運用實系數(shù)二次方程求復(fù)數(shù)范圍問題

朱衛(wèi)紅

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題，原來一直是課外補充與閱讀知識，新教材（2019人教A版）中直接作為課本例題加以剖析與展示，并在例題的基礎(chǔ)上，給出了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程的求根公式，明確加強這部分知識內(nèi)容的基本要求與綜合應(yīng)用，也為相應(yīng)命題提供依據(jù)．

1．問題呈現(xiàn)

問題（2023年南京大學強基計劃數(shù)學試卷·6）已知實系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的兩根為α和β，且滿足α是虛數(shù)，α2β是實數(shù)，則αβ=．

2．問題剖析

此題以實系數(shù)二次方程為應(yīng)用場景，利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對（兩虛根互為共軛復(fù)數(shù)）的基本結(jié)論，結(jié)合對應(yīng)條件加以數(shù)學運算與邏輯推理，進而確定兩虛根的比值問題．該問題是基于新教材中實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，并在此基礎(chǔ)上合理把握相應(yīng)的基本性質(zhì)：

（1）當△<0時，實系數(shù)一元二次方程虛根成對（互為共軛復(fù)數(shù)）；

（2）根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）：x1+x2=－ba，x1x2=ca．

而在實際解決問題中，可以從復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)視角切入，利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)加以推理與分析；也可以從復(fù)數(shù)的待定系數(shù)法視角切入，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式引入?yún)?shù)，利用待定系數(shù)法來分析與運算等．這也是解決此類復(fù)數(shù)問題中比較常用的兩種基本技巧與方法．

3．問題破解

解法1：（性質(zhì)法）依題知實系數(shù)一元二次方程的虛根成對，而α是虛數(shù)，則β也是虛數(shù)，且滿足α≠β，=β，=α，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得α2β是實數(shù)α2β=（α2β），則有α2β=α2β，即α2β=β2α，亦即α2β2=1，所以（αβ－1）［（αβ）2+αβ+1］=0，由α≠β，可得（αβ）2+αβ+1=0，利用求根公式，解得αβ=－12±32i，故填－12±32i．

評注：根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛根成對的基本性質(zhì)確定兩虛根之間的關(guān)系，為進一步的性質(zhì)應(yīng)用與關(guān)系式恒等變形提供理論論據(jù)，而共軛復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)也是邏輯推理與數(shù)學運算的關(guān)鍵所在．而對于方程x3=1的根的求解，要注意因式分解以及求根公式的應(yīng)用．看似簡單的一道二次方程問題，融合進比較多的基本知識點與思想方法．

解法2：（待定系數(shù)法1）依題α是虛數(shù)，可設(shè)α=m+ni，其中m，n∈R，且n≠0，

而實系數(shù)一元二次方程的虛根成對的基本性質(zhì)，可知β=m－ni，

而α2β=（m+ni）2m-ni=m2-n2+2mnim-ni=m3-3mn2m2+n2+3m2n-n3m2+n2i是實數(shù)，可得3m2n-n2m2+n2=0，則有3m2－n2=0，解得nm=±3，所以αβ=m+nim-ni=m2-n2m2+n2+2mnm2+n2i=1-（nm）21+（nm）2+2（nm）1+（nm）2i=1－（±3）21+（±3）2+2（±3）1+（±3）2i=-12±32i，故填－12±±32i．

評注：根據(jù)條件利用待定系數(shù)法之代數(shù)形式直接設(shè)出對應(yīng)的復(fù)數(shù)，把虛數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，是解決復(fù)數(shù)計算問題時最常用的一種基本方法之一．待定系數(shù)法處理復(fù)數(shù)及其綜合問題，思路簡捷直接，往往離不開比較繁雜的數(shù)學運算與邏輯推理，特別是復(fù)數(shù)的四則運算等，具體解題過程中要細致認真．

解法3：（待定系數(shù)法2）依題α是虛數(shù)，可設(shè)α=r（cosθ+isinθ），其中r>0，θ∈（0，2π），且θ≠π，而實系數(shù)一元二次方程的虛根成對的基本性質(zhì)，

可知β==r（cosθ－isinθ）=r［cos（－θ）+isin（－θ）］，而α2β=r2（cos2θ+isin2θ）r［cos（-θ）+isi（-θ）］=r（cos3θ+isin3θ）是實數(shù)，可得sin3θ=0，則有3θ=kπ，k∈Z，而θ∈（0，2π），且θ≠π，可得3θ∈（0，6π），且3θ≠3π，則有3θ=π，2π，4π，5π，當3θ=π，4π時，可得θ=π3，4π3，此時αβ=r（cosθ+isinθ）r［cos（-θ）+isin（-θ）］=cos2θ+isin2θ=－12+32i；當3θ=2π，5π時，可得θ=2π3，5π3，此時αβ=r（cosθ+isinθ）r［cos（-θ）+isi（-θ）］=cos2θ+isin2θ=－12－32i.綜上可得αβ=－12±32i，故填－12±32i．

評注：根據(jù)題中相關(guān)虛數(shù)的次冪運算，也可以利用待定系數(shù)法之三角形式直接設(shè)出對應(yīng)的復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)三角形式的運算來處理對應(yīng)虛數(shù)的乘積、次冪與除法等，更加簡單快捷，必要時要對復(fù)數(shù)中輻角的取值情況進行分類討論．復(fù)數(shù)的三角形式是現(xiàn)行教材中的選學內(nèi)容，作為學有余力以及參加競賽學生的學習內(nèi)容之一，也是解決問題的一種常見的技巧方法．

4．變式拓展

結(jié)合原問題及其對應(yīng)的解析過程，從中尋覓變式拓展的視角．

變式1已知實系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的兩根為α和β，且滿足α是虛數(shù)，α2β是實數(shù)，則α2β2=．

解析：根據(jù)方法1中的解析過程，可得α2β2=1，故填1．

當然該變式問題也可以通過原問題中的其他方法來分析與求解，這里不多加以展開，供有興趣的愛好者自行推理與應(yīng)用．

變式2在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學中最重要的定理之一，其內(nèi)容是：任何一元n次復(fù)系數(shù)多項式f（x）在復(fù)數(shù)集中有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．那么f（x）=x3－1在復(fù)平面內(nèi)使f（x）=0除了1和－12+32i這兩個根外，還有一個復(fù)數(shù)根為（）.

A．12－32iB．－12－32i

C．12+32iD．－12－32i

解析：由于－12+32i是方程f（x）=0的根，則有（－12+32i）3=1，可得（－12+32i）2=1－12+32i=－12－32i，則有（－12－32i）2=（－12+32i）2·（－12－32i）=－12+32i，所以（－12－32i）3=（－12+32i）（－12－32i）=1，即－12－32i也是方程f（x）=0的根，故選B．

該變式問題中，融入復(fù)數(shù)的方程應(yīng)用，借助代數(shù)基本定理的數(shù)學文化情境，以復(fù)數(shù)的方程為背景，巧妙融入復(fù)數(shù)的基本運算、方程的根等相關(guān)知識，通過合理的邏輯推理、數(shù)學運算以及化歸轉(zhuǎn)化等來綜合分析與處理．