看似尋常最奇崛 多思多解蘊素養
——濱州市2023中考試題第20題評析與教學思考*

陳元云 (山東省惠民縣辛店鎮中學 251710)

邢成云 (山東省濱州市教育科學研究院 256600)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標》)在評價建議的條目一中指出:“不僅要關注學生知識技能的掌握,還要關注學生對基本思想的把握、基本活動經驗的積累．”[1]中考作為義務教育階段的終結性評價工具,每一道題都凝聚了專家的智慧與期望．在此,筆者以2023年濱州市中考試題第20題為例,在試題評析的基礎上,立足解題教學談談自己的思考,與各位同行共勉．

1 試題分析

1.1 原題呈現

如圖1,(1)已知線段m,n,求作Rt△ABC,使得∠C=90°,CA=m,CB=n;(請用尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)

圖1

(2)求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．(請借助上一小題所作圖形,在完善的基礎上寫出已知、求證與證明)

1.2 解法探索

本題包含兩個小題,每小題均有多種解法,限于篇幅,下面只提供每種解法的簡要解析．

第(1)題有兩種解答思路:思路一,先作出直角,再在所作直角的兩條邊上分別截取線段m,n即可得出要求作的直角三角形;思路二,先作出線段m,再過線段m的一個端點作出其垂線,后在所得垂線上截取線段n,由此得到符合題意的直角三角形．因思路二中“作一條線段等于已知線段”“過一點作已知直線的垂線”這兩個基本作圖沒有多少開放性,本文不再討論,而思路一中作直角的開放性較大,故下面僅提供“作直角”的不同方法．

方法1 如圖2,過直線MN上一點C作直線MN的垂線(實質是作出平角∠MCN的平分線),得∠DCN=90°.

圖2

方法2 利用“過直線外一點作已知直線的垂線”[2]62這一基本尺規作圖作出垂線后,即可產生直角.

方法3 利用基本尺規作圖作出“線段的垂直平分線”[2]63得到直角．

以上三種方法都是直接使用基本作圖一次性完成,對本小題的解答而言是最基本、最經濟的方法．但若從教學研究的視角去思考如何作直角,筆者發現可有如下另外的7種方法．

方法4 如圖3,以點D為圓心、DM長(DM可以為任意長)為半徑畫弧,在弧上任意找兩點M,N,連接DM,DN,得出等腰三角形DMN,再利用尺規作圖作出其頂角的平分線或底邊的垂直平分線,得出∠DCN=∠DCM=90°．

圖3

方法5 如圖4,以點M為圓心、ME長(ME可為任意長)為半徑畫弧,在弧上任意找兩點E,F,再分別以點E,F為圓心、任意長(圖中EN)為半徑畫弧,兩弧相交于點N,得出箏形MFNE;此處若EN=ME,則得到菱形MFNE(圖5).在圖4與圖5中,連接MN,EF,均可得出∠ECN=∠ECM=∠MCF=∠NCF=90°．

圖4

方法6 如圖6,以點O為圓心、OC(任意長)為半徑畫弧,在弧上任意找兩點C,D,連接OD,OC,延長DO,在其延長線上截取OE=OD,連接CD,CE,則△DCE為直角三角形,即得∠ECD=90°．

圖6

方法7 如圖7,在射線MN上順次截取MD=DE=EF=FG=GN(MD為任意長),以點M為圓心、MF為半徑畫弧,再以點N為圓心、ND為半徑畫弧,兩弧相交于點C,連接CM,CN,則∠MCN=90°．

方法8 如圖8,以任意長為半徑作⊙O,作出⊙O任意一條直徑MN,再作出直徑MN所對的任意圓周角∠C,即可得出∠C=90°．

圖8

方法9 如圖9,以任意長為半徑作⊙O1,再作出⊙O2(⊙O2的半徑出現兩種情況,與⊙O1的半徑不等(圖9)或者相等(圖10)),使⊙O2經過⊙O1的圓心O1,兩圓相交于M,N兩點,連接O1O2,MN,則∠MCO1=∠MCO2=90°．

圖10

方法10 如圖11,以任意長為半徑作⊙O1,在⊙O1上任取一點為圓心作等圓⊙O2,兩圓相交于點C,連接O2C,O2D,DC,可證DC即為⊙O2的切線,則∠DCO2=90°.

對于第(2)題,解題方法有10種:

圖12

方法2 (倍長中線法)如圖13,延長CO至點D,使OD=OC,連接BD．易證△AOC≌△BOD,得出BD=AC,再證得△BDC≌△CAB,得出CD=AB,從而結論易證．當然,受對稱思想的啟發,此題也可以延長CO至點D(圖14),使OD=OC,連接AD．證明方法同上．

圖14

或者過點O作OD∥BC(圖16),根據平行線分線段成比例基本事實,即可得出點D為AC中點,后續證法同上．

圖16

上述兩種構造方法亦可改為過點O作出垂線段OD,證法類似．

圖18

圖20

與圖22對應的證明方法同上,不再贅述．

圖22

圖24

2 試題定位

本題第(1)題屬于簡單的綜合尺規作圖[4],考查了兩類基本作圖:一類是作一條線段等于已知線段,另一類是作垂線(直角)．對于作已知線段的等線段,方法唯一;而對于作垂線,可謂起點低、入口多,并且若從用尺規作圖作直角這一轉換思路來考慮的話,方法多元(前文已述)．試題第(2)題,是證明直角三角形的一個性質定理,是人教版八年級下冊教材第53頁“思考”欄目中的內容;此小題在考查這一知識點的同時,還借機考查了證明一個文字命題是真命題的方法．

當然,試題命制恪守兼顧評價與導向雙重功能的基本原則,故此試題除考查學生對相應知識點的掌握情況外,還考查教師對尺規作圖及其教學的理解與把握．“尺規作圖是培養綜合素質的高效途徑之一,知識含量少、益智作用大,是地道的思維體操．”[5]教師在教學中是否關注到尺規作圖的價值?是否注重教學內容的一致性與完整性?這都是此題考查的初衷．對整道題的預測難度系數為0.5,區分度為0.6,而實際難度系數為0.24,區分度為0.55,如此大的反差無疑暴露了教學中存在的問題——“掐頭去尾燒中段”現象愈演愈烈,這不得不引起數學教育者的深思．

3 教學啟示

3.1 轉變觀念,有效促成感性到理性的認知升華

《課標》在教學建議中指出:“第四學段,在對圖形性質的研究過程中,核心素養的感悟由感性上升為理性,要求在建立空間觀念、幾何直觀的基礎上,逐步形成推理能力．”[1]86從本題學生的答題情況可看出,學生的幾何直觀大多還停留在感性階段．例如,用尺規作圖作出直角,90%以上的學生用手里的直角三角板或直尺去“想當然”地畫出來;同樣,對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一結論,80%以上的學生知之也能用之,而面對如何證明這一結論,學生的答題情況讓人汗顏．盡管《課標》在教學建議中明確提出五條具體要求,但教學中落實了多少、又落實到什么程度,都需要教師反求諸己、深入反思,去探明數學課堂教學的真諦．就像本題,若課堂教學中注重培養學生的感性經驗,并通過感性經驗的積累把感性上升為理性,注重對問題的過程性思考,此題的解題結果定會是另一番景象．教師在教學中須認識到培養學生“抽象能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力”等核心素養的關鍵所在,在“知其然—知其所以然—何由以知其所以然”的邏輯鏈條上下功夫,而不是在“講題與刷題”中兜圈．

3.2 漸進完善,遂成教學內容的結構化認知體系

《課標》在教學建議的條目二中指出:“為實現核心素養導向的教學目標,不僅要整體把握教學內容之間的關聯,還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯．”[1]85同樣,《課標》在教材編寫建議中也提出:“構建內容結構既要關注數學內容之間的邏輯聯系,又要關注核心素養整體性培養的要求．”[1]93受此啟發,教師在教學中不僅要在每個章節之內落實單元整體教學,還要在各章節之間以及不同專題之間落實好結構化教學．如本題中用尺規作直角的逐步完善,可依教材的學習順序“角的平分線—線段的垂直平分線—等腰三角形—特殊四邊形(矩形、菱形)—圓”漸進完善,逐步形成前后邏輯連貫的主線;或在中考復習階段以數學邏輯結構化集中呈現,把初中學段相關確定直角的方法來一次大盤點,在提煉出作直角的10種不同方法的同時,凝聚成強而有力的“CPFS”認知大結構[6]．同樣,對于本題第(2)題的證明,隨著教學的不斷推進,也能逐步析出10種證明方法,尤其是在學生學習了《圓》這一章的內容之后,再探索這一性質的證明方法,意義與價值會更大．若把這10種方法統攝起來看,它是對“中點”問題的一次大盤點,同樣也形成了系統性的“中點”概念域認知結構．故結構化的體現不僅僅在每節課、每個單元,更重要的還有“階段性或終結性”的結構化總結．惟其如此,學生在感受知識進階的同時,才能更好地實現數學核心素養發展的階段性、整體性與一致性．

3.3 立足教材,統合課程資源,優化課堂教學

“教學實踐中,要善于發揮經典作圖題的多解功能,引導學生多角度逆向探索問題,啟發學生廣泛聯想,……形成結構化、整體化思路,發展學生的思維能力．”[7]這一論述應該成為數學教學的一個縮影,尺規作圖只是數學教學中的一小部分,其他部分的教學都應落實這種發展學生思維能力的方式與方法．《課標》在教材編寫建議的第四條指出:“注重教材創新,深刻理解課程理念,細致分析課程性質、目標、內容等,著力在教材的內容結構、內容組織、內容呈現、欄目設置、習題編排等方面有所突破．”[1]95教學中教師根據這一教材編寫建議,在將國家級課程落實到校本課程的過程中,應結合學情,站在課程的高度,循著“立足教材-高于教材-整合教材”這一重構與創生教材的路徑,統合課程資源,引導學生養成多角度思考問題、全方位聯系問題的習慣,樹立課程意識,優化課堂教學,變教專家結論為教專家思維,與教學中的“盲目刷題、照搬套路、機械記憶”現象告別．