多元復合函數求偏導數的方法

馮媛 劉新紅

摘?要：針對多元復合函數求偏導數問題，總結了代入法、鏈式法則和全微分求解三種方法，并通過具體的例子進行了說明.通過對三種方法進行比較，分析和總結了每種方法的優點和缺點并給出了每種題型應采用的方法建議。這不僅對教師的教學具有積極的指導意義，而且還有助于提高學生的學習效果和數學素養，促進學生科學態度的養成和思維能力的提升.

關鍵詞：多元復合函數；偏導數；鏈式法則；全微分

中圖分類號：O151.2??文獻標識碼：A

多元復合函數求偏導數［1］是多元函數微分學的一個重要知識點，抽象的多元復合函數求偏導數問題更是高等數學中的一個難點.多元復合函數的復合結構包含以下三種形式：（1）外層函數為多元，內層函數為一元；（2）外層函數為一元，內層函數為多元；（3）外層函數和內層函數均為多元.

下面針對不同情況總結多元復合函數求偏導數的方法，并通過具體題目進行說明.

一、代入法求偏導數

所謂“代入法”就是將內層函數表達式代入外層函數中得到一個新的函數，然后利用求導法則和求導公式對新的函數進行求導.

例1：設z=uv+cost，u=et，v=sint，求dzdt.

分析：此例中的多元復合函數z屬于外層函數多元、內層函數一元的類型.將內層函數代入外層函數中即可將z化為一個以t為自變量的一元函數，然后利用一元函數的乘法和加法求導法則以及求導公式進行計算即可.

解：將u，v代入z可得z=etsint+cost，從而：

dzdt=（et）′sint+et（sint）′+（cost）′

=etsint+etcost-sint.

例2：設z=tanu，u=x2+y2，求zx和zy.

分析：此例中的多元復合函數z屬于外層函數是一元、內層函數是多元的類型.將內層函數代入外層函數中即可將z化為一個以x和y為自變量的二元函數，然后利用二元函數的求導法則和求導公式進行計算即可.

解：將u代入z可得z=tan（x2+y2），從而：

zx=sec2（x2+y2）·2x=2xsec2（x2+y2），

zy=sec2（x2+y2）·2y=2ysec2（x2+y2）.

例3：設w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

分析：此例中的多元復合函數w是一個外層函數和內層函數均為多元的類型.將內層函數代入外層函數中即可將w化為一個以x，y，z為自變量的三元函數，然后利用三元函數的求導法則和求導公式進行計算即可.

解：將u，v代入w可得w=ln（xy+yz），從而得到：

wx=1xy+yz·（y+0）=yxy+yz，

wy=1xy+yz·（x+z）=x+zxy+yz，

wz=1xy+yz·（0+y）=yxy+yz.

由以上三個例題可以看出，用代入法求偏導數的解題思路非常直接和明確，是學生最容易接受的一種方法.但是這種方法僅適用于內層函數和外層函數均比較簡單且形式具體的多元復合函數類型.對于抽象的多元復合函數和復合結構較為復雜的多元復合函數，一般采用鏈式法則求其偏導數.

二、鏈式法則求偏導數

抽象的多元復合函數一般指雖然給出了內層函數對自變量的具體表達式，但沒有給出外層函數對中間變量的具體表達式.此類多元復合函數在求偏導數時需搞清楚函數的復合結構關系圖并利用鏈式法則進行計算.多元復合函數求偏導數的鏈式法則是一元復合函數求導法則的推廣與發展，但是由于多元復合函數復合結構的復雜性，使得其求偏導數的鏈式法則有很多種形式.為了便于記憶和應用這個法則，可以借助樹圖［2］來理清多元復合函數的復合結構關系，并將鏈式法則公式簡記為“分線相加，連線相乘，單路全導，叉路偏導”.

例4：設z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一階連續偏導數，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復合函數，其外層函數是一個三元函數，但是沒有具體的表達式，內層函數是有具體表達式的二元函數.

解：設u=xy，v=xy，w=x2-y2，則多元復合函數z各變量之間的關系可以用圖1表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx+zw·wx

=f1′·y+f2′·1y+f3′·2x

=yf1′+f2′y+2xf3′，

zy=zu·uy+zv·vy+zw·wy

=f1′·x+f2′·-xy2+f3′·（-2y）

=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

例5：設z=f（x2y2，3x，4y），其中f具有一階連續偏導數，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復合函數，其外層函數是一個沒有具體表達式的三元函數，但是內層函數是有具體表達式的二元函數和一元函數.書寫時要注意一元函數的求導符號和多元函數偏導符號的區別.

解：設u=x2y2，v=3x，w=4y，則多元復合函數z各變量之間的關系可以用圖2表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·dvdx=f1′·2xy2+f2′·3=2xy2f1′+3f2′，

zy=zu·uy+zw·dwdy=f1′·2x2y+f3′·4=2x2yf1′+4f3′.

在求抽象的多元復合函數的高階偏導數時，一定要注意到f1′，f2′，f3′是與抽象的多元復合函數f結構相同的多元復合函數，即原自變量仍是自變量，原中間變量仍是中間變量.

例6：設z=f（exy，x+y），其中f具有二階連續偏導數，求2zx2和2zy2.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復合函數，其外層函數和內層函數均為二元函數，需要注意的是exy求偏導數時是復合函數求偏導.

解：設u=exy，v=x+y，則多元復合函數z各變量之間的關系可以用圖3表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx=f1′·exy·y+f2′·1=yexyf1′+f2′，

zy=zu·uy+zv·vy=f1′·exy·x+f2′·1=xexyf1′+f2′.

從而二階導數為：

2zx2=xzx=yexyf1′+f2′x=（yexyf1′）x+f2′x=（yexy）x·f1′+yexy·f1′x+f2′x，

2zy2=yzy=（xexyf1′+f2′）y=（xexyf1′）y+f2′y=（xexy）y·f1′+xexy·f1′y+f2′y.

注意到f1′，f2′是與f結構相同的多元復合函數，故：

f1′x=f1′uux+f1′vvx=f11″·exy·y+f12″·1=yexyf11″+f12″，

f2′x=f1′uux+f1′vvx=f21″·exy·y+f22″·1=yexyf21″+f22″，

f1′y=f1′uuy+f1′vvy=f11″·exy·x+f12″·1=xexyf11″+f12″，

f2′y=f2′uuy+f2′vvy=f21″·exy·x+f22″·1=xexyf21″+f22″.

由于f具有二階連續偏導數，所以f12″=f21″，從而化簡可得：

2zx2=（yexy）x·f1′+yexy·（yexyf11″+f12″）+（yexyf21″+f22″）=y2exyf1′+y2e2xyf11″+2yexyf12″+f22″，

2zy2=（xexy）y·f1′+xexy·（xexyf11″+f12″）+（xexyf21″+f22″）=x2exyf1′+x2e2xyf11″+2xexyf12″+f22″.

鏈式法則除了在計算抽象的多元復合函數的偏導數上具有優勢外，在計算較為復雜的具體形式的多元復合函數時同樣具有優勢.

例7：設z=（x2+y2）xy，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個具體形式的多元復合函數，但其形式是冪指函數的類型，直接計算偏導數較為困難，故可以利用鏈式法則進行計算.

解：設u=x2+y2，v=xy，則z=uv，從而多元復合函數z各變量之間的關系可以用圖4表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx=v·uv-1·2x+uvlnu·y=（x2+y2）xy2x2yx2+y2+yln（x2+y2），

zy=zu·uy+zv·vy=v·uv-1·2y+uvlnu·x=（x2+y2）xy2xy2x2+y2+xln（x2+y2）.

綜上所述，當多元復合函數的復合結構較為復雜或者復合結構中含有抽象函數時，利用鏈式法則求其偏導數較前面的代入法具有明顯的優越性。值得注意的是，在利用鏈式法則求偏導數時一定要首先分析其復合結構并作出其結構圖，再利用公式進行計算，否則可能會導致解題困難或計算錯誤.

三、全微分求偏導數

除了代入法和鏈式法則，微分疊加原理［1，3］也為多元復合函數求偏導數的問題提供了一種有效的處理方法.微分疊加原理是指多元函數的全微分等于它的偏微分之和.例如，二元函數z=f（x，y）和三元函數u=f（x，y，z）的全微分為：dz=zxdx+zydy，du=uxdx+uydy+uzdz.

由此可以看出，只要求出多元函數的全微分，就可以得到它的偏導數.需要指出的是利用微分疊加原理計算偏導數這一方法需要一個必不可少的工具——全微分形式不變性［1］.

為了便于對比，下面利用全微分計算前面的例3和例4.

例3：設w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

解：利用全微分形式不變性可得：

dw=dln（u+v）=1u+vd（u+v）=du+dvu+v=d（xy）+d（yz）xy+yz=ydx+xdy+zdy+ydzxy+yz=yxy+yzdx+x+zxy+yzdy+yxy+yzdz.

從而由微分疊加原理知：

wx=yxy+yz，wy=x+zxy+yz，wz=yxy+yz.

例4：設z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一階連續偏導數，求zx和zy.

解：利用全微分形式不變性可得：

dz=df（xy，xy，x2-y2）

=f1′d（xy）+f2′d（xy）+f3′d（x2-y2）

=f1′（ydx+xdy）+f2′ydx-xdyy2+f3′（2xdx-2ydy）

=（yf1′+f2′y+2xf3′）dx+（xf1′-xf2′y2-2yf3′）dy.

從而由微分疊加原理知：

zx=yf1′+f2′y+2xf3′，zy=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

由以上兩個例題可以看出，利用全微分求偏導數可以同時求出多元復合函數的全部偏導數，這是其他兩種方法所不具備的優勢.

結語

通過前面具體的例子可以看出，求多元復合函數偏導數的代入法、鏈式法則和全微分三種方法各有千秋.對于復合結構簡單且形式具體的多元復合函數，代入法求偏導數最為簡潔，而抽象的多元復合函數最有效的求偏導數手段是鏈式法則.如果多元復合函數的自變量個數較多且復合結構較為復雜，那么利用全微分求其偏導數就會有明顯的優勢.此外，還可以利用對稱性簡化多元復合函數求偏導數的計算步驟，如前面的例2、例6和例7中給出的函數都具有對稱性.在求此類函數的偏導數時，只需求出函數關于某個變量的偏導數，而后便可利用函數形式的對稱性直接寫出函數關于其他變量的偏導數.

綜上所述，在多元復合函數求偏導數這一教學過程中，教師應精心設計教學內容，在保障學生掌握具有廣泛遷移價值的理論知識和解題方法的同時，進一步引導學生進行深層次的思考，從而才能使得數學的“教”更具親和力，數學的“學”更有溫度.

參考文獻：

［1］同濟大學數學系.高等數學（下冊）第七版［M］.北京：高等教育出版社，2014：7884.

［2］高大鵬，馮世強，馮小高，等.求多元復合函數偏導數的樹型法則［J］.高等數學研究，2014，17（04）：9495.

［3］王紅軍，楊有龍.微分疊加原理在多元復合函數求導中的應用［J］.大學數學，2015，31（06）：8082.

作者簡介：馮媛（1976—?），女，漢族，湖南澧縣人，碩士研究生，講師，研究方向：應用數學、數學教學方法。