基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐研究
——以“感知神經網絡數學建模探究”一課為例*

杜志國 (江蘇省昆山經濟技術開發區高級中學 215300)

1 背景

隨著ChatGPT火遍全球,人工智能相關技術也受到廣泛的關注．人工智能的興起不僅帶動了相關產業的發展,同樣也帶動了對人工智能相關數學基礎的深度關切．

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)進一步明確了數學學科的核心素養:會用數學眼光觀察世界,會用數學思維思考世界,會用數學語言表達世界[1]2．但在傳統教學過程中,多數教師習慣了流水線式的、單一的知識講授,教學過程枯燥、無趣,真正的“學習”過程發生的機率比較小,教學效能低下,學生對數學公式、方法、模式沒有可視化的直觀感知．

筆者經過多年實踐,從STEM教育理念出發,結合校園生活,引導學生建模,深度理解數學模型,并探究模型的內在本質與關聯[2]．最后利用大數據分析軟件讓學生看到研究成果．對資源的重構、對教學流程的重組,激發了學生對數學模型探究的潛能,提升了教學實效．

2 基于STEM理念的數學建模探究主線教學

2.1 STEM教育理念

STEM教育起源于美國,其設計的初衷就是以培養學生的工程素養為目標,將多學科整合為其基本特征．STEM教育目標在于培養學生科學(Science)、技術(Technology)、工程(Engineering)和數學(Mathematics)四門“元學科”以及相關交叉學科的整合跨學科知識解決問題的能力[3]．

2.2 數學建模與探究主線

《課標》將“數學建模和數學探究”作為貫穿教學的一條主線,并指出:“數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程．主要包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、構建模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題．”[1]34數學建?；顒訌娬{每一個數學概念的背景、重要結果的直接應用、數學結果的綜合應用和數學建模的基本過程．數學探究活動強調不同知識間的聯系和問題的解決．兩者既是課程內容,也是學習方式,更是學生實踐能力和創新意識的展現．數學建模活動與數學探究活動所具有的問題性、情境性、綜合性、開放性、實踐性、創造性等特征,使兩者更契合數學學科核心素養的本質屬性和特點,所以在核心素養的視域下,教學更應該強化這兩類活動,使其在發展學生核心素養上發揮更好效能．

2.3 基于STEM理念的數學建模探究主線教學

美國國家研究委員會(NFC)指出,STEM教育教學改革的核心理念在于“跨學科整合”“循證教學”和“主動學習”．其三點理念核心與數學建模探究相契合,STEM跨學科整合可以視為數學建模的延伸與拓展[4],而與STEM理念中的主動學習與探究一脈相承．

基于STEM理念的數學建模探究主線教學重在跨學科整合．在教學過程中,教師立足于學生的認知基礎,將數學及其他學科知識進行系統整合,形成近似真實情境的學習目標、過程與探究場景,進一步拓展對數學學科核心素養的深入理解．基于STEM理念的數學建模探究主線教學推動循證教學,在學生動手探究中建構數學模型的推理邏輯過程,借用STEM教學評價方法實現對學生學習體驗的教學活動過程進行監測和對學習活動和學習環境展開監測,真切地將教學圍繞學生展開,并且關注學生認知的過程,強調對學習習得過程的循證監測．基于STEM理念的數學建模探究主線教學引導學生主動學習,通過小組探究模型,將零散的知識、技能等整合在一起,促進“高階思維”在課堂教學中真正發生[5]．

3 基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐

教學實踐的開展、推進與總結必須要確保其實踐流程的科學性、系統性與嚴謹性．課題研究小組從實踐設計思路、教學實踐等方面構建迭代的教學實踐流程框架,保持在迭代的過程中不斷優化,讓教學實踐沿著“循證教學”的思路,不斷完善與提升．

3.1 基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐設計思路

STEM教育理念提倡跨學科思維、科學的探究能力、工程實踐能力及團隊合作能力等綜合能力的培育.課題組根據研究需要,吸收了其他學科的教師團隊,讓數學建模探究主線呈現科學性,拓展出技術可視化,并提供豐富的可操作工具與流程方法．基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐的設計思路可以分為:協同教學、可操作性與完整性(圖1)．

圖1 基于STEM理念的數學建模探究主線實踐思路框架

以“感知神經網絡數學建模探究”一課為例,協同教學表現在數學教師與課題組其他學科教師一起備課．課題組成員擁有不同的學科背景,在一起協同備課,可以確保設計的流程與學習群體之間的契合度．設計協同教學時,還隱匿著制訂潛在的、可行的教學實踐流程．因涉及不同的學科,在前后表達的邏輯、教學任務可行性方面需探索出可行的路徑,以形成統一的教學目標．

例如,數學公式的推理過程要讓教學對象可以接受,也就是在表達時要適當降低復雜度,提煉出關鍵點,以學習者可以接受的數學知識呈現．其次,可操作性主要體現在數學建模與探究主線實踐教學不應僅停留在書面上．學生學習不僅可以通過紙、筆的邏輯推演,我們更希望借助Python語言可視化呈現出數學模型與探索成果,并且應用到技術實踐中,形成數學模型發現、假設、分析、總結與應用的全流程化、完整的學習體驗過程[6]．在“做中學”中體驗與感悟數學建模與探索主線的魅力．

3.2 基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐

跨學科教學對教師的要求較高,課程開發組需要在教師能力圈、學生認知圈與數學學科核心素養體系框架下尋找出交集,開展團隊協同下的教學實驗．聚焦學生的問題解決能力,注重教學過程中模型結論的歸納總結能力．課題組按照STEM理念的教學活動設計流程:識別問題和限制條件、研究、構想、分析想法、構造原型、測試和完善、交流和反思,再結合數學學科與其他學科課堂教學的可行性,有選擇地制訂學生體驗流程．

(1)創設情境 確立主題

以“感知神經網絡數學建模探究”一課為例,從印象派大師莫奈的作品與校園中的鳶尾花引入話題(如圖2,鳶尾花在希臘語中稱為彩虹,表示天上彩虹的顏色都可在這個屬的花朵顏色中看到．鳶尾花在我國常用來象征友誼、鵬程萬里與前途無量),再進一步提出本堂課的問題“如何區分變色鳶尾與山鳶尾”,引導學生從感性認知上升到理性認知．教學的內容源自校園生活,結合數學學科與其他學科的科學實踐形成教學研究內容．同時,遵循學生的最近發展區,結合學生的特征與認知層次,形成相對真實的問題情境．

圖2 從畫家筆下的鳶尾花引到校園中的鳶尾花

(2)數學抽象 模型構建

任務1請將下列點用不同符號(變色鳶尾用小圓圈,山鳶尾用小三角形)標入下列坐標系中(圖3)．

圖3 學生動手在坐標系中標注數據

高中數學學科核心素養包括了數學抽象與數學建模．任務1從花瓣長度與寬度(單位:cm)出發,讓學生在動手標注數據將數據形象化、可視化中體驗坐標系對學生理性思維的功用,理解變色鳶尾花與山鳶尾花的感觀區別．通過動手實現,推動學生運用視覺分析形成數學模型,為下一步數學模型的推理建立假設．該過程中也體現出STEM教學“做中學”的理念．

接著,引導學生從圖形中建立區的基本假設,區別變色鳶尾與山鳶尾自然只需要劃一條直線將圖3中圓點與三角形區別開．這一思維的過程顛覆了傳統的做法:傳統教學一般是給出方程來計算結果,而實踐情境中是依據數據構建方程來區別兩堆數據．為實現區分,每個小組構建的方程又不一樣,如此從確定性的探究轉化為不確定性結果的研究,讓個性化學習真正發生．

(3)模型探究 結果推斷

任務2將分類器0.5x+y-2=0畫在圖3中,考察點與分類器的關系．

上述問題即為分類問題．分類就是在已有數據基礎上訓練出一個分類函數或構造出一個分類的數學模型,也稱為分類器(classifier)．每個小組在自身確立分類器的基礎上,再以小組形式展開對分類器g(x,y)的探究．以分類器0.5x+y- 2=0為例,學生的分歧點恰恰就是感性認知與理性分析的矛盾點．此時,圍繞研究點展開小組合作．借助坐標系,將研究任務分成若干步驟,構建基于學習認知水平的階梯型的研究任務鏈(表1)．

表1 以0.5x+y-2=0為分類器的研究任務鏈

將任務中分類出錯的點,歸納總結為分類器

(說明:+1表示點在直線上方,-1表示在直線下方或線上．)

結論:當g(x,y)(0.5x+y-2)>0時,表明此時分類完全正確,不需要調整;當g(x,y)·(0.5x+y-2)≤0時,表明此時分類出錯,需要按表1內容調整．

上述結論是數學模型的核心,也是下一步工程實踐的基礎．將紙上推導出來的結論應用到實踐中去,可以讓學習者完整地體驗邏輯推理到工程實現的學習過程．

(4)模型優化 工程實現

根據上述對感知器數學模型的分析,我們設計出應用數學模型的算法:

第1步 初始化斜率w與截距b;

第2步 當感知器數學模型預測結果出錯時,即上述g(x,y)(0.5x+y-2)≤0時,持續更新斜率w與截距b;

第3步 直到訓練數據中沒有誤分類數據為止．

工程實踐基于Andconda平臺,它集成了180多個科學包,高效使用Python與R語言,是目前數據科學領域最流行的實驗平臺,核心Python代碼如圖4所示．

圖4 Python代碼

學習者通過動手感受數學模型的可視化,進一步厘清了數學模型的實現價值與意義.從數學模型到程序自我調整與改進的過程,讓學習者真切地感受到數學模型探究主線的過程、邏輯與最終可視呈現,加深了對數學解決實際問題的思路與方法．最終呈現的數據模型的應用成果如圖5所示．

圖5 可視化呈現數學模型的應用結果

(5)總結提煉 啟發點化

經過上述Andconda平臺的工程實踐后,學生對分類器有了認知體驗．數學的公式、模型不再是紙上的公式．但是少量的數據并不能解決現實世界的問題．在上述分類器基礎上,課堂最后總結并引入感知器神經網絡模型(圖6),并且指出上述模型就是當下最流行的深度學習技術中的感知器神經網絡模型,是我們日常生活中人臉識別、車牌識別等應用的數學基礎,引導學生自我發展并奠定人工智能時代基礎的數學思維邏輯．

圖6 感知器神經網絡基本抽象模型

3.3 基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐反思

基于STEM理念的數學建模探究主線教學,整體以數學學科為核心,融合校園生活中的花草情境,后端整合了信息科學中的人工智能,用數學模型模擬了腦神經科學．在學生認知分歧點上安排有難度層級的任務鏈,可以有效地幫助學生通過一個個有效的研究,提升數學理性邏輯的分析能力．在關鍵任務研究時要舍得花時間,讓深度學習真正發生,讓實踐中的反思煥發出學生的質疑精神,提升認知．最后借助了信息科學可視化模型的應用結果,學生的參與度很高,可視化進一步加深了學生對數學模型的理解．

4 結語

數學建模與探究是高中數學課程中引入的新的學習方式,有利于激發學生的主動性和創新意識,促使學生積極主動學習,有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣;培養學生發現、提出、解決數學問題的能力,發展學生的創新意識和實踐能力．基于STEM理念的數學建模探究主線教學實踐給數學“做中學”提供了一種范本.但在實踐教學中我們還發現,由于分類器的首次假設是由研究小組來定的,在模型的普適性上并不一定完全正確,當測試數據與應用數據不是同分布時,就會出現意想不到的結論．因此,數學的模型一定有其適用的場景與前提條件,教學過程中需要進一步強化批判性思維的引導．