遞推:貫穿數列教學的始終

徐蘭 黃俊赟

遞推是數列的靈魂，是序列計算的一種常用算法，是按照一定的規律來計算序列中的每一項.其思想是把一個復雜的龐大的運算過程轉化為簡單過程的多次重復.已知一個數列｛an｝第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系用一個公式來表示就是這個數列的遞推公式.這是數列的一種表示方法.遞推是數列的本質屬性，也是它與其他函數的最大區別，本文從遞推的視角來縱觀數列全章.

1.遞推的初步理解——等差、等比數列的通項、求和公式推導

等差、等比數列的通項公式和求和公式是高中數列的基礎知識，這兩個公式的推導是教師引導學生從遞推的視角來研究數列問題的起始階段.等差數列中，，an+1-an=d，∴an=an-1+d=an-2+2d=…=a1+（n-1）d.通項公式可以通過遞推、迭代得到.等比數列中，an+1an=q，∴an=an-1q=an-2q2=a1qn-1課本中用累加法和累乘法來展現這一過程，本質就是遞推.所以累加、累乘是相鄰遞推公式求通項的最常用的方法.教師在課堂中要引導學生自主探索，理解等差、等比數列的遞推公式的特點：從第二項開始，描述數列中每一項與前一項的差或商的關系.

在推導等差數列和等比數列求和公式時，教師無需落入俗套，可以順應學生的知識基礎，引導學生從遞推的角度來研究.已知等差數列{an}中，首項為a1，公差為d，那么前n項和Sn怎么用a1、d和n來表示呢？∵Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+（a1+d）+（a2+d）+…+（an+d）=Sn+a1+nd.∴Sn+1-Sn=a1+nd.∴S2-S1=a1+d，S3-S2=a1+2d，Sn-Sn-1=a1+（n-1）d，各式相加得Sn-S1=（n-1）a1+（1+2+3+4+…+（n-1））d，∴Sn=na1+（1+2+3+4+…+（n-1））d.求和研究方法此時遇到了難題就是自然數列的求和，卻為倒序相加法的出現提供了好的契機.再看等比數列，已知等比數列{an}中，首項為a1，公比為q，那么前n項和Sn怎么用a1、q（q≠1）和n來表示呢？Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+qSn.遞推關系已經建立，那么怎么推出求和公式呢？這個遞推關系相對學生比較陌生，教師繼續引導學生利用已有的數列知識來解決問題.思路一：Sn+1=Sn+an+1=a1+qSn，∴Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.課本中的錯位相減法學生很難想到，而這樣的推導的本質解釋了錯位相減法從何而來，把這個方程的求解過程詳細展示出來就是錯位相減法.思路二：從遞推關系入手，Sn+1=a1+qSn，如果沒有常數a1，那么數列{Sn}是等比數列，那么這個常數該怎么擺放還是一個等比數列呢？學生會做出各種嘗試，會想到待定系數法，Sn+1+x=q（Sn+x），解之x=a1q-1，Sn+1+a1q-1=q（Sn+a1q-1）.∴｛Sn+a1q-1｝是以a1qq-1為首項，公比為q的等比數列.∴Sn+a1q-1=a1qq-1qn-1=a1qnq-1，∴Sn=a1（1-qn）1-q.筆者認為關于遞推關系an+1=pan+q的通項求解，如果說要在課本中找到這個遞推關系的本源那么就應該是出自這里了.經歷了這樣一個過程，學生對數列的認識不會停留在通項公式上，而是數列的遞推公式，對遞推公式的理解也深刻很多，為后面的復雜遞推公式求解通項埋下伏筆.

2.遞推的深度應用——累加法、累乘法的另辟蹊徑

數列的遞推關系滿足an+1-an=f（n）或者an+1an=f（n）時，分別用累加法和累乘法計算數列的通項公式，但是計算過程比較繁瑣，還要檢驗首項，學生容易出錯.如果對f（n）進行拆分成n+1與n的數學關系，那么我們可以用整體的思想構造出幾個最基本的遞推關系：常數列的遞推關系、等差數列的遞推關系、等比數列的遞推關系，從而優化求解.如已知數列{an}中，an+1-an=2n，a1=1，求an·an+1-an=2n+1-2n，∴an+1-2n+1=an-2n=a1-2=-1，∴an=2n-1.把2n拆分成2n+1-2n實現了從n+1遞推到n，再分別與an+1和an結合，分別把an+1-2n+1和an-2n看成一個整體bn+1和bn，構造出了最基本的常數列遞推關系bn+1=bn=b1.推廣到一般化an+1-an=stn，a1=1，（其中s，t為常數）.拆分時用上待定系數法，an+1-an=k（tn+1-tn），則k（t-1）=s，求出k=st-1.∴an+1=-k·tn+1=an-k·tn=a1-kt.從而求出an.再如an+1an=3（n+2）n+1，a1=1，觀察遞推關系式，發現等式的左邊an從n遞推到n+1，等式的右邊從n+1遞推到n+2，遞推的數量是一致的，所以構造an+1n+2=3ann+1，令ann+1=bn，∴bn+1=3bn，b1=12，構造出了基本的等比遞推關系，再求解通項.如果遇到an+1an=n+2n呢？我們又該如何處理？我們發現左邊an中的下標從n遞推到n+2;右邊從n遞推到n+2，兩邊的遞推數量不一致，直接通過結構變化構造遞推關系不能成功，有沒有辦法能夠通過增加項來實現遞推數量的統一呢？在等式的右邊分子分母同乘n+1得到an+1an=（n+2）（n+1）（n+1）n，把n（n+1）看成一個整體，等式的右邊就實現了從n到n+1的遞推，再進行結構的變化得到an+1（n+2）（n+1）=an（n+1）n.得到了常數列an（n+1）n=a12，求出通項公式an.

3.遞推的深刻理解——一般數列求和方法的豁然

一般數列的求和方法中，最重要的就是裂項求和法和錯位相減法，裂項求和的本質就把通項公式裂成有遞推關系的兩項之差，從而達到消掉相同項.比如an=1n（n+1）=1n-1n+1.

理解了以上，我們不妨思考適合錯位相減法的通項公式是等差數列乘以等比數列構成的，從理論上也可以實現裂項形式.如an=（n+1）2n，觀察這個式子，根據之前遞推公式構造的思路，我們要把（n+1）2n裂成兩項之差，可以用待定系數法：［A（n+1）2+B（n+1）+C］·2n+1-［An2+Bn+C］·2n=2n［An2+（4A+B）n+2A+2B+C］=（n+1）2n.∴Sn=（1·22-0）+（2·23-22）+（3·24-2·23）+（4·25-3·24）+…+n·2n+1-（n-1）·2n=n·2n+1.顯然可見，比錯位相減法的運算量要小很多.所以遞推，貫穿于數列學習的始終.

4.遞推的綜合應用——高考命題的熱點

建立數列的遞推關系是數列的應用和其他數學知識結合的重要方法，也成為數列試題重要的命題方向.2023年全國新高考Ⅰ卷第21題，通過全概率公式構建了數列的遞推關系，是數列與概率的綜合.23年的上海數學高考題考察了數列與函數的綜合，也是運用迭代思想解決問題.

題目： 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且PXi=1=1－PXi=0=qi，i=1，2，…，n，則E∑ni=1xi=∑ni=1qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）．

解：（1）設“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，則P（B2）=

P（A1·B2）+P（B1·B2）=P（A1）·P（B2|A1）+P（B1）·P（B2）|B1）=05·0.4+05·08=06.

（2）設P（Ai）=pi，P（Ai）=pi=P（Ai-1·Ai）+P（Bi-1·Ai）=P（Ai-1）·P（Ai|Ai-1+P（Bi-1）·P（Ai|Bi-1）=0.6·pi-1+（1-pi-1）·0.2=0.4pi-1+0.2（n≥2），得到一組遞推公式pi=25pi-1+15，pi+x=25（pi-1+x），解之x=-13，∴pi-13=25（pi-1-13）.又pi=12，∴pi-13=16，{pi-13}是首項為16，公比為25的等比數列，∴pi-13=16·（25）i-1，∴pi=13+16·（25）i-1，（i=1，2，3，…）.

（3）依據題意，E（Y）=∑ni=1pi=16×1-（25）n1-25+n3=518［1-（25）n］n3.

數列的綜合應用問題中，搞清事物發展的前因后果及其相互聯系，搞清事物的形成過程和形成方法，是尋找解題思路，突破難點的必經之路，用遞推的方法來表達事物間的聯系能夠

讓我們對所解決的問題以數學的方式呈現出來，其實就是建立數學模型的過程。建立遞推關系，是解決這類綜合問題的核心環節.只有真正理解遞推，才有能力在實際情境中用數學的眼光來觀察問題，用數學的知識來表達問題.

遞推蘊含著轉化、迭代、程序化與機械化等思想.在數列的教學過程中，教師要抓本質，重點體現“邏輯思維能力”，滲透思想方法，在關鍵處多著力，靶向新高考的熱門題型與教學中的難點問題，提升學生的關鍵能力.