“做數學”:實現整體建構、發展抽象能力的有效途徑
——以做“倒水實驗”方式學習“函數概念”為例*

姜鴻雁 (江蘇省無錫市蠡園中學 214072)

許沈琳 (江蘇省無錫市河埒中學 214063)

1 引言

函數被德國著名數學家克萊茵(F.Klein,1849—1925)稱為數學的“靈魂”[1]．隨著函數概念的出現,學生從常量數學跨入變量數學的領域,認知將發生“質”的變化．函數概念的學習,對提高學生的數學素養、培養學生的創新精神和應用意識,都有不可替代的指導作用[1]．

初中階段函數學習的一般進程是:先初步了解變量與函數的概念,然后再分別研究三個具體的函數(一次函數、反比例函數與二次函數),其中,變量與函數是難點之一．對此,一些教材采用避開難點的辦法,在引入變量與函數的概念后直接進入一次函數的學習,讓學生在學習具體函數的過程中,逐步感悟函數的思想方法與研究函數的一般思路．這種辦法雖然降低了函數學習的難度,但學生往往“只見樹木,不見森林”,缺乏對函數的整體認識．

為了解決上述難點,我們嘗試設計“倒水實驗”,期望通過具體的實驗操作,使學生親歷變化過程,理解其中的變量與常量,探索變量之間的變化規律及其表達方式,為后繼函數的學習提供直觀經驗和整體概觀．這是一種以“做”為支架,通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動,獲得數學概念、發現數學規律和應用數學知識的學習方式,稱為“做數學”[2]．

2 “倒水實驗”的教學設計及價值分析

2.1 教學目標

實驗的總體目標是幫助學生初步感悟研究函數的基本思路,具體包括:

(1)理解一個變化過程中的常量與變量,初步感受常量與變量之間的辯證關系;

(2)通過數量關系探索兩個變量之間的變化規律;

(3)用列表、圖象和解析式表示兩個變量之間的函數關系,初步感悟三種表示方式的意義及聯系．

2.2 實驗器材準備

(1)形狀各異的玻璃瓶:A1(直徑為5.5 cm的圓柱形,瓶中無水),A2(直徑為5.5 cm的圓柱形,瓶中有水),A3(直徑為8 cm的圓柱形,瓶中無水),A4(直徑為8 cm的圓柱形,瓶中有水),A5(直徑為3 cm的圓柱形,瓶中有水),B1(圓錐形),B2(倒錐形),B3(球形),C1(松樹形狀),C2(五角星形狀)(圖1)．

圖1 形狀各異的玻璃瓶

(2)帶有刻度的容量為30 ml的小量杯10個(每小組1個),教師另有10 ml、50 ml量杯各1個(圖2)．

圖2 容量為30 ml的小量杯

(3)刻度尺、水.

實驗器材準備意圖“工欲善其事,必先利其器．”實驗工具作為數學實驗的有效載體,發揮的作用不容小覷．基于本節課的教學目標,外形多樣的玻璃瓶不僅可以有效地激發學生的學習興趣,喚醒學生的探索意識,也為理解各種函數變化規律,培養幾何直觀、抽象能力等學科核心素養作準備．

2.3 實驗報告設計

表1所示為本次實驗設計的報告單.

表1 教學實驗報告單

實驗報告設計意圖實驗報告由實驗用具、實驗數據、實驗思考三個部分構成,這樣的設計有助于學生明確實驗目標,引領實驗探究．實驗數據以“數”“形”兩種方式描述,表格記錄實驗數據清晰明了,圖象反映實驗結果形象直觀,這既是記錄實驗結果,也是承前一章《平面直角坐標系》,更是預示未來——函數的表示方法．實驗思考意在啟發學生回顧反思實驗過程,通過思考實驗結果,發現規律,使函數概念生成得更加自然．

2.4 實驗價值分析

本實驗設計有如下特點與價值:(1)常量與變量“觸手可得”,變量對應“清晰可見”.學生用量杯倒水、用尺測量水面高度,知道每次倒水量不變(30 ml),看到每倒一次水,水位只有一個高度與之對應,與玻璃瓶形狀無關.在具身體驗中認識常量與變量,抽象的函數概念變得具體[3],有利于理解函數概念．(2)表達變化數形“雙管齊下”.表格中的數、坐標系下的點、平滑的線,通過不同的方式描述變化表達對應,在幾何直觀中承前章啟本章,體會函數表示方法的多樣性,感受玻璃瓶起始狀態不同(有水與無水)則函數圖象的起點不同,玻璃瓶形狀不同則函數圖象的“走勢”不同,玻璃瓶粗細不同則圖象“陡峭程度”不同,這些均為全章整體建構開啟良好的篇章．(3)辯證思維、理性精神“滲透無痕”.在具體操作中“求同存異”,瓶子不同但有“倒水次數與水位高度對應”相同的特點,不同形狀的玻璃瓶、不同的水位起點則對應不同的圖象,……這些結論是學生親手做出來的,親眼看出來的,腦子想出來的,是來自實驗的事實,不是紙上談兵,更不是教師灌輸.

3 課堂教學實施流程及片段解讀

3.1 說明實驗要求

師:每個小組有一個玻璃瓶,形狀各不相同,有大小不一的圓柱形、球形、錐形、五角星等形狀;有的是空瓶,有的裝有一定量的水;另外還有一個容量為30 ml的量杯．今天我們做“倒水實驗”,記錄倒水過程中的數據,思考倒水的結果,看看有什么新的發現．

實驗步驟:

(1)分工合作:1位同學倒水,2位同學測量水平高度,1位同學記錄數據．

(2)操作記錄:每次向玻璃瓶中注入1量杯水,測量注水后的水面高度,并記錄注水杯數及對應水面高度．

(3)描點連線:將注水的杯數記作x,作為橫坐標,對應水面高度記作y,作為縱坐標,描點并連線,將所得數據繪制成一張變化趨勢圖．

片斷解讀講清實驗操作具體要求,科學分工協作,提高“做”的效率,確保得到較為精準的實驗結果,為抽象概括生成函數概念做好素材準備．

3.2 學生實驗

大約13 min完成實驗．

片斷解讀“做數學”極大地調動了學生的積極性,激發了學生的探索欲望,讓學生有足夠的熱情投入到實驗探究中去,也有利于培養學生尊重科學的理性精神．

3.3 交流實驗結果

·交流實驗組共性,生成常量與變量概念

師:觀察表格中的數據,說說你的發現．

生(齊):注水的杯數在增加,玻璃瓶的水面高度在升高．

師:杯數和水面高度這兩個量都在變化,我們把數值發生變化的量叫作變量．實驗中有沒有不變的量?

生:每次注入玻璃瓶的水,玻璃瓶的高度、容積．

師:像這樣數值保持不變的量叫作常量．

師:若老師三次分別用容積為10 ml,30 ml,50 ml的量杯裝滿水,并倒入玻璃瓶,那么每次注入的水仍然為常量嗎?

……

片斷解讀通過問題串,指引學生回顧實驗過程中存在的“變”與“不變”,得到“變量”“常量”的概念,將學生帶領到“變量數學”的領域．設計“替換量杯”環節,以體現常量和變量的相對性,滲透辯證思想．

·分析實驗結果共性,抽象概括函數概念

活動1 第一小組(A1)匯報實驗數據．

問題串:(1)在這個容器中注入1杯后,測出高度是多少?水面高度是唯一的值嗎?

(2)注入2杯,水面高度是多少?唯一嗎?注入3杯,仍然是唯一確定的水面高度嗎?……

(3)從這些數據中可以看出,隨著杯數的增加,水面高度也在增加;當注水杯數確定時,水面高度也隨之確定嗎?

(4)如果加入一杯半水,也就是當杯數x為1.5時,能量出水面高度嗎?高度唯一嗎?

(5)你能預測到注入12杯后的水面高度嗎?

總結變化規律:對于注水杯數的每一個值,水面高度都有唯一的值與它對應．

活動2 實物投影4個小組的實驗數據．

問題:各小組數據不盡相同,但你能發現每小組實驗結果的共同特征嗎?請表達出來．

活動3 請其余小組成員談談自己小組的數據反映出的變量間的特點,生成函數概念．

片斷解讀首先,以第一小組數據為“點”,在問題串的驅動之下,促進學生對“做數學”的實踐過程進行理性的梳理,經歷觀察、推理、分析、猜想等思維過程,逐步對兩個變量之間的對應關系形成清晰的認知;其次,以4個小組的數據為“線”,發現與第一小組的結果存在一定的共性;最后,推而廣之到“面”(所有小組的數據),進一步體會共性所在,引導學生用數學語言規范地描述兩個變量之間的對應關系,抽象出函數概念,引出課題．

·關注常量與變量的實際意義,感悟研究函數的一般思路

活動4 以第一組的玻璃瓶為參照,逐步分三個層次:(1)形狀相同、大小相等但原先有水和無水的兩個玻璃瓶;(2)形狀相同、大小不等、原先均無水的兩個玻璃瓶;(3)形狀不同的兩個玻璃瓶．對照實驗結果(尤其是繪制的圖形),分別討論它們的不同之處．

片斷解讀函數是描述一個變化過程的數學模型,其中的常量與變量不僅具有實際意義,也會影響函數的變化規律．學生在反復比較、充分交流的過程中,感受到函數的變化規律不僅與變量的設置有關,也與玻璃瓶的形狀有關,進而認識到函數關系及其表達方式的多樣性,為后續各種具體函數的學習播下直觀而理性的“種子”．

4 學生反饋

為了更好地了解學生通過“做數學”的學習方式獲得函數概念的學習效果及情感體驗,課后,我們以問卷的形式進行了調查．對于問題“很多同學剛剛學習函數概念時,覺得很難理解(甚至有些同學在很長一段時間內,覺得困難),你覺得通過倒水實驗的學習過程,這個概念很難理解嗎?說說你的想法．”“你喜歡這種通過親手操作做實驗獲取知識的學習方式嗎?說說你喜歡或者不喜歡的真實想法(理由)．”有98%的學生認為通過倒水實驗的過程,可以較好地理解函數的概念,并表示喜歡這種通過親手操作做實驗獲取知識的學習方式,認為活動豐富有趣,結果形象直觀,留下了深刻的印象．對于類似“若兩個變量x,y之間的數量關系可以寫成y+2x=3,變量y是x的函數嗎?為什么?變量x是y的函數嗎?為什么?”等考查函數本質特征的問題,97%的學生可以準確地回答,這說明通過“做數學”的方式學習,有利于函數概念的理解．

5 反思與總結

5.1 “做數學”的團隊實驗結果,有利于形成概念

數學概念是數學學習的邏輯起點,是學生認知的基礎,是學生進行數學思維的核心,在數學學習與教學中具有重要的地位[4]．歸納“研究對象的本質”是形成概念的關鍵,也是概念學習的核心所在,提供豐富的有意義的研究對象,有利于提煉研究對象的本質．“變量數學”“高度抽象”等這些貼在函數概念上的“標簽”,足以表明學習函數概念不是件容易的事．提供一定量的有利于提煉函數本質特征的素材,有利于概念的生成．

本節課的倒水實驗以玻璃瓶起初有水無水、形狀規則與不規則等為標準,將全班學生分成10個小組,獲取10組數據,繪制10幅圖形,這為抽象實驗結果的共性、生成函數概念提供了豐富的素材．教師以問題串為引擎,讓學生經歷觀察思考,從1組數據到4組數據,直到10組數據,如此“點、線、面”的方式逐步鋪開,而且數據都是學生“做數學”“做”出來的,心理上有著真實可靠的情感,讓學生切實感受到雖然數據眾多、圖形各異,但并非雜亂無章,而是有章可循.學生在教師精心設計的問題中啟發思考,發現規律,表達“章法”,形成概念．經歷如此學習過程,學生能夠體悟到在面對復雜多樣的現實世界時,要善于發現本質、總結規律,有利于認識現實世界．

5.2 “做數學”的團隊思維成果,有利于建構整體框架

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:“在教學中要重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.”[5]數學知識不是孤立存在的,要了解它的落腳點、生長點和延伸點,關注它們的聯系和結構,架構知識的整體體系,由點及線,以線觀面．因此,要利用恰當的主題活動整合教學內容,有利于促進學生對知識本質的深度理解,加強學生思維的連貫性．

作為章首課,“變量與函數”具有提綱挈領的作用．倒水實驗作為章頭圖活動的改編,承接舊知(平面直角坐標系),導入新知(函數概念),達成課時目標并引申到函數單元甚至整個主題．實驗中,通過對實驗結果的不同記錄方式,為函數的三種表示方法埋下伏筆,體現數形結合、滲透幾何直觀．實驗后,對用不同的玻璃瓶得到的實驗結果進行分享分析,發現變量間不同的對應關系有不同的圖形表達．通過反復地觀察、對比,初步感受各函數的基本特征,感受到存在最簡單特殊的函數,它應該是深入學習函數的起點．學生在“從特殊到一般”的思維過程中生成概念(由各組不同的實驗結果,達成一般共識,生成函數概念),再從“一般到特殊”的感悟中建構大致框架(都是函數卻有不同,有些簡單有些復雜,從而建構函數體系的大致框架),為后續學習一次函數乃至二次函數、反比例函數做好鋪墊,體現了大單元教學觀．本節課以“做數學”為媒介,引導學生初步建構以函數為主題的知識體系,而且讓學生大致了解函數的研究路徑:定義—圖象—性質,體驗函數建模的過程,積累研究問題的方法和解決問題的策略．

5.3 “做數學”的具身學習方式,有利于發展抽象能力

數學中的概念、命題、方法與體系都是數學抽象的結果[6]．“抽象”是數學學科的本質特征,發展學生的抽象能力是培養學生認識現實世界的重要任務,概念教學是發展抽象能力的重要抓手．以函數概念為例,不少教師通過列舉一定量的生活中的例子,試圖引導學生發現:在一個變化過程中的兩個量,其中一個變量取一個值,另一個變量有唯一確定的值與它對應,從而生成函數概念．但筆者認為,這些例子是教師列舉出來的,變量之間的關系也是在教師的牽引之下學生被動生成的,這種學習方式是“離身”的,雖然情境是生活中的,也是真實的,但學生依然是學習的“局外人”．

倒水實驗這一過程有如下幾個特點:水是學生自己倒的,數據是學生自己測量并記錄的,圖形是學生自己描點連線畫出來的,瓶子的形狀是看得見摸得著的．這些特質使得學生真正成為學習的主人,他們以“做”為支架,進行“操作觀察—感悟思考—理解表達”等一系列有意義的數學活動．在這種學習方式中,學生就是情境中的人,是“具身”的,于是抽象變得不再那么抽象．

6 結束語

通過倒水實驗,學生在“知行合一”中走進“變量與函數”的世界,初步理解函數的概念,初步感受到以函數為主題的學習框架,積累了一些認識世界的經驗.在“主人翁”的角色中,經歷從特殊到一般的抽象,再從一般到特殊的建構,感受到“數”與“形”的統一,以及從“形”(繪制的圖形)到“形”(玻璃瓶的形狀)的想象與預測,這些體驗不是憑空臆想,而是來自實踐操作、理性思考,如此高品位的學習方式將影響學生的終身發展．