探尋本質(zhì)觸類(lèi)旁通

周建剛 閆偉

1試題呈現(xiàn)

已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），一條漸近線方程為y=3x.

（1）求雙曲線C的方程；（2）在x軸上是否存在與點(diǎn)F不重合的點(diǎn)P，使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)時(shí)，AFBF=APBP總成立？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題為2023年山東省棗莊市3月份高三模擬試題第21題，該題目的命題背景平和，內(nèi)涵深刻，知識(shí)層面主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、線段比值問(wèn)題，是解析幾何專題中的常規(guī)題目；重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的存在性問(wèn)題，側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)；試題分兩問(wèn)，第一問(wèn)結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程求標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題，第二問(wèn)尋找滿足線段比值相等的點(diǎn)P，屬于圓錐曲線中探索性的問(wèn)題，思維難度適中，但運(yùn)算量較大，需要借助角平分線的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，較好地體現(xiàn)了對(duì)直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查［1］.

參考答案：（1）雙曲線方程為x2－y23=1；（2）存在點(diǎn)P（12，0）使得AFBF=APBP成立.

2試題推廣

注意到點(diǎn)P（12，0）恰好是雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，這個(gè)結(jié)果是巧合嗎？也就是說(shuō)，是不是對(duì)于任一焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，按照題目的表述，都有AFBF=APBP成立？筆者借助GeoGebra軟件進(jìn)行探究，證實(shí)了這一結(jié)果的正確性，即有：

性質(zhì)1已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為右準(zhǔn)線x=a2c與x軸的交點(diǎn)，有AFBF=APBP.

將題目中的右焦點(diǎn)F改為x軸上的任意一點(diǎn)，不包含雙曲線的頂點(diǎn)和原點(diǎn)，其他條件不變，是否還存在點(diǎn)P滿足上述條件？經(jīng)探究得到：

性質(zhì)2已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)（t，0）（t≠±a且t≠0），過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為直線x=a2t與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有AFBF=APBP.

顯然性質(zhì)1是性質(zhì)2的特例，上述命題中將題目中的點(diǎn)F（t，0）（t≠±a且t≠0）改為坐標(biāo)系內(nèi)不在雙曲線上的任意一點(diǎn)F（x0，y0），將對(duì)應(yīng)的直線x=a2t改為x0xa2－y0yb2=1，其他條件不變，是否還存在點(diǎn)P滿足上述等式？經(jīng)探究得到：

性質(zhì)3已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)（x0，y0）為不在雙曲線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線m：x0xa2－y0yb2=1的垂線，垂足為P，則有AFBF=APBP.

證明：過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線m的垂線，垂足分別為C，D，如圖1所示.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AC=x0x1a2－y0y1b2－1（x0a2）2+（y0b2）2，結(jié)合x(chóng)21a2－y21b2=1可得AC=x1（x0－x1）a2－y1（y0－y1）b2（x0a2）2+（y0b2）2；同理可得

BD=x2（x0－x2）a2－y2（y0－y2）b2（x0a2）2+（y0b2）2. 因?yàn)橹本€FP與直線m垂直，且直線m的斜率為b2x0a2y0，所以直線FP的斜率為－a2y0b2x0，從而直線FP的方程為y－y0=－a2x0b2y0（x－x0），即y0xb2+x0ya2－x0y0a2－x0y0b2=1.又因?yàn)镕P∥AC∥BD，所以點(diǎn)A到直線FP的距離等于CP，即CP=y0（x1－x0）b2+x0（y1－y0）a2（x0a2）2+（y0b2）2，同理可得DP=y0（x2－x0）b2+x0（y2－y0）a2（x0a2）2+（y0b2）2.在RtΔAPC中，tan∠APC=ACCP=x1（x1－x0）a2－y1（y1－y0）b2y0（x1－x0）b2+x0（y1－y0）a2；同理tan∠BPD=BDDP=x2（x2－x0）a2－y2（y2－y0）b2y0（x2－x0）b2+x0（y2－y0）a2.

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即x1=x2=x0，易得tan∠APC=a2y1b2x0，tan∠BPD=a2y2b2x0，由雙曲線的對(duì)稱性有y1=y2，所以tan∠APC=tan∠BPD，即∠APC=∠BPD，因?yàn)镕P垂直于直線m，于是∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分線性質(zhì)不難得到AFBF=APBP.

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，其斜率存在，設(shè)為k，于是tan∠APC=x1a2－y1（y1－y0）b2（x1－x0）y0b2+x0（y1－y0）a2（x1－x0）=x1a2－ky1b2y0b2+kx0a2，同理可得tan∠BPD=x2a2－ky2b2y0b2+kx0a2，又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在雙曲線上，于是x21a2－y21b2=1，x22a2－y22b2=1，兩式作差得（x1－x2）（x1+x2）a2－（y1－y2）（y1+y2）b2=0，化簡(jiǎn)整理得x1+x2a2－k（y1+y2）b2=0，即x1a2－ky1b2=－（x2a2－ky2b2），從而有x1a2－ky1b2=x2a2－ky2b2，所以tan∠APC=tan∠BPD，故∠APC=∠BPD，由FP垂直于直線m可得∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分線性質(zhì)不難得到AFBF=APBP. 綜上，AFBF=APBP成立.

對(duì)于直線l與雙曲線交于不同支的兩點(diǎn)，該結(jié)論同樣成立，此處不再贅述，留給感興趣的讀者自行證明. 上述性質(zhì)中F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零時(shí)，就是性質(zhì)2的結(jié)果，即它是性質(zhì)3的特殊情況.

3類(lèi)比探究

將上述性質(zhì)引申到橢圓和雙曲線中，可得到以下性質(zhì)：

性質(zhì)4已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F(xiàn)（x0，y0）為不在橢圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線m：x0xa2+y0yb2=1的垂線，垂足為P，則有AFBF=APBP.

性質(zhì)5已知拋物線C：y2=2px（p>0），F(xiàn)（x0，y0）為不在拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線m：p（x+x0）－yy0=1的垂線，垂足為P，則有AFBF=APBP.

證明：過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線m的垂線，垂足分別為C，D，如圖2所示，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則AC = p（x0 ?+ x1 ）-y0 y1 p2 + y0 2，又因y1 2 = 2px1 ，

代入上式得AC = y1 （y1 -y0 ）-p（x1 -x0 ）p2 + y0 2，同理有BD = y2 （y2 -y0 ）-p（x2 -x0 ）p2 + y0 2.因?yàn)橹本€FP與直線m垂直，且直線m的斜率為py0，所以直線FP的斜率為－y0p，從而直線FP的方程為y－y0=－y0p（x－x0），即y0x+py－py0－x0y0=0.又因?yàn)镕P∥AC∥BD，所以點(diǎn)A到直線FP的距離等于CP，即CP = p（y1 -y0 ） + y0 （x1 -x0 ）p2 + y0 2，同理可得DP = p（y2 -y0 ） + y0 （x2 -x0 ）p2 + y0 2.在RtΔAPC中，tan∠APC=ACCP=y1（y1－y0）－p（x1－x0）p（y1－y0）+y0（x1－x0）；同理有tan∠BPD=BDDP=y2（y2－y0）－p（x2－x0）p（y2－y0）+y0（x2－x0）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即x1=x2=x0，有tan∠APC=ACCP=y1p，同理有tan∠BPD=y2p，由拋物線的對(duì)稱性知y1=y2，所以tan∠APC=tan∠BPD，即∠APC=∠BPD，由FP垂直于直線m可得∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分線性質(zhì)易得到AFBF=APBP.

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，其斜率存在，設(shè)為k，于是tan∠APC=y1·y1－y0x1－x0－pp·y1－y0x1－x0+y0=ky1－pkp+y0，同理可得tan∠BPD=ky2－pkp+y0，又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線上，于是y1 2 = 2px1 ，y2 2 = 2px2 ，兩式作差得（y1－y2）（y1+y2）=2p（x1－x2），化簡(jiǎn)整理得k（y1+y2）=2p，即ky1－p=p－ky2，從而ky1－p=p－ky2，所以tan∠APC=tan∠BPD，故有∠APC=∠BPD，由FP垂直于直線m知∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分線性質(zhì)易得到AFBF=APBP. 綜上所述，AFBF=APBP成立.

上述結(jié)論中，直線m實(shí)際是點(diǎn)F關(guān)于圓錐曲線對(duì)應(yīng)的極線，因而P點(diǎn)本質(zhì)上是過(guò)F點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)極線垂直的垂線與極線的交點(diǎn)，因此本文中的性質(zhì)3-5可以進(jìn)一步統(tǒng)一概括為：

性質(zhì)6已知圓錐曲線C，點(diǎn)F是不在曲線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作其對(duì)應(yīng)的極線m的垂線，垂足為P，則有AFBF=APBP.

極點(diǎn)與極線是解析幾何中的一條重要性質(zhì)，它在圓錐曲線問(wèn)題的探究中具有十分重要的應(yīng)用，本文對(duì)這一線段比值問(wèn)題的探究很好地佐證了這一點(diǎn)［2］. 近些年很多高考題和模擬試題都以極點(diǎn)、極線相關(guān)結(jié)論作為命題的落腳點(diǎn)，在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的極點(diǎn)極線理論不僅能快速高效地解決與之相關(guān)的試題，還能有助于學(xué)生更深刻、更全面的把握試題的本質(zhì)［3］.

參考文獻(xiàn)

［1］ 閆偉.解析試題背景 探究數(shù)學(xué)本質(zhì) 發(fā)展核心素養(yǎng)——2021年福建賽區(qū)預(yù)賽試題第12題的深度思考［J］.理科考試研究.2022（9）上：7-10.

［2］ 閆偉.運(yùn)用GeoGebra軟件助力可視化探究教學(xué)——以圓錐曲線中的一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021.（3）13-16.

［3］ 閆偉.借助GeoGebra對(duì)圓錐曲線中一類(lèi)定直線問(wèn)題的探究及拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2020（9）：41-42.