與圓錐曲線焦點弦有關的一組性質

易丹

圓錐曲線的焦點弦是圓錐曲線中的重要元素，圓錐曲線存在與焦點弦有關的眾多性質，筆者通過研究得到了下列性質，與各位同仁分享.

性質1設點F為有心圓錐曲線（橢圓或雙曲線，下同）C的一個焦點， C的離心率為e，過點F且斜率為k的直線l與C交于P，Q兩點（C為雙曲線時，P，Q兩點均在與點F對應的一支圖象上），設焦點弦PQ的中垂線與兩焦點所在直線交于點M，則 2MF=ePQ .

證明： （1）當圓錐曲線C為雙曲線時，設雙曲線方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），F（c，0），則直線PQ的方程為y=k（x－c）.

聯立直線與雙曲線方程x2a2－y2b2=1，

y=k（x－c）， 整理得（b2－a2k2）x2+2a2k2cx－a2（k2c2+b2）=0，由韋達定理得 x1+x2=－2a2k2cb2－a2k2，x1x2=－a2（k2c2+b2）b2－a2k2，代入化簡則PQ=1+k2x1－x2=（1+k2）［（x1+x2）2－4x1x2］=2ab2（1+k2）b2－a2k2.

設弦PQ的中點為N（xN，yN），則，

xN=a2k2cb2－a2k2，yN=k（－a2k2cb2－a2k2－c）=－b2kcb2－a2k2，即點N（a2k2cb2－a2k2，－b2kcb2－a2k2），所以直線MN的方程為y+b2kcb2－a2k2=－1k（x－a2k2cb2－a2k2）.

令y=0，得xM=－k2c3b2－a2k2，所以MF=c+k2c3b2－a2k2=b2c－a2k2c+k2c3b2－a2k2=（k2+1）b2cb2－a2k2，所以MFPQ=（k2+1）b2cb2－a2k22ab2（1+k2）b2－a2k2=（k2+1）b2c2ab2（1+k2）=e2，即2MF=ePQ.

（2）當圓錐曲線C為橢圓時，證明過程與C為雙曲線時類似，此處不再贅述.

性質2設點F1，F2為有心圓錐曲線C的左、右焦點， C的離心率為e，過點F2直線l與C交于M，N兩點（C為雙曲線時，M，N兩點均在與點F2對應的一支圖象上），記過C的對稱中心且平行于直線l的弦為AB，則AB2=2aMN.

證明：（1）當圓錐曲線C為橢圓時， 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）.當直線AB與直線l都不存在斜率時，可得 AB=2b，MN=2b2a，顯然AB2=2aMN.當直線AB與直線l都存在斜率時，則直線MN的方程為y=k（x－c），直線AB的方程為y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），聯立直線與橢圓方程x2a2+y2b2=1，

y=k（x－c）， 整理得（b2+a2k2）x2－2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，（*）

由韋達定理得x1+x2=2a2k2cb2+a2k2，x1x2=a2（k2c2－b2）b2+a2k2，則

MN=1+k2x1－x2=（1+k2）［（x1+x2）2－4x1x2］=2ab2（1+k2）b2+a2k2 ，在（*）式中，令c=0得x3+x4=0，x3x4=－a2b2b2+a2k2，所以AB2=4ab2（1+k2）b2+a2k2=2aMN.

（2）當圓錐曲線C為雙曲線時，證明過程與C為橢圓時類似，此處不再贅述.

性質3設點F1，F2為有心圓錐曲線C1的左、右焦點， C1的離心率為e，拋物線C2的頂點是C1的中心，焦點為F2，過F2不垂直于C1對稱軸的直線l被C1截得弦為AD，被C2截得弦為BC，記弦AD的中點為M，弦BC的中點為N，則BCMF2ADNF2=e.

證明：（1）當圓錐曲線C1為橢圓時， 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），記a2=b2+c2，則拋物線C2的方程為y2=2cx，設直線l的方程為x=my+c（m≠0），A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），當直線AB與直線l都不存在斜率時，可得 AB=2b，MN=2b2a，顯然AB2=2aMN.

當直線AB與直線l都存在斜率時，聯立x2a2+y2b2=1，

x=my+c， 整理得（a2+m2b2）y2－2mb2cy+b4=0，由韋達定理得y1+y2=－2mb2ca2+m2b2，y1y2=－b4a2+m2b2，從而

yM=－mb2ca2+m2b2，所以MF2=1+m2yM=1+m2mb2ca2+m2b2，AD=1+m2y1－y2

=2（1+m2）b2aa2+m2b2.

聯立y2=2cx，

x=my+c 得y2－4mcy－4c2=0，則y3+y4=4mc，y3y4=－4c2，所以yN=2mc，NF2=1+m2yN=1+m22mc，BC=1+m2y3－y4=1+m2（4mc）2+16c2=4（1+m2）c.

所以BCMF2ADNF2=4（1+m2）c1+m2mb2ca2+m2b22（1+m2）b2aa2+m2b21+m22mc=ca=e.

（2）當C1為雙曲線時，證明過程與C1為橢圓時類似，此處不再贅述.

性質4已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0），雙曲線C2：x2m2－y2n2=1（m>0，n>0），設C1，C2的左、右焦點均為點F1，F2， C1，C2的離心率分別為e1，e2，過F2不垂直于C1對稱軸的直線l被C1截得弦為AD，被C2截得弦為BC，記弦AD的中點為M，弦BC的中點為N，則BCMF2ADNF2=e1e2.

證明過程與性質3類似，本文從略.