一道2022年四川預賽題的解法賞析與背景揭示

摘 要：追根溯源可以明晰命題意圖，橫跨縱聯則有利于培養學生的發散思維.文章針對2022年全國高中數學聯賽四川預賽第4題進行深入探究，從方程有解、不等式放縮、單元函數最值、幾何意義等視角嘗試解答，并揭示了試題命制的高等數學背景.

關鍵詞：拉格朗日乘數法；極值問題；曲線與方程；數學運算

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）01-0067-04

收稿日期：2023-10-05

作者簡介：張志剛（1983-），男，山東省泰安人，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

題目 （2022年全國高中數學聯賽四川賽區預賽第4題［1］）已知實數x，y滿足xx+yy3=1，則3x+y-4的取值范圍為.

本題設計簡潔清新，構思別具匠心，考查二元方程約束條件下的二元函數取值范圍問題，突出考查數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.此類問題因解法靈動多變，飽含數學思想，備受命題專家的青睞，成為歷年高考考查的重點，近年也逐漸成為數學競賽、高校強基計劃等命題的熱點.與普通高考試題相比，本題涉及知識點較多，思維跨度更大，呈現出更強的綜合性與選拔性.

3 結束語

以拉格朗日乘數法為背景的二元方程條件下的二元最值問題意蘊豐富，解答時要認真剖析題設條件和結論的結構特征，從多個視角尋求解題突破口.此外，我們需要仔細體會函數與方程、轉化與化歸、數形結合、以直代曲、消元（減元）、分類討論等數學思想方法在解題中的應用. 在解題教學過程中，教師要引導學生認真剖析題設條件和結論的結構特征，具體問題具體分析，通過觀察、比較、聯想、實驗、概括、推理、證明等多種思維活動，選擇合理經濟的解題路徑，避免死記硬背、生搬硬套“結論”的盲目機械訓練.

參考文獻：

［1］ 張天德，安學保.新高考數學思維突破100題［M］.濟南：山東科學技術出版社，2021.

［責任編輯：李 璟］