平面向量模問題的求解策略研究

徐志剛

平面向量是高考命題的重要考點，尤其是平面向量模的問題，時常出現在高考題的填空題中.我們知道，向量既有大小又有方向，這里的大小就是指向量的模，也叫向量的長度.計算向量的模或模的最值（取值范圍）是一類常考題型.那么這類問題該如何破解，本文從一道高考真題談起.

真題（2023年新課標Ⅱ卷第13題）已知向量，滿足－=3，+=2－，則=．

本題題干中的兩個向量滿足的條件都是以向量模的形式出現，無論是已知條件還是所求結論都統一到向量的模這個“焦點”上，主題十分明確.可以說，本題是一道語言精煉，考點明確不可多得的好題.那么這道題該如何解呢？

首先，我們都知道向量模的運算往往與兩類的數量積有關，于是出現了一下兩種思路：

思路1直接利用向量數量積的律運算求解

解法1：[HT]因為+=2－，即+2=2－2，則2+2·+2=42－4·+2，整理得2－2·=0，又因為－=3，即－2=3，則2－2·+2=2=3，故=3.

思路2換元再結合數量積的運算律求解

解法2：設=－，則=3，+=+2，2－=2+，由題意可得+22=2+2，則2+4·+42=42+4·+2，整理得2=2，即==3.

上述兩種解法只是表述上的不同，實質是一致的，有時應用了向量的數量積運算的有關公式.其實，在求解向量問題時，還有一種方法不可忽視，那就是坐標法.

思路3引入向量坐標，轉化為方程組

解法3：不妨將已知條件特殊化，把向量，的起點都放在原點上，且它們的終點都在x軸上，令=（m，0），=（n，0），則||=|n|.由－=3得|m－n|=3m－n=±3；由+=2－得|m+n|=|2m－n|m=2n或m=0，所以由m－n=3，

m=2n 得n=3；由m－n=－3，

m=2n 得n=－3；由m－n=3，

m=0 得n=－3；m－n=－3，

m=0 得n=3.

綜上可知n=±3，故||=|n|=3.

解答高考題，直接法固然是最常用的方法，但對于單選題與填空題來說，特殊化法有時省時又省力，值得嘗試.

思路4應用特殊化思想

解法4：當=0時，+=2－恒成立，于是由－=3得=3.

點評：從以上四種解法中不難看出，處理向量模的問題，一般有兩種方法，一種是依據向量的數量積與向量的模之間的關系式：||2=·；另一種方法就是將向量坐標化，把原問題轉化為解析幾何或代數問題求解.

為了更好的研究這類問題，我們不妨將上述高考真題加以變式后再作研究.

變式1已知平面內非零向量，，滿足<+，>=π3，||=2，|+|=1，則－=.

分析：由已知條件可求得||=3，2·=－6，將－平方展開代入求值即可得答案.

解析：因為<+，>=π3，||=2，|+|=1，

所以［（+）－］2=|+|2+||2－2|+|·||cosπ3=3，所以||=3，

又因為|+|=1，兩邊平方得||2+||2+2·=1，解得2·=－6，所以－2=||2+||2－2·=4+3+6=13，所以－=13.

點評：本題中含有“<+，>=π3”的條件，不適宜用坐標法，只需應用向量的數量積運算的定義和相關運算法則.

變式2已知平面向量，，中，||=3，||=1，－·－=0，且－=－，則的最大值為 ．

分析：根據題意可設－=x，y，－=－y，x，再利用||=3，||=1可得x2+y－32=1，寫出的表達式利用幾何意義即可求得≤6+1.

解析：由（－）·（－）=0且－=－，不妨設－=x，y，－=（－y，x），又因為||=3，||=1，不妨設=3，0，則=（x+3，y），=3－y，x，又=3－y2+x2=1，即x2+y－32=1.所以（x，y）的軌跡是以（0，3）為圓心，半徑r=1的圓，而=x+32+y2表示x，y與－3，0之間的距離，顯然圓心0，3與－3，0之間的距離為d=6，所以d－r≤≤d+r，即的最大值為6+1.

點評：本題屬于模的最值問題，最后的方法是數形結合，揭示向量的幾何意義，所以坐標法是首選.

變式3已知平面向量、、滿足·=0，=1，－=－=5，則12+12－的取值范圍為.

分析：設=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，則C1，0，求出線段AB的中點M的軌跡方程為x－122+y2=494，可得出12+12－=CM，設點D12，0，由CM=DM－DC結合向量模的三角不等式可求得12+12－的取值范圍.

解析：如圖1，設=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，則C1，0，則－2=x1－12+y21=25，－2=x2－12+y22=25，·=x1x2+y1y2=0.

令OM=12+=x，y，即x1+x22，y1+y22=x，y， x2+y2=x1+x22+y1+y224=x21+y21+x22+y224=x1－12+y21+x2－12+y22+2x1+x2－24=4x+484=x+12，整理得x－122+y2=494， 故點M的軌跡方程為x－122+y2=494，又12+12－=OM－OC=CM.設點D12，0，圓D的方程為x－122+y2=494，半徑r=92，因為CM=DM－DC，且DM=72，DC=12，所以CM=DM－DC≥DM－DC=3，CM=DM－DC≤DM+DC=4.

即3≤CM≤4，即3≤12+12－≤4.

故12+12－的取值范圍是3，4.

點評：本題考查向量模的取值范圍的求解，對于較為復雜的題型，一般可以考慮將向量特殊化、坐標化來處理，利用解析法結合平面幾何的相關知識、向量模的三角不等式來求解.