基于結構視域下的高中數學教材的深度理解

王峰 李啟梅

當下，大單元教學開展得如火如荼，但教研活動交流表明不少教師對大單元教學認識模糊，做不到對每節課都有大單元理念的滲透，充其量在一章開始時向學生介紹一下本章內容產生的背景、價值以及與其他章節的聯系，之后在一節節具體的內容教學時也只能是就事論事了，這樣一來，教學的知識點依然是孤零零的，知識之間的聯系缺少，這與“大單元教學理念”不一致，顯然是“穿新鞋走老路”，那么如何處理教材才能真正落實“大單元教學”呢？我們認為大單元教學理念的“大”的意思是整體把握教材之義，打通這一單元內部知識的內在聯系，以盤活知識，達到靈活運用數學知識處理問題的目的.

最近，看到史寧中教授的一篇文章《學數學要大量做題嗎？》，文中指出：學習數學最重要的是什么呢？史教授給學生的建議有兩個：一個是要有興趣，你在學習的過程中，特別是克服了困難過程中，你感到樂趣這是很重要的，因為興趣是學習的最根本動力；還有一個就是學習數學要會思考，尤其是理性思維，這樣才適宜學數學.

由此看出，培養學生學習數學的興趣至關重要，有了興趣才能做到深入學習并堅持下去，那么學習興趣如何培養？這也是數學教師需要解決但又感到力不從心的事情，通過多年的教學實踐及研究得知，教師只要將數學教材講得通俗易懂，學生易接受，易入心，這樣一來，學生就感到學習數學輕松自如，學習興趣就會慢慢養成.

最近，高考各科命題考查重點公布，關于數學學科命題有這樣一句話：“努力破除復習備考中題海戰術和套路訓練的影響.”加之，取消考試大綱、能力立意轉向為“素養立意”、反對機械刷題.什么是機械刷題？我們認為是考生不注重教材知識的深度理解與掌握，解題時不是靠靈活運用數學知識解題，而是依靠不理解的解題流程而大量盲目地反復做.面對如何理解教育部考試中心的這些做法以及如何引導學生的學習興趣，作為教師，我們該何去何從，對此，我們認為要想讓自己的學生在考場上做到“以不變應萬變”，唯有“抓住教材”才是正道，因為教材內容是學科素養之源，數學能力之根，皮之不存，毛將焉附？故重視教材研究是一線教師平時教研的當務之急，不可懈怠！

一、特殊的“規定”也能體現“大單元”

在數學教材中，“規定”比比皆是，對于為何要單獨“規定”這些數學規則，教師要做到心知肚明. 隨著課程改革的深入，教師們逐漸意識到，對于“規定性內容”的教學，即使讓學生接受學習，也要讓接受變得“有意義”.這就要求教師要學會創造性地使用教材，將教材中的“規定”那冰冷的美麗變成火熱的思考，以讓學生感受到數學的豐富內涵，從而激發學生的學習興趣.

案例1關于規定“零向量方向是任意的”的理解.因為零向量0的始點與終點重合，所以它沒有確定的方向，即零向量0是無方向而言的，然而向量是既有大小又有方向的量，

這樣它又必須有方向，但其方向客觀又不存在，因此有必要人為地規定零向量0的方向.圖1究竟為何要規定“零向量0的方向是任意的”？根據向量的加法，知OA+AB=OB，如圖1所示，當點A越來越接近點O時，向量OA的方向與向量OB方向一致，一旦點A與點O重合，此時OA=0，可以認為0的方向沿著向量OA的方向，也就說，零向量0的方向可以隨著向量OA的方向變化而變化，因為向量OA的方向可以任意，故規定零向量0的方向是任意的，不是這主觀臆斷的結果.”其實，定義零向量0就是為了運算的需要而產生的，而通過向量的加法運算得到零向量0方向的任意性，就將零向量0自然融入到向量的加法運算之中，而不是一個獨立的個體，這無形中體現了大單元的“大”思想.正因為如此，規定“零向量0與任意向量平行”就顯得顯得是多么得自然.這一點也足以說明了“零向量0的方向是任意的”的合理性.

由于高中數學概念的定義不僅要講究形式，還要突出其本質，這就使得有些概念中的特殊對象極易拒之門外，從而造成反映數學概念本質屬性的定義帶有片面性.但數學講究體系結構的和諧性、完整性以及運算法則的封閉性，此時有必要對特殊情況作一單獨規定，以對定義的不足作一補充和完善，所以數學中的規定并不是無病的呻吟，而是一種強烈的呼喚，它不僅是必要的，而且是合理的，它對數學的和諧發展具有重要的作用.當然，“規定”的內容絕對不能套用相關概念等本質內涵標準去衡量.因為規定的內容肯定不符合概念的一般性定義的理解，否則怎么還需要作特殊規定呢？其實這些“規定性內容”就是數學概念中的特殊對象的定義，它們仍屬概念的定義范疇，是不可或缺的，理應受到重視.

二、拋出的“定義”也能體現大單元

受教材知識體系的約束，有些數學概念的定義產生過程教材不能一時向學生展示出來，故教材往往直接拋出的，教師如果不加以認真研究，就不清楚這個概念定義的真實原因，只好照本宣科，弄得學生迷惑不解，只好死記硬背，雖然能機械套用定義解題，但學生心里上往往不爽，特別是善于思考的學生，會糾結原因的，當問及教師時，教師可能也不清楚原因，就會搪塞學生：“前人規定好的，有什么好理解的，記住會應用即可.”教師的如此回答，雖然也能打發走學生，但學生內心卻不一定完全接受，顯然，教師沒有從根本上解決學生的問題，怎能激其學生的興趣？實際上，數學中的每一個概念并不是孤立存在的，而是在大單元下與其他知識和諧共生的結果，是系統化的結果，有了這個意識，就不難發現數學的每個概念的定義產生就能找到其如此定義的原因，也許這個原因在后續學習中，雖然暫時不能向學生介紹，但這個話要點到，讓學生明白定義是可以理解的，等到學了后續知識之后，教師再做補償性說明，這體現了前后連貫的邏輯性，學生就豁然開朗了，解除了心中的疑團，明白了，自然就有了興趣，同時也就感受到大單元理念的“大”.

案例2在平面向量的“減法定義”的學習中，人教版第11頁定義如下：“向量加上的相反向量，叫做與的差，即－=+（－），求兩個向量差的運算叫做向量的減法.”關于向量減法的定義，教學中不少教師運用類比實數的減法去理解，那么總感覺不能解釋明白，別說學生不能接受，作為教師能接受嗎？畢竟向量運算與實數運算是兩類不同的事物，怎能作一個簡單類比呢？那么，該如何解釋此定義的合理性呢？如果直接告訴學生，機械記住，大單元教學理念體現在何處呢？為此，筆者經過深思細悟，發現這個定義也是有道理的，并不是不可理喻的.不過，合理性還需從后續知識中加以驗證，教師至少要知道這一點，以后再向學生說明，這樣一來，學生就明白了知識的前后聯系.譬如說，在數量積的運算中，由數量積的分配律與數乘運算的結合律知，·［+（－）］=·+·（－）=·+［－1（·）］，根據實數的減法法則：加上一個負數，等于減去一個正數，于是得·［+（－）］=·－（·），受次啟發，如果將·［+（－）］改寫為·（－），直接運用數量積的分配律，得到·（－）=·－（·），多么簡潔！又如，平面向量減法運算的坐標表示，設=x1+y1，=x2+y2，則－=－x2+（－y2），+（－）=（x1+y1）+［－x2+（－y2）］=［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］，根據實數的減法法則：加上一個負數，等于減去一個正數，知［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］=（x1－x2）+（y1－y2），受此啟發，將+（－）改寫為－，則+（－）=－=（x1+y1）－（x2+y2）=（x1－x2）+（y1－y2），從而，又一次驗證了向量減法的合理性.

由此可知，教材中有的數學概念的定義直接拋出，并不等于不講道理，作為教師應該從數學系統的高度去認識與把握，讓學生感受到每一個定義都是大家庭中的一員，并且是有機的整體，不可或缺，只有這樣，學生才能做到知識間的融會貫通.

三、冰冷的“數學符號”也能體現大單元

用數學符號呈現數學內容簡潔、準確，但抽象，令學生難以理解，給人以冰冷的感覺，于是誤認為數學符號都是前人機械規定的結果，沒有什么好理解的，其實不然.實際上，數學中每一個數學符號都不是空穴來風，每一個數學符號的背后往往都有一曲曲感人的故事，是前人從數學系統的角度經過反復思考的結果，是數學智慧的結晶，意味深長，不可小視.

案例3平面向量數量積的概念，教材利用力做功直接引出數量積定義“·=||||cos<，>”.在此定義中，運算符號“·”具有乘法的意義嗎？顯然不具有實數乘法運算的意義，那么為什么這個概念定義時用運算法則“·”呢？對此，教學時，教師需要向學生講清楚其來龍去脈，但無論在中數期刊上，還是公開課上，關于數量積運算符號“·”的引入，幾乎都是照本宣科，讓人覺得這個定義的無理，而沒有真正感受到使用“·”的真正意圖.對此，筆者深感困惑，經過一段時間的思考，終于弄清楚了原因，實際上由力與位移通過某種運算法則產生的標量功W，我們不妨記為W=⊕=||||cosθ，其中θ為矢量力與位移的夾角，按照這個定義受啟發，得到⊕=||||cosθ不難可得到運算律：⊕=⊕，（λ）⊕=λ（⊕），⊕（⊕）=⊕⊕⊕，顯然關于⊕=||||cosθ的運算律與實數乘法的運算律類似，況且⊕=||||cosθ中等號右邊的三部分式子之間都是實數乘法運算，基于此認識我們不妨借用實數的乘法運算符號“·”可表達⊕=||||cosθ中的運算法則，即·=||||cosθ，這樣一來，就減少了數學符號，體現數學的整體把握與簡潔美.教學中，筆者采用“倒序的手法”介紹數量積的運算符號形成過程，彰顯了數學中一個小小的數學符號可能蘊含著數學的整體化思想，而不僅僅是一個孤零零的符號，所以教學時要透過現象看本質，讓學生感受到教材的內在力量.

四、簡單的“運算法則”也能體現大單元

大單元教學的內容更強調宏觀，更加注重教學內容之間的聯系，這樣有助于學生建立知識體系，有助于學生對教學內容進行結構化的掌握.數學運算是數學學習的“重頭戲”，提升運算素養的關鍵就是弄清楚運算法則的原理及來龍去脈，特別是一些運算法則之間存在內在邏輯聯系，因為它們這種關系是隱形的，不容易被大家覺察到，所以教學時就公式講公式現象普遍，沒有體現大單元的教學理念，運算也只能機械套用公式操作，數學運算素養也就無從談起.

案例4新教材第二冊第一章內容是平面向量，教材在學習完平面向量知識之后，接著談談平面向量的應用，其中余弦定理的證明就是平面向量應用的一個方面，當然，運用平面向量知識推導出余弦定理并不難，難的是如何想到了去運用平面向量去切入推導余弦定理的，對此，大家可能思考的少，因為這需要深度思考才能明白其中的緣由，否則，只能照本宣科了.筆者認為，余弦定理是反映三角形邊角之間關系的一個定理，教學設計應該使余弦定理來得自然而不生硬，所以教學時可以引導學生回憶三角形邊角有哪些關系？學生回答的結果無非是如下幾個方面：三角形三邊任何兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內角和是180°；直角三角形的勾股定理以及銳角三角函數.接著教師可追問：一般三角形的邊角之間的關系存在等量關系嗎？教學表明，請學生回答的結果是沒有的，于是，教師繼續追問：剛剛學過的平面向量中有嗎？學生可能還回答沒有，此時，看來該是教師該出手的時候了，于是筆者寫到：在ΔABC中，有AB+BC=AC這個結論吧？針對向量等式“AB+BC=AC”，不少教師認為這僅僅是三角形加法法則而已，而沒有認識到其背后隱藏的豐富內涵——三角形邊角關系，其實，它是三角形邊角關系的向量表示，教學時，我們要透過現象看出本質，因為平面向量的“三角形加法法則”的運算符號“+”并不是實數中加法運算符號的意義，而是這種運算法則運算律與實數的加法運算律一致，故將平面向量中的這種“首尾相連”的運算用“+”表示，由此看出，平面向量的加法法則符號“+”的含義不僅有“模長”的運算，還有“向量方向夾角”的運算，而“向量方向夾角”的表示實際上就是“三角形角的大小”表示問題，故在ΔABC中，等式AB+BC=AC就是反應三角形邊角的等量關系式，明白了這一點，從AB+BC=AC入手，將其兩邊平方，就不能得到b2=a2+c2－2accosB，顯然，這樣獲取的余弦定理，學生感到親切自然，深深感受到平面向量的價值非凡.

由此看出，看似一個大家熟知的余弦定理，教學時如何體現大單元的教學理念，需要我們認真備課，整體把握教材，仔細推敲每一個數學知識的本質所在，不能被表面的現象所迷惑，要透過表面的現象看到本質的東西，如本例我們如果從“AB+BC=AC”看到其反映的三角形的邊角關系，那么教學時由此引入余弦定理，就能充分體現了大單元的教學思想.

五、熟悉的“數學公式”也蘊含著大單元思想

數學公式是聯系題目條件與求解目標的橋梁，它們不僅是數學運算的依據，而且也是能幫助我們把握運算的方向，所以在求解時究竟選用哪個公式進行運算，關鍵是要清楚每個公式的適用范圍和功能，這一點至關重要.當然，一個問題的運算可能有不同的公式運算都可以，但往往有繁簡之別，值得注意的是，數學公式之間也存在著千絲萬縷的聯系，清楚它們的區別與聯系也是大單元教學的要求，所以在運算求解時，不是數學公式記憶的問題，而是公式選擇的問題，同樣一個問題，如果選擇恰當的數學公式，運算就事半功倍，否則事半功倍.

案例5在余弦定理的教學中，教材給出了兩種形式a2=b2+c2－2bccosA，cosA=b2+c2－a22bc，于是教學中，教師往往就告訴學生利用余弦定理可解決兩類問題：知道三角形的兩邊及其夾角求第三邊；知道三角形的三邊可求三角形的任意內角.實際上，告訴學生兩大功能是不科學的，削弱了余弦定理的求解功能，不妨以a2=b2+c2－2bccosA為例加以說明，這個公式有四個元素：a、b、c、A，顯然，根據此公式可“知三求一”，具體來說有四種情況：①知道a，b，c，求A；②知道a，b，C，求c；③知道a，b，A，求c；④知道a，c，A，求b.

其中①②兩個類型是教材給出的兩大功能，而③④是知道三角形的兩邊及其中一邊的夾角，求第三邊的問題，而這類問題是下節課由正弦定理要解決的問題，但在學習余弦定理的時候引導學生發現出來此功能，在學習正弦定理的時候，再解決③④類型的問題，學生就潛意識到正弦定理解決的問題，余弦定理也能解決，反之余弦定理解決的問題，正弦定理也能解決，這樣一來，學生在解三角形時就可根據題目條件靈活選擇哪個公式解決，同時也說明了正弦定理與余弦定理存在著聯系，而不是水火不相容的，教師指出余弦定理與正弦定理可以互證，有興趣的同學可不妨試一試.

從這個案例可知，雖然教材內容是一節一節的，有先后順序，但節與節之間可能存在密切的關系，教學時我們可根據實際情況，將不同節之間的知識進行串通，讓數學知識真正成為一個單元，而不是孤立存在的.

總之， 大單元教學并不是空洞的理念，而是教學設計中要將教材中每一個數學知識點融入到相應的數學結構體系中去，這樣才體現出“大單元”的思想，為此，教師在備課時必須要有深度，事實上，大單元教學就是深度教學的一種有力體現.