查和研究楊輝三角背后的文化和應用”的終極產(chǎn)品．

2.2 析路徑——設置驅動問題,分解項目任務

·發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題

楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家,在其1261年所著的《詳解九章算法》一書中,記載了“開方作法本源圖”．

有同學發(fā)現(xiàn),這是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在學習二項式系數(shù)的性質時,借助這樣的形式,發(fā)現(xiàn)了二項式系數(shù)間的一些規(guī)律．

驅動問題:繼續(xù)觀察楊輝三角,還能發(fā)現(xiàn)其他不同的規(guī)律嗎?可以通過哪些角度來進行觀察呢?

追問:(1)從楊輝三角的每一行出發(fā),除了對稱性,還能發(fā)現(xiàn)其他的性質嗎?(2)對楊輝三角進行降維處理,除了觀察每一行的規(guī)律,還可以從哪些角度尋找楊輝三角的性質?(3)你能對觀察發(fā)現(xiàn)提出合理的猜想嗎?

·提出解決問題的思路,猜想合理的數(shù)學結論

(1)觀察發(fā)現(xiàn),合作完成

從圖形出發(fā)觀察數(shù)字之間的關系,提供一些方法輔助:圈一圈、連一連、算一算,找到一些思維方向．根據(jù)已有經(jīng)驗,楊輝三角的特殊性在于其是特殊數(shù)字按照一定規(guī)律排布的三角形數(shù)陣,它兼具形和數(shù)的特征.從形的角度出發(fā),再將離散的數(shù)抽象為具有統(tǒng)攝效果的代數(shù)符號,進行代數(shù)運算,尋找代數(shù)運算的不變性,即楊輝三角的規(guī)律性．

在這個過程中,項目組可以進行合作．例如第一小組觀察從橫行出發(fā),第二小組從斜行出發(fā)．每個小組通過觀察得出特殊結果,并進行合理猜想,最終選擇一名代表上臺展示觀察的結果和猜想 的結論．小組內每個成員可以展示一個猜想結果,保證每位學生都參與其中,既有小組合作又有個人展示．

觀察角度1 從楊輝三角的橫行出發(fā):①橫行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等(圖2);②橫行的數(shù)字的和分別為2,4,8,16,32,64,…(圖3);③橫行的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等(圖4)．

圖2

圖4

觀察角度2 從楊輝三角的隔行出發(fā):④除了1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和(圖5)．

觀察角度3 從楊輝三角的斜行出發(fā):⑤自腰上的某個1開始,平行于腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)(圖6)．

(2)歸納猜想,總結規(guī)律

通過觀察形成歸納猜想,進行推理和證明思路的整理,可以培養(yǎng)學生的邏輯思維,這對于學習和研究數(shù)學是至關重要的技能．

由于楊輝三角的直觀性,學生容易發(fā)現(xiàn)一些數(shù)的規(guī)律,根據(jù)之前學習二項式系數(shù)的規(guī)律,可以歸納出一些合理的猜想(表1)．

表1 楊輝三角規(guī)律的猜想

·論證數(shù)學結論

數(shù)學推理論證是一種嚴密的邏輯推理過程．嚴格的論證可以確保數(shù)學結論的正確性和準確性．為了確保上述猜想的正確性和準確性,對猜想進行驗證．

猜想1～猜想3是已學的二項式系數(shù)的關系,學生容易進行論證．這里對猜想4和猜想5進行證明．

這是楊輝三角的遞歸性．

2.3 恰當指導——圍繞主題,耐心指導

由于楊輝三角的直觀性和性質的豐富性,適合第1課時當堂完成探究;而那些“深藏不露”的性質,需要引導學生課后查找閱讀相關材料,讓不同發(fā)展水平的學生都能進行探究,并有所收獲．教師應指導學生開展閱讀交流活動,并針對歷史材料提取出楊輝三角的有益信息．

為了引導學生深入探究問題,研究周期可設定為兩周甚至更長．展示之前,建議安排中間第2課時進行中期匯報和展示,教師根據(jù)學生研究的結果進行針對性的指導．從楊輝三角的性質出發(fā),拓展性質背后的應用和實際背景,形成系列結果．

2.4 述產(chǎn)品——分享交流,展示產(chǎn)品

學生展示的學習成果可以是一份報告、演示文稿、實物模型、藝術品、軟件程序或其他形式的產(chǎn)品．通過產(chǎn)品展示,學生鞏固其對所學內容的理解,并展現(xiàn)出自己的實踐能力和創(chuàng)造力．

歷經(jīng)三周的探究,項目完成,以下是學生展示的項目作品范例．

項目作品1

數(shù)學背景 除了1之外的數(shù)都等于其肩上的兩數(shù)之和．

項目作品2

其中結論(3)涉及一個古算題的背景．

現(xiàn)實背景 垛積問題．楊輝在《詳解九章算法》中記載有這樣一道題目:“三角垛,下廣,一面一十二個,上尖,問:計幾何?”答曰:“三百六十四個．”如圖7所示的是四層的情況．

圖7

圖8

楊輝三角還可以應用于開方古算題、牛頓對圓周率的估算、楊輝三角中的素數(shù)等,展現(xiàn)楊輝三角的應用價值,感悟數(shù)學文化．

3 評價發(fā)展,深化數(shù)學探究活動的意義

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:“通過考查,診斷學生學習過程中的優(yōu)勢與不足,進而診斷教師教學過程中的優(yōu)勢與不足;通過診斷,改進學生的學習行為,進而改進教師的教學行為,促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成．”[1]84

3.1 針對研究過程的評價依據(jù)

通過觀察學生在課堂上的學習行為、合作學習中的思維過程,以及學生解決問題的方法路徑的探索,發(fā)現(xiàn)學生思維發(fā)展的特征,從而發(fā)現(xiàn)教學中的問題,及時調整教師的教學行為．

本項研究中可以觀察學生的以下行為:(1)能否從教師的引導中對問題進行深入思考,尋找觀察楊輝三角的研究路徑;(2)能否通過閱讀網(wǎng)上的資料,整理內化,發(fā)現(xiàn)楊輝三角的規(guī)律;(3)能否認真總結已有性質的證明依據(jù),并類似地證明其他性質．

3.2 針對報告內容設計的評價依據(jù)

項目式學習可依據(jù)學生對任務的內容設計、評價報告的結構和組織、評價任務完成的情況,以及報告內容的設計來進行評價:(1)根據(jù)課時的引導,學生能否總結出研究路徑,并通過總結的路徑進一步研究;(2)學生梳理清楚楊輝三角的性質后,能否給出嚴謹證明,并形成報告;(3)學生能否寫出每條性質的數(shù)學背景或實際背景．

3.3 針對學生學習態(tài)度的評價依據(jù)

學生良好的學習態(tài)度是完成學習任務的基礎,是培養(yǎng)關鍵能力的基礎,是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)、促進科學精神養(yǎng)成的必要條件．評價時應關注以下幾方面:(1)評價學生對項目經(jīng)驗的反思和改進能力,包括認識自己的不足、制訂改進計劃和積極執(zhí)行等方面;(2)評價學生在與團隊成員和其他相關人員的溝通和合作中的表現(xiàn),包括態(tài)度、尊重和有效的交流等;(3)評價學生主動參與項目的程度,包括主動提出問題、主動尋求資源和主動參與討論等．

多元化評價在培養(yǎng)學生綜合能力、促進深度學習、強調實踐意義、支持反思和反饋,以及促進合作等方面發(fā)揮著重要作用．鼓勵學生進行深度學習和探究,比傳統(tǒng)的表面性記憶和應試評價方式更注重學生對學習主題和問題的深入理解．

4 結束語

數(shù)學探究活動意義深遠,項目式學習方式為數(shù)學探究活動提供了一條實施路徑．教師做好方法的指導,學生從被動配合到主動融入,全面參與到探究活動來,體驗數(shù)學探究活動,達到發(fā)展學生綜合能力和核心素養(yǎng)的目標．