2023年高考數(shù)學(xué)天津卷壓軸題的另證

萬祺

2023年高考天津卷的導(dǎo)數(shù)題一如既往的獨(dú)具風(fēng)格，耐人尋味.針對(duì)此題最后一問，本文將另辟蹊徑，探尋他解.

試題呈現(xiàn)已知f（x）=（1x+12）ln（x+1）.

（1）求曲線f（x）在x=2處切線的斜率；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，證明：f（x）>1；

（3）證明：56

解析：（1）略；（2）因?yàn)閒（x）>1ln（x+1）>2xx+2，令g（x）=ln（1+x）－2xx+2，由g′（x）=x2（1+x）（x+2）2>0，故g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=0，故原不等式成立.

（3）先證右邊：記an=ln（n！）－（n+12）lnn+n，注意到a1=1，下證an≤a1.

因?yàn)閍n+1－an=1－（n+12）ln（1+1n），結(jié)合第（2）小題結(jié)論，取x=1n可知（n+12）ln（1+1n）>1，故an+1－an<0，即{an}遞減，從而對(duì)n∈N*，an≤a1=1成立.

再證左邊：即證ln（n！）>（n+12）lnn－n+56成立.

考慮函數(shù)h（x）=lnx的圖象，如圖1.取A（k，0），

B（k－12，0），C（k+12，0），分別過A，B，C作x軸垂線交函數(shù)圖象于E，D，F(xiàn)，過E作x軸平行線

交BD，CF于G，H，以E為切點(diǎn)，作曲線的切線交BD，CF于P，Q兩點(diǎn)，則有SΔGPE=SΔHQE，從而S梯形BCQP=S矩形BCHG=lnk，曲邊梯形BCFD的面積S曲邊BCFD=∫k + 12k－12lnxdx，注意到h″（x）<0，故函數(shù)h（x）=lnx圖象上凸遞增，從而S梯形BCQP>S曲邊BCFD，即lnk > ∫k + 12k－12lnxdx = xlnx-xk + 12k－12，

故lnk>（k+12）ln（k+12）－（k+12）－（k－12）ln（k－12）－（k－12）（該不等式亦可通過求導(dǎo)證明）.進(jìn)一步對(duì)上式求和得∑nk=1lnk>∑nk=1（k+12）ln（k+12）－（k－12）ln（k－12）－n，即ln（n！）>（n+12）ln（n+12）－12ln12－n.欲證ln（n！）>（n+12）lnn－n+56，只需（n+12）ln（n+12）－12ln12－n>（n+12）lnn－n+56即可，即證（n+12）ln（1+12n）+12ln2－56>0.注意到lnx>1－1x（x≠1），故ln（1+12n）>1－11+12n=12n+1，故（n+12）ln（1+12n）>12.另一方面，在第（2）小題結(jié)論中取x=1知ln2>23，從而（n+12）ln（1+12n）+12ln2－56>12+13－56=0得證.

至此，我們發(fā)現(xiàn)通過積分放縮，以及對(duì)ln2的粗糙估計(jì)，恰好可以得到an的下界56，或許這也是命題者的意圖之一.事實(shí)上，本題{an}遞減，為了求an下界，需考慮n→+∞的情況，而由Stirling公式可知n→+∞時(shí)，有n！～2πnnen，取對(duì)數(shù)得limn→+∞ln（n！）－ln2πn－n（lnn－1）=0，即limn→+∞ln（n！）－（n+12）lnn+n=ln2π≈0.9189>56.

由此可見，此處的56只是一個(gè)粗略的下界，為了得到更精細(xì)的下界，可構(gòu)造一些精度較高的不等式加以證明，此處不再贅述.

參考文獻(xiàn)

［1］波利亞.怎樣解題［M］.徐泓，馮承天譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.