教材尋法 巧解真題

陶勇勝

圓錐曲線問題是考查學生的數學運算和邏輯推理核心素養的重要抓手之一，在近幾年高考及各地模擬考試中，此類問題因在求解過程中含多個變量，往往具有較大且復雜的運算量，讓學生束手無策、望而生畏，是學生解題過程中的一個“痛”點.對于高考中的這一熱點和難點，如果能根據已知條件，選擇合適的直線參數方程，將會使得解題過程更為簡潔、高效.本文先介紹直線參數方程的相關概念，再以2023年圓錐曲線高考題為例，運用直線參數方程對其進行探究，回歸教材尋求突破之法.

1.直線參數方程的相關概念

如圖1，若直線l經過點P0x0，y0，斜率為k，則直線l的點斜式方程為y－y0=kx－x0，其中k=tanα（α為直線的

傾斜角，α≠π2）.若將k=tanα代入點斜式方程，得到y－y0=sinαcosαx－x0，即x－x0cosα=y－y0sinα，設上式的比值為t，整理后得到直線l的參數方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα （t為參數），當α=π2時，上式也成立.其中，直線參數方程中t是指在直線上過定點P0x0，y0與直線上任意一點Px，y構成的有向線段P0P的數量，t的絕對值t就是點P0與點Px，y之間的距離.當點P在點P0上方時，t＞0；當點P在點P0下方時，t＜0.

一般地，若過定點P0x0，y0直線l與二次曲線相交于P1、P2兩點，P1，P2對應參數分別為t1，t2，則根據參數方程中的t幾何意義，有以下性質：

（1）P1P2=t1－t2，P0P+P1P=t1+t2，P0P+P1P=t1+t2；

（2）若P0在線段P1P2內，則t1t2＜0且PP1PP2=－t1t2；若P0在線段P1P2外，則t1t2＞0且PP1PP2=t1t2；

（3）P1P2的中點P的對應參數值tP=t1+t22，若P0是線段P1P2的中點，則t1+t2=0，反之亦然；

（4）若點P分線段P1P2所成的比為λ，則點P對應的參數值tP=t1+λt21+λ.

根據上述性質，當直線與圓錐曲線相交時，靈活運用參數t的幾何意義，可優化解題過程、減少計算量.需要特別注意的是，由于直線的傾斜角α的范圍為0，π，因此經過點P0x0，y0，傾斜角為α的“標準形式”的參數方程x=x0+at，

y=y0+bt 需滿足三個條件：①－1＜a≤1；②0≤b≤1；③a2+b2=1.

2.直線參數方程在圓錐曲線中的應用

例1（2023年全國數學理科甲卷第20題）已知直線x－2y+1=0與拋物線C：y2=2px（p＞0），交于A，B兩點，AB=415.（1）求p；（2）

設F為C的焦點，M，N為C上兩點，MF·NF=0，求ΔMNF面積的最小值.

解：（1）易得p=2.

（2）如圖2，設直線MF的參數方程為x=1+tcosα，

y=tsinα （t為參數），點M，N對應參數分別為t1，t2，則M（1+t1cosα，t1sinα），N（1－t2sinα，t2cosα），因為點M在拋物線y2=4x上，所以sin2α·t21－4cosα·t1－4=0，解得t1=21－cosα，同理t2=21+sinα，根據參數t的幾何意義，MF=t1，NF=t2，從而ΔMNF面積S=12t1t2=21－cosα1+sinα.由基本不等式，（1－cosα）（1+sinα）≤2+sinα－cosα22=2+2sinα－π424=3+222，當且僅當sinα－π4=1，即α=3π4時取得最大值，所以S=21－cosα1+sinα≥43+22=12－82.

點評：該題推陳出新，以求三角形的面積為背景，融合函數、不等式和圓錐曲線性質等知識，主要存在兩個難點：①合理引入參數；②用其表示三角形的面積.與引入點參或線參等方法相比，根據參數t的幾何意義可以直接得到三角形兩條直角邊MF與NF的表達式，從而巧妙化解本題的難點——三角形的面積的表示問題.

例2（2023年全國Ⅰ卷第22題）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

解：（1）易得W的方程為y=x2+14.

（2）如圖3，不失一般性，將W向下平移14個單位，設Ax0，x20，直線AB的參數方程為x=x0+tcosα，

y=x20+tsinα

（t為參數），點A，B對應參數分別為t1，t2，將直線AB的方程代入W的方程y=x2中，得到cos2α·t2+2x0cosα－sinα·t=0，則t2=sinα－2x0cosαcos2α，且判別式Δ=2x0cosα－sinα2＞0，即2x0≠tanα，根據參數t的幾何意義，AB=t1－t2=sinα－2x0cosαcos2α.因為ABCD是矩形，所以直線AD的傾斜角為α+π2，故AD=cosα+2x0sinαsin2α，且2x0≠tanα+π2，即2x0≠－1tanα，從而矩形ABCD的周長L=2AB+AD=2sinα－2x0cosαcos2α+cosα+2x0sinαsin2α（＊），由于上述（＊）式分子和分母都為非負數，所以當2x0=tanα或2x0=－1tanα時，L取得最小值.當2x0=tanα時，L=2sin2αcosα=2cosα－cos3α≥2239=33，同理當2x0=－1tanα時，L=1sinαcos2α≥33.

又因為2x0≠tanα且2x0≠－1tanα，所以L＞33.

點評：該題設計巧妙、新穎，以一個邊長變化的矩形“搭”在拋物線上為載體，考查矩形在滑動過程中求矩形周長的最值問題，需要學生有一定的動態思維能力，又需要在變化過程中找到不變量的邏輯推理能力.本題選擇合適的直線參數方程，利用上述中的性質（1），簡潔地得到矩形兩邊的邊長，進而得到矩形周長L的表達式，突破本題的難點.由于（＊）式中各項均為正，周長L的最小值只有當分子為零時取得，整個解題過程簡潔、高效，避免了繁雜的運算.

例3（2023年全國數學理科乙卷第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率為53，曲線C過點A－2，0.（1）求曲線C的方程；（2）過點－2，3的直線交曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：MN的中點為定點.

解：（1）易得曲線C的方程為x24+y29=1.

（2）如圖4，設直線PQ的參數方程為x=－2+tcosα，

y=3+tsinα

（t為參數），點P，Q對應參數分別為t1，t2，則P－2+t1cosα，3+t1sinα，Q－2+t2cosα，3+t2sinα.將直線PQ的方程代入橢圓C的方程中，得到5cos2α+4t2+64sinα－6cosα·t+36=0，故t1+t2=66cosα－4sinα5cos2α+4，t1t2=365cos2α+4.因為A－2，0，P－2+t1cosα，3+t1sinα，所以直線AP的方程為y=3+t1sinαt1cosαx+2，令x=0，則yM=6+2t1sinαt1cosα，同理yN=6+2t2sinαt2cosα，所以線段MN中點的縱坐標yM+yN2=1cosα·3+t1sinαt1+3+t2sinαt2=1cosα·2sinα+3t1+t2t1t2=3，故MN的中點為定點0，3.

點評：該題以“若kAM+kAN為定值，則直線MN過定點”的定點問題為背景，其背景熟悉、表達簡練、切入口寬.本題的關鍵點是由直線AP、AQ的方程得到點M、N的坐標.設直線PQ的參數方程后，便捷得到點P、Q的坐標，再結合點A的坐標，得到直線AP、AQ的方程，突破本題的關鍵點.顯然，除了解決圓錐曲線中與長度有關的問題，直線的參數方程對于解決定點問題仍是一種十分高效的方法.實際上，此題與2022年全國數學理科乙卷第20題背景相似，也可以用直線的參數方程求解，讀者可以進行嘗試.

例4（2023年全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為－25，0，離心率為5.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點－4，0的直線與C的左支交于M，N兩點，點M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

解：（1）易得C的方程為x24－y216=1.

（2）如圖5，設直線MN的參數方程為x=－4+tcosα，

y=tsinα （t為參數），點M，N對應參數分別為t1，t2，則M（－4+t1cosα，t1sinα），N（－4+t2cosα，t2sinα）.將直線MN的方程代入雙曲線C的方程中，得4cos2α－sin2α·t2－32cosα·t+48=0，故t1+t2=32cosα4cos2α－sin2α①，t1t2=484cos2α－sin2α②，由①÷②可得cosα=3t1+t22t1t2（＊）.又因A1（－2，0），M（－4+t1cosα，t1sinα），所以直線A1M的方程為y=t1sinαt1cosα－2x+2，同理，直線A2N的方程為y=t2sinαt2cosα－6x－2，聯立直線A1M和A2N的方程并將（＊）式代入，得到（2t2－6t1）x=－4t1t2cosα+4t2+12t1=6t1－2t2，解得x=－1，故點P在定直線x=－1上.

點評：該題考查直線與雙曲線的位置關系，可以從多個角度理解直線MN，點M、N可以看成直線MA1、NA2與雙曲線的交點，也可以看成直線MN與雙曲線的交點，即選擇直線MN的初始參變量不同，將導致解題過程的運算量大小不同.本題把點M、N看成直線MN與雙曲線的交點，巧設直線MN的參數方程，整個解題過程中始終將t作為初始參變量，大大減少了運算量.與例3相比，例4出現了非對稱韋達結構，常將sinα或cosα用t1、t2表示，轉化為關于t1、t2的一次式進行化簡運算，體現了轉化和化歸的數學思想.

3.教學啟示

3.1深究教材，為教學活動多元化奠定基礎

直線的參數方程這一部分內容在新人教A版教材中以“探索與發現”的形式出現，似乎在高考中直接考查并不多，故在平時教學中容易忽視，但高三復習時，教師應充分挖掘新教材的思想，滲透新教材的方法，利用直線的參數方程開展多元化的教學活動，引導學生多題一解，拓寬學生的解題思路，在提高解題正確率的同時有助于學生擺脫解題慣性，培養學生的創新思維.

3.2尋法教材，為破解高考真題提供良策

從近幾年圓錐曲線的高考試題來看，基于教材中的數學思想和方法為出發點的命制試題不在少數，教材是教師和學生學習知識的共同載體，也是高考命題的重要依據，命題專家根據教材挖掘有價值的材料，進行命題設計，能起到良好的導向作用，教師可與學生一起在教材中“尋法”，通過教材尋求破解方法，幫助學生實現“遷移數學知識、類比解題方法，從具體的教學情境中抽象出共性、方法和體系”［1］，突破機械式“刷題”，使得“減負增效”落到實處.

3.3回歸教材，為落實依標施教精準定位

章建躍博士認為：“回歸教材、依標施教是高考命題改革的大勢所趨，教材是從課標到教學的橋梁紐帶，教學中注重用好教材，切實做到依標施教”［2］.如果教師脫離教材教學，一味追求教輔上的“二級結論”，熱衷“秒殺大招”，將導致學生在知識和方法遷移上捉襟見肘，遇到新的面孔，不能套路化，不會思考，長期以往，師生苦教苦學，教學效果甚微.唯有在課堂中注重教材中的通性通法，幫助學生在教師指導下，超越具體特技、特法深入到思維層面，注重學習的遷移運用和問題解決，在相似的情境中能夠做到“舉一反三”，才能使得學生真正成為學習的主人.

3.4立足教材，為試題命制和解題教學把握方向

試題命制和解題教學都是教師在教學活動中不可缺少的重要技能，從教材中的數學思想和方法研究出發的試題命制和解題教學，既能幫助教師把握命題邏輯的正確性，確保命題試題的廣度和深度，也能幫助教師從不同角度對高考試題引申、類比和拓展，把高考試題價值最大化，還能幫助教師能從數學的本質出發，呈現知識的生成過程，使得復習備考真正做到“精準高效”.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2018；

［2］章建躍.高考命題嚴格“依標”，教學該怎么辦［J］.中小學數學，2023（07）：129-129.