基于GeoGebra軟件的矩陣乘法的可視化教學研究

楊曉丹 趙越 王煜晶

摘?要：在線性代數的教學中，矩陣乘法是一個非常重要的算法，矩陣乘法的一個應用就是旋轉變換，本文借助GeoGebra可視化功能，動態展示了旋轉變換的效果，使矩陣乘法的本質得到展示，加深學員對矩陣乘法的理解，同時也增加了課堂的活躍性與趣味性，有助于提高教學效果。

關鍵詞：GeoGebra軟件；矩陣乘法；可視化

Abstract：In?the?teaching?of?linear?algebra，matrix?multiplication?is?a?very?important?algorithm.One?application?of?matrix?multiplication?is?selection?transformation.In?this?paper，with?the?help?of?GeoGebra's?visualization?function，the?effect?of?rotation?transformation?is?dynamically?displayed，so?that?the?essence?of?matrix?multiplication?can?be?displayed，which?can?deepen?the?students'?understanding?of?matrix?multiplication，increase?the?activity?and?interest?of?the?classroom，and?help?improve?the?teaching?effect.

Keywords：GeoGebra；Multiplication；Visualization

1?概述

“GeoGebra”動態幾何畫板是集代數、幾何、微積分、概率統計功能為一體的動態數學，是一款免費、開源的數學軟件。該軟件與大學數學教學中常常使用的Matlab和Mathematica相比，具有操作簡單、功能強大、形象直觀、可動態展示效果等眾多優點。

線性代數內容抽象，計算量大，學員學完只會做題，往往不清楚線性代數有什么用途，覺得就是算來算去的數學人的游戲，因此學生在學習過程中覺得抽象難懂枯燥乏味，對課程漸漸失去學習。比如在線性代數矩陣乘法的教學中，學員對矩陣乘法的意義比較迷惑，因此本文借助Geogebra的動態演示功能，巧妙設計使用指令，動態演示了矩陣乘法的幾何意義，幫助學員建立直觀的認識，加深對矩陣乘法的理解。

2?矩陣乘法的定義

定義：設A=（aij）是一個m×s矩陣，B=（bij）是一個s×n矩陣，則規定矩陣A和矩陣B的乘積C=AB是一個m×n矩陣C=（cij）m×n，其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj

=∑sk=1aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2…，n）

上述定義表明，乘積矩陣C的第i行第j列元素cij，是A的第i行的s個元素與B的第j列的s個元素一一對應相乘的乘積之和。因此只有當左邊矩陣A的列數等于右邊矩陣B的行數時，這兩個矩陣才可乘，我們稱C=AB為A左乘B，或B右乘A，并且乘積矩陣的維數由A=（aij）的行數和B=（bij）的列數決定。當矩陣B=（bij）是一個s×1矩陣時，Am×sBs×1=c11

c21

cm1，可以看出一個矩陣作用在一個向量上，將一個向量變成另一個向量，因此矩陣乘法對應著變換，可以將一個向量轉換成另外一個向量，這就是矩陣乘以向量的本質。乘積向量的維數有可能發生變化。

3?矩陣的旋轉變換

對于二維平面中的向量OP=xy，與x軸的夾角為θ，OP=r，將向量OP=xy逆時針旋轉φ度，得到向量OP1=x1y1，如圖1。

此時x1=rcosθ+φ

y1=rsinθ+φ，即：

x1=cosφx-sinφy=rcosφcosθ-rsinφsinθ

y1=sinφx+cosφy=rsinφcosθ+rcosφsinθ

于是x1=cosφx-sinφy，

y1=sinφx+cosφy.寫成矩陣乘法的形式則有：

x1

y1=cosφ-sinφ

sinφcosφx

y

令y→=x1

y1，A=cosφ-sinφ

sinφcosφ，x→=x

y，則矩陣A表示的是二維旋轉變換，將向量OP=x

y逆時針旋轉φ度。

類似地，我們可以寫出三維旋轉變換矩陣：

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosα，則Au=v表示對向量u繞x軸逆時針旋轉α角度后得到向量v。

B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ，則Bu=v表示對向量u繞y軸逆時針旋轉β角度后得到向量v。

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001則Au=v表示對向量u繞z軸逆時針旋轉γ角度后得到向量v。

為了更好地理解乘法變換的本質，教學中可使用GeoGebra動態演示功能，展示向量的變化過程。

4?GeoGebra動態演示矩陣乘法的幾何意義

現在以3階旋轉變換矩陣為例，解釋矩陣乘法的幾何意義。設三個三階矩陣A、B、C分別為如下形式：

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosβ，B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ，

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001

其中A乘向量的效果是向量繞x軸旋轉，B乘向量的效果是向量繞y軸旋轉，C乘向量的效果是向量繞z軸旋轉。

（1）分別打開繪圖區、3D繪圖區、代數區、表格區。

（2）分別點擊工具欄上的，在繪圖區分別建立滑動條a、b、c。

說明：用于控制向量端點位置。

（3）指令欄中輸入：點A=（a，b，c）

說明：生成向量的端點A。

（4）點擊工具欄上的，在繪圖區制作滑動條α、β、γ，在出現的滑動條編輯框中勾選角度，并輸入角度的名稱，如α，然后在最小后輸入角度的最小值0，在最大后輸入角度的最大值360，如右圖2。

說明：用于控制向量OA分別繞3個坐標轉動的角度。

（5）在表格區A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3位置上分別輸入矩陣A的元素。

（6）在表格區A5、B5、C5、A6、B6、C6、A7、B7、C7位置上分別輸入矩陣B的元素。

（7）在表格區A9、B9、C9、A10、B10、C10、A11、B11、C11位置上分別輸入矩陣C的元素。

（8）指令欄中輸入：列表m_1={{A1，B1，C1}，{A2，B2，C2}，{A3，B3，C3}}

說明：生成方陣A。

（9）指令欄中輸入：列表m_2={{A5，B5，C5}，{A6，B6，C6}，{A7，B7，C7}}

說明：生成方陣B。

（10）指令欄中輸入：列表m_3={{A9，B9，C9}，{A10，B10，C10}，{A11，B11，C11}}

說明：生成方陣C。

（11）指令欄中輸入：u=向量（A）

說明：生成向量OA。

（12）指令欄中輸入：u_1=m_1*u

說明：用于表示矩陣A乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（13）指令欄中輸入：u_y=m_2*u

說明：用于表示矩陣B乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（14）指令欄中輸入：u_z=m_3*u

說明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（15）指令欄中輸入：點XA=（x（u_1），y（u_1），z（u_1））

說明：用于表示矩陣A乘以向量u后的向量u1的端點。

（16）指令欄中輸入：點YA=（x（u_y），y（u_y），z（u_y））

說明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量uy的端點。

（17）指令欄中輸入：點ZA=（x（u_z），y（u_z），z（u_z））

說明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量uz的端點。

當我們完成了如上操作，就可以在教學中動態演示旋轉變換的結果。比如我們想要觀看Au的效果，可以在3D繪圖區窗口找到向量u1，點擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動條α，選擇啟動動畫，隨著滑動條的移動，3D繪圖區窗口中的向量u1也隨之移動，并且顯示出移動的軌跡，如圖3、圖4所示。

在觀察矩陣對應的選擇變換時可以在3D繪圖區窗口中單擊鼠標左鍵不松手，并進行隨意的滑動，可以切換觀察者的視角，學生可以從不同的角度動態觀察向量的變換過程，即選擇變換隨角度的變化對向量的作用效果，如圖5、圖6所示。

我們想要觀看Bu的效果，可以在3D繪圖區窗口找到向量uy，點擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動條β，選擇啟動動畫，隨著滑動條的移動，3D繪圖區窗口中的向量uy也隨之移動，并且顯示出移動的軌跡，如圖7中右側部分所顯示的。

類似地，我們想要觀看Cu的效果，可以在3D繪圖區窗口找到向量uz，點擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動條γ，選擇啟動動畫，隨著滑動條的移動，3D繪圖區窗口中的向量uz也隨之移動，并且顯示出移動的軌跡，如圖8中上側部分所顯示的。

另外，我們也可以在繪圖區中實驗復選框，將某些演示命令設置在復選框中，學員課下可以通過對復選框的勾選，展示相應的動畫。

結語

本文通過學科工具GeoGebra動態幾何畫板的線性代數可視化教學設計，并將其應用到大學線性代數的教學中，這對數字化教育和可視化教學具有實際意義和應用價值的。使用GeoGebra軟件進行動態演示，只需在命令區輸入方程即可，操作起來簡單、方便，產生的圖形逼真、形象，使抽象的問題直觀化，增加了課堂的活躍度，對培養學員的探究創新能力有很大幫助，也為線性課堂帶來更好的教學效果。因此，應當注重GeoGebra軟件在課堂教學中的應用以豐富課堂教學信息量，激發學員學習興趣，為更多的學員帶來優化的學習效果。

參考文獻：

［1］王貴軍.GeoGebra與數學實驗［M］.北京：清華大學出版社，2017.

［2］同濟大學數學系.線性代數［M］.第六版.北京：高等教育出版社，2014.

［3］左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數學教學全過程優化研究［J］.數學教育學報，2012（1）：99102.

作者簡介：楊曉丹（1980—?），女，漢族，黑龍江依蘭人，碩士研究生，副教授，研究方向：泛函方向。