貫徹新課程理念促學習能力提升

陸雨軒

數學教學既要關注知識的掌握，又要強調能力的提升.教學中，教師應結合教學實際設計一些探究性活動，讓學生在活動中思考，在思考中深化，切實提高學生數學學習能力.不過，在實際教學中，為了趕進度，很多教師很少提供時間和空間讓學生自主探究，大多延續著“講授＋練習”的傳統模式，限制了學生發展.在教學“三角函數誘導公式”時，筆者以學生已有認知為起點，結合教學內容設計探究活動，讓學生在探究中理解知識，發展數學素養.

一、教學過程

1．回顧舊知，引入新課

情境與問題：對稱是圓的重要性質之一，這一性質在三角函數中有著重要的應用.根據三角函數的定義，我們得到了公式一：sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，（其中k∈Z）.也就是說，若角的終邊重合，則其三角函數值相等.那么除了角的終邊重合外，是否還存在著其他比較特殊的關系呢？

師生活動：教師讓學生獨立思考，有了前面的鋪墊，學生很快想到了“對稱”，于是教師順勢給出今天研究的主題：若角的終邊關于原點或坐標軸對稱，它們的三角函數值存在怎樣的特殊關系.

設計意圖：通過創設教學情境引導學生將新知與舊知建立聯系，為新知探究指引方向，增強學生學習信心.在此過程中，教師引導學生從整體視角思考問題，從而使學生的思維變得有序化，有利于提升學生數學素養.

2．自主探究，發現新知

探究1如圖1，任意角α的終邊與單位圓交于點P1，角β的終邊與單位圓交于點P2，其中P2與P1關于原點對稱點.

（1）角α和角β有什么關系？

（2）角α和角β的三角函數值有什么關系？

教師先讓學生獨立思考，然后進行適度的引導，接下來呈現學生的思考過程：

（1）如圖1，根據圖形對稱性可知β=α+π→β=2kπ+（π+α），k∈Z.結合三角函數的定義最終確定，該問題只要研究π+α和α的關系即可.

（2）設P1（x1，y1），P2（x2，y2），因為P1和P2關于原點對稱，所以有x2=－x1，y2=－y1.故sinα=y1，cosα=x1，tanα=y1x1；sin（π+α）=y2，cos（π+α）=x2，tan（π+α）=y2x2，從而得到公式二：sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）=－cosα，tan（π+α）=tanα.

這樣通過經歷觀察、思考、交流、推導等過程，學生得到了角α和角β之間的關系及其所對應三角函數值之間的關系.在此基礎上，教師可以進一步讓學生思考：公式二中的角α是否對任意角都成立？由此運用一般化思想加強公式的理解.

探究2如圖2、圖3， 任意角α的終邊與單位圓交于點P1，P3與P1關于x軸對稱，P4與P1關

于y軸對稱，試分析三角函數之間存在怎樣的關系？

問題給出后，教師讓學生獨立探究，有了前面的探究經驗，學生很快得到了答案，由此自主推導出公式三和公式四，即sin（－α）=－sinα，cos（－α）=sinα，tan（－α）=－tanα；sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα，tan（π－α）=－tanα.

探究3在推導以上公式時都是運用的三角函數的定義，如果換一個角度，能否由公式二和公式三推導出公式四呢？

設計意圖：教師預留時間讓學生推導驗證，探尋公式間的聯系，為公式的理解與記憶提供幫助.

探究4以上公式有何共同特征嗎？

設計意圖：通過經歷觀察、討論、歸納等活動，讓學生得到“函數名不變，符號看象限”這一共同特征，為公式的理解與應用提供便利.

3．運用新知，提升素養

例1求下列三角函數值.（1）sin8π3；（2）tan（－2040°）.

師生活動：學生獨立解答，然后呈現解答過程：對于問題（1），sin8π3=sin（2π+2π3）=sin2π3=sin（π－π3）=sinπ3=32；問題（2）可以變形為tan（－2040°）=－tan2040°=－tan（6×360°－120°）=－tan（－120°）=tan120°=tan（180°－60°）=－tan60°=－3.

從教師呈現解題過程后，指導學生歸納求三角函數值的一般步驟.（如圖4）

變式求下列三角函數值.（1）cos225°；（2）sin（－16π3）.

設計意圖：通過對例1的探究，求三角函數值的一般步驟已經形成，在此基礎上，通過變式練習加強對求三角函數值的一般步驟的理解，提升學生解題技能.同時，通過應用讓學生發現，求未知角的三角函數值其實質就是通過誘導公式將其等價轉化為熟悉的銳角，這樣認清問題本質，即可迎刃而解.

例2化簡cos（180°+α）sin（α+360°）tan（－α－180°）cos（－180°+α）.

師生活動：學生思考可發現，對于cos（180°+α）和sin（α+360°），可直接應用公式化簡，即cos（180°+α）=－cosα，sin（α+360°）=sinα，而tan（－α－180°）和cos（－180°+α）不能直接用公式化簡，需進一步轉化，如tan（－α－180°）=tan［－（180°+α）］=－tan（180°+α）=－tanα，cos（－180°+α）=cos［－（180°－α）］=cos（180°－α）=－cosα，這樣通過變形逐漸向公式轉化，問題迎刃而解.問題獲解后，教師啟發學生對解題過程進行歸納總結，形成解題的一般思路，體會整體思想的應用，提升數學素養.

變式化簡：（1）sin（－α－180°）cos（－α）sin（－α+180°）；

（2）cos3（－α）sin（2π+α）tan3（－α－π）.

設計意圖：通過適度練習進一步鞏固誘導公式，幫助學生積累豐富的解題經驗，提升學生解題技能.

4．課堂小結，提煉方法

課堂小結是課堂教學的重要組成部分，該環節教師應將主動權交給學生，先讓學生獨立歸納，然后進行組內交流，接下來呈現各組交流成果，最后對學生交流結果進行歸納總結，形成知識網絡圖.

設計意圖：教學中，教師提供時間和空間讓學生對本課內容進行歸納總結，在深化相關知識理解的同時，提煉研究問題的思想方法，歸納解決問題的一般步驟，建構個體完善的知識體系.

5．分層作業，提升能力

在“雙減”政策的推動下，教師基于基本學情設計分層作業，提供時間讓學生對所學內容進行反思回顧，以此確保“減負增效”教學目標的順利落實.課末，教師提出這樣的問題：若給定角的終邊關于直線y=x對稱，那么它們的三角函數值有什么關系？

設計意圖：作業作為課堂教學的延續，是幫助學生鞏固本課所學知識，檢測教學效果的重要途徑.教師在設計作業時要避免簡單的“一刀切”，切實從教學實際出發，設計符合本班實際學情的作業.課后思考題的設計，是本課內容的一個延伸和拓展，啟發學生從整體的角度去思考問題，建構知識體系，提升數學思維能力.

二、教學思考

1．認真研究教材，準確把握教材設計意圖

在本課教學中，認真研究教材不難發現，教材中突出了單位圓的作用，利用圓的對稱性來研究三角函數的對稱性.基于此，教師以對稱性為主線，引導學生分別探究兩個角的終邊關于原點對稱、關于坐標軸對稱會得到怎樣的關系，由此自然得到相應的誘導公式.這樣利用圓的對稱性研究三角函數的對稱性，使誘導公式變得更加直觀化、形象化，有利于學生理解和記憶.

2．創設有效情境，激發學生數學探究積極性

高中數學是比較抽象且復雜的，教師在教學中應重視創設有效的教學情境，進而將抽象的、復雜的知識向直觀化、簡單化轉化，激發學生學習積極性.如在推導公式二時，通過創設情境引導學生進行探究性學習，這樣不僅提高了課堂效率，而且促進了學生自主探究能力的發展和提升.

3．鼓勵合作交流，培養學生自主探究能力

本章涉及的公式眾多，若不能認清其本質，僅靠死記硬背，將很難到達預期效果.因此，在實際教學中，教師應結合教學實際創設一些探究性活動，引導學生經歷知識生成過程，以此促進知識的理解，培養學生自主探究能力.

4．滲透數學思想，提升學生數學核心素養

數學思想方法是數學教學是精髓，其貫穿于數學教學的始終.例如在本課教學中，滲透了數形結合、轉化化歸、類比歸納、特殊與一般等思想方法.在實際教學中，教師要有意識地進行數學思想方法的滲透，以此揭示數學的本質，發展學生數學核心素養.