一道2022年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的深入探究

摘 要：文章以一道2022年新疆賽區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題為例，闡述對它的解法探究和拓展推廣，以期提升典型例題的效果和效益.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)聯(lián)賽題；解法探究；拓展推廣；命題背景；高考溯源

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）01-0063-04

收稿日期：2023-10-05

作者簡介：王東海（1974.12-），男，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在競賽解題教學(xué)活動中，教師不應(yīng)局限于對題目的具體解答和低水平重復(fù)訓(xùn)練，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深層次的探究及引申，充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生能夠用更高的觀點去看待問題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2022年新疆賽區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽10題）如圖1，已知△ABC內(nèi)接于拋物線E：x2=y，且邊AB，AC所在的直線分別與拋物線M：y2=4x相切，F(xiàn)為拋物線M的焦點.

求證：邊BC所在直線與拋物線M相切.

4 結(jié)束語

這道聯(lián)賽題中，△ABC外接于拋物線x2=y，又內(nèi)切于y2=4x，我們把這樣的圖形結(jié)構(gòu)稱為彭賽列閉合.彭賽列閉合定理是1822年法國數(shù)學(xué)家彭賽列在其出版的著作中給出的，并且給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.他認(rèn)為，平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切于其中一條圓錐曲線且內(nèi)接于另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣（切、內(nèi)外接）性質(zhì)的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.彭賽列閉合定理展示了基于圓錐曲線關(guān)系上的一種“群結(jié)構(gòu)”關(guān)系——“彭賽列結(jié)構(gòu)”，表示為：有一個滿足一種結(jié)構(gòu)的關(guān)系存在，則所有滿足這種結(jié)構(gòu)的關(guān)系都存在.如果從形象化的角度來理解，彭賽列閉合相當(dāng)于一只跳蚤從外圓錐曲線某點出發(fā)，每次沿著向內(nèi)圓錐曲線作出的一條切線跳到外圓錐曲線上的一個新起點，經(jīng)過N次跳躍后回到了起點，形成了路徑閉合，且跳蚤的路徑是否閉合和它的起始位置無關(guān).

另外，本道聯(lián)賽題考查的內(nèi)接于拋物線且外切于另一條拋物線的三角形問題，以及拓展中探討的圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題，都是屬于“彭賽列閉合定理”的特殊情況.考試中如果提前了解了彭賽列閉合定理，則能為解題指明方向.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 林琳琳.變中不變 美在其中：以“圓錐曲線中動圓過定點”問題策略探析［J］.數(shù)理化解題研究，2022（22）：39-41.

［2］ G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法［M］.徐泓，減承天，譯.上海：科技教育出版社，2011.

［責(zé)任編輯：李 璟］