動力學發展小史

摘要：動力學是推動物理學前進的核心，闡述其自亞里士多德以迄牛頓的幾個發展階段，以概括牛頓革命的淵源和背景，并彰顯其作為現代科學典范的《自然哲學之數學原理》正是一部動力學著作。

關鍵詞：動力學亞里士多德開普勒伽利略牛頓

中圖分類號：N09∶O4-09

文獻標識碼：A

現代科學的核心是物理學，而物理學的核心則是動力學，所以概括一下動力學自古至今的發展饒有意義，因為它本身就是科學整體能夠不斷前進的根基。本文以牛頓革命的淵源和背景為主，至于其后的發展則非所能及了。

如所周知，希臘的自然哲學亦即西方古代科學是以柏拉圖（Plato）和亞里士多德（Aristotle）為大宗師。柏拉圖深受畢達哥拉斯（Pythagoras）教派神秘主義影響，追求永恒的“理念世界”，那以幾何學與天文學為典范，而“圓”作為最完美的曲線則是他用以結合這兩者的基本觀念，這原則經過其大弟子尤多索斯（Eudoxus of Cnidus）具體應用于天象之后影響深遠，一直延續到托勒密（Ptolemy）甚至哥白尼（Copernicus）①。至于他的大弟子亞里士多德則出身醫藥世家，所注重的是地面現象，包括物體運動及其成因的探究，這在他的《物理學》中有大量討論。在今日看來，他的見解幾乎無一不謬，然而，毫無疑問，那仍然就是近代物理學的開端。換而言之，在西方科學傳統的源頭，天文學和物理學是研究自然現象的兩條迥然不同途徑，前者立足于數學特別是幾何學，后者則依賴以自然語言為媒介的推理，直至中古方才引入數學工具。而近代科學的出現，則正好以這兩條脈絡的逐步融會為轉折點。

一從古代至中古

在西方科學傳統中，柏拉圖和亞里士多德這師徒二人的枯榮沉浮是微妙而反復的。在羅馬時代，由于新畢達哥拉斯學派和新柏拉圖學派的蓬勃發展，柏拉圖是顯學，而亞里士多德則顯得頗為消沉，只是為一些注釋家所注意。但到了中古，則從伊斯蘭以至拉丁歐洲學者，都奉亞里士多德為大宗師，甚至基督教最權威的神學家阿奎那（Thomas Aquinas）也都是以他的方法和學說為基礎。然而，從文藝復興時代開始，以其《對話錄》之翻譯和出版（1482）為契機，柏拉圖的地位再度急速上揚。這樣，從16世紀中葉開始，亞里士多德在巴黎、意大利和英國都飽受攻擊，到17世紀，笛卡兒更要取而代之了。這些升降變化很值得注意，因為它和古代天文學、數學之在中古消沉，然后在十五六世紀再度發揚是有密切關系的。

1亞里士多德的發軔

無可置疑，亞里士多德《物理學》一書是西方科學中的動力學之開端：它宣稱“我們因此必須了解運動是什么，倘若不然，那么大自然也就無從得知”；又提出物體的運動可以分為“自然”與“非自然”兩種，而就后者而言，則物體的速度與外來推動力成正比，與阻力成反比，等等分別見Aristotle， Physics， Ch3， 7 & 8。這些觀念現在看來十分幼稚，但其實也曾經過縝密思考，只是走錯了方向。亞里士多德好言辭，雄辯滔滔，性情不近數學，所以無法仔細推斷這些貌似簡單而自然的規律有些什么后果。到了亞歷山大學宮時期，阿基米得（Archimedes）正好相反：他是一位極其嚴謹的幾何學家，所以能夠將之應用于靜力學，而作出直至近代仍然相沿不替的巨大貢獻。至于在動力學方面，亞歷山大也有個強大，且可以稱為“機械動力學”的傳統：它從亞里士多德的徒孫斯特拉托（Strato）開始，通過特西比烏（Ctesibius）和費隆（Philon）傳下來，以迄羅馬時代的赫倫（Heron）集大成。但他們所發展的只是以實用主的機械裝置，例如投石機、抽水泵、以蒸汽推動的旋子等等，在理論上則并無建樹。其中值得一提的，也許就是他們根據古代原子觀念來討論真空的可能性，以及認為通過機械方法可以產生大體積真空這兩點。這傳統的影響一直延續到17世紀的帕斯卡（Pascal）、蓋里克（Guerick）、博伊爾（Robert Boyle）。

然而，在羅馬帝國末期，亞歷山大還出現了一位亞里士多德注釋家菲洛波努斯（John Philoponus，約490—570）。他生當新柏拉圖學派在雅典短暫復興的時期（420—560），深受此派五六位末代學者的影響，其后自立門戶，發展成亞里士多德批判家，其重點除了《論靈魂》之外集中于《物理學》中的動力學，特別是提出“拋射體在離開拋擲者之手后，何以能夠違反重物應當下墜的本性，而會繼續上升一段時間方才下墜”這個尖銳問題，并且認為：答案不可能是亞里士多德所宣稱，拋射體周圍的空氣繼續在推動它，而應該是由于投擲者賦予拋射體特殊的運動能力，即所謂“賦能”（impressed virtue）。這就是亞里士多德之后探討動力學現象的第一步亞里士多德原說見Physics， iv， 8， 215a15; viii， 10， 267a3-10，它在后世一直為學者所注意和爭論，例如伽利略在帕多瓦大學的老師博納米奇（Francesco Buonamici）對此就有長篇討論，詳見參考文獻［2］，pp7—20。

2中古的探究

從公元800年開始，伊斯蘭文明大力推動古希臘科學文獻的翻譯，從而將希臘科學文明的整體移植過去，并在此基礎上發展了嶄新的伊斯蘭科學。此后在波斯出現了伊斯蘭最偉大的哲學家和醫學家阿維森納（Avicenna， 980—1037）。他注意到菲洛波努斯所提出的問題和答案，并且進一步提出了三點新觀念：倘若沒有阻礙（例如在真空中），則運動可以無限持續；物體在同樣能力驅動下，速度與重量成反比；移動中的物體由于受到空氣阻礙而停頓下來時，其能夠行經的距離與重量成反比。這樣，可以說，他已經意識到“惰性”（inertia）這個觀念了（［3］，pp84—107）。

到了12世紀，歐洲又出現了將科學從伊斯蘭文明移植到歐陸的所謂“拉丁翻譯運動”，這就是中古大學、經院哲學（Scholasticism）和中古科學三者同時在13世紀興起的緣由，而其背后的主要推動力正是亞里士多德哲學，它的影響因此達到頂峰。其時光學特別是彩虹研最突出，但力學研究也同樣出現受到刺激。在動力學方面，牛津大學的布拉沃丁（Thomas Bradwardine，1295—1349）提出《運動速度比例論》（約1330）。他將亞里士多德的核心動力理論即V∝F/R （其中V為速度，F為作用力，R為阻力）巧妙地更改為相當于V∝log（F/R）的形式，由是維持了亞氏“速度與力”成比例的形式，同時也得到了作用力減低至與阻力相同時速度趨零那樣符合常識的結果此問題的原文在Aristotle， Physics vii， 249b26-250a24; 以下有關中古運動學和動力學的討論，見參考文獻［4］，pp294—307；以及前引［1］，頁430—441。與他同時的巴黎大學教授布里丹（Jean Buridan，約1295—1358）則通過馬基雅（Franciscus de Marchia）而獲悉阿森維納有關拋射體可以獲得“賦能”的觀念，而在其所著《物理學問難》一書中改稱之為“沖能”（impetus），并且詳細討論其作用，包括：（1）它是由拋射體的“多少”（即重量）與速度共同決定；（2）倘若沒有其他力量（如重力）起作用，則它可以維持物體的速度不變；（3）物體下墜時重力令其沖能不斷增加，故此它的速度亦增加，等等。因此，他心目中的“沖能”已經接近于現代的“動量”（momentum）觀念了。

與此同時，“運動學”（kinetics）也在發展。牛津摩爾頓學院（Merton College）的鄧布頓（John of Dumbleton，約1310—1349）和斯韋恩斯赫（Richard Swineshead）等 “牛津計算家”提出了“等速”“加速”“等加速”“不等加速”等四不同運動的定義；想到以圖解來描述這些運動的方法；提出了“摩爾頓規則”，即“以等加速運動所行經的距離，等于以在時段之半所達速度行經整個時段之距離”；甚至還將這些觀念、方法移用于諸如溫度、濕度、密度等其他物理量的變化。而布里丹的弟子奧雷姆（Nicole Oresme，約1320—1382）則在《性質與運動圖形論》一書中運用圖解來描繪在等加速運動中速度（稱為“強度”，以縱軸標度）如何依隨時間（稱為“延伸”，以橫軸標度）變化，從而以幾何方法證明上述“摩爾頓規則”——當然，他是用了速度線與時間橫軸之間的面積作為運動體所行經距離這一合理假設的。此書在后世廣為流傳，至十五六世紀更印刷出版，影響極大（［5］，pp57—59）。

3文藝復興時期

14世紀的動力學和運動學探索既反映亞里士多德的巨大影響，也可能與伊斯蘭計算傳統有關。無論如何，它并沒有進一步發展的基礎，而且進程不久即為橫掃歐陸的瘟疫打斷。另一方面，文藝復興運動此時已經悄然在意大利北部興起，一個世紀之后它的影響已極其龐大，最重要的表現是通過翻譯柏拉圖作品（1462）而掀起對他的熱潮，這轉而導致大量古希臘數學典籍特別是阿基米得和阿波羅尼亞斯作品的翻譯潮。與此同時，巴黎大學的蘭姆（Peter Ramus）和費拉拉大學的帕特利茲（Francesca Patrizzi）更舉起反對亞里士多德的大纛，從而動搖他作為歐洲學術重心的地位。

在此背景下，歐洲于1543年前后同時出現了天文學、數學和解剖學等三方面的革命性突破。因此，很自然地，有不少同時代的數學家諸如達文西（Leonardo da Vinci，1452—1519）、泰特利亞（Nicolo Tartaglia，1500—1557）、卡爾丹諾（Gerolamo Cardano，1501—1576）、本尼迪提（Giambattista Benedetti，1530—1590）、博納米奇（Francesco Buonamici，1533—1603）等紛紛接續牛津和巴黎傳統，深入研究動力問題。所以，到17世紀之初，動力學和運動學研究已經累積四百年以上歷史了。

二近代的醞釀

16、17世紀之交是前述西方科學兩條軸線發生大轉折，然后開始融合的時期。在天文學方面，古代觀念受到了三波巨大沖擊：首先，哥白尼于1543年在《天體運行論》中提出日心說，根據種種證據宣稱，地球和其他行星一樣，都是繞日而行；其次，開普勒于1609年發表《新天文學》，在其中根據第谷的精密觀測判定，火星軌跡實為橢圓而非圓形；最后，伽利略于1610年發表《星際信使》，描繪以望遠鏡觀察月球所見形象，顯示它的表面并非圓滿光滑，而是和地面相仿佛，都有山脈平原。這些驚人的新發現使得柏拉圖和亞里士多德所建立的牢固觀念，即天地迥然相異，天體運動以圓為基礎等等徹底破裂。很自然地，此時科學家在動力學和運動學方面也不再糾纏于解釋和修補舊觀念，而轉向尋求全新的法則。

1開普勒的先見之明

開普勒的主要貢獻是提出行星運動三定律（第一、二定律在《新天文學》，第三定律在1618年出版的《宇宙之和諧》），它們是嚴謹的現象性規律，日后成為牛頓理論的出發點和實證基礎。然而，他其實并不以歸納現象為滿足，而還要執意追求現象背后的原因，這是他和托勒密乃至哥白尼的巨大分別。所以，在提出第一、第二定律的《新天文學》中，他堅持要追問，有何證據顯示哥白尼的日心說的確可以成立，以及此證據背后的根本原因為何。對于第一問，則當時所有行星的運轉速度都隨著日距減低已是眾所周知（雖然他的第三定律尚未發表），這為日心說提供了客觀的有力支持。

但既然如此，則到底是何種力量能夠驅使眾行星環繞日球運行，便自然地成為主要問題。其時吉爾伯特（William Gilbert）于1600年出版的《磁論》（De Magnete）風行已久，它有力地論證，地球本身就是一個球形的大磁石。故此開普勒在《新天文學》中提出：“結論可能是：地球是個磁力體，故能以其無形力量（species）驅動月球；太陽同樣能發出無形力量來驅動行星，所以太陽也是個磁力體。”（［7］，Ch32—34，pp372—391，文中引句在p391）他這個猜想雖然不對，然而卻是首次將動力學觀念注入向來屬于幾何學范疇的天文學上去，也就是興起了天文現象雖然像是永恒不變，卻也同樣可以追究原因，那樣的想法。在這個意義上，他和伽利略一樣，都是打破亞里士多德天上與地下嚴格分野的先鋒（［8］，pp197—214；［9］，頁238—252）。

2伽利略的數學轉向

伽利略對于的物理學研究開始于1590年前后，其主要方向是以阿基米得的靜力學為楷模，把數學應用到物體運動的問題上去，而不再如亞里士多德那樣，依賴言辭推理。他最初嘗試引入前述“賦能”觀念來描述落體運動，但不成功，只留下未曾出版的手稿《論運動》（De Motu）。到1604年他首次獲得突破，在給數學家朋友薩爾皮（Paolo Sarpi）的函件中宣稱，他雖然沒有基本原則可依循，但發現“自然運動（指墜落體）所行經距離是與所歷時間平方成比例”；但跟著又說落體“速度的增加是與行經距離成比例”，那自然是錯誤的（［2］，pp28—38， 95—96）。然而，到1609年，他終于將整個問題想通，在一份手稿中詳細論證，落體加速度是固定，而“速度的強度與時間之延伸成比例”的結論見［2］， pp95—96此手稿即為其晚年出版的《兩種新科學》部分原稿，但年代上亦有認為是作于1617—1618年間者，其詳細論證與年代斷定的根據見［2］，p124， n137。但那年碰巧望遠鏡出現，他開始制造并用以觀測天文之始，此后他的運動學研究一再為他在天文學上的發現、爭論，以及由于宣揚日心說而與教會的兩次沖突所打斷，直至1633年赴教廷受審，被勒令幽居靜養之后，才能夠全力完成第二部畢生力作《兩種新科學》此書大約于1634—1635年間完成，1638年出版。［10］，系統地論述他在動力學上的大發現。

此書前半討論靜力學與物性學；重要的是后半（即第三和第四日），它分別討論等速、“自然”加速，和拋射體等三種運動。它最大的特點是：完全舍棄以言辭、邏輯來討論運動現象，改而采取阿基米得的幾何論證方式。不過，由于題材是物理而非數學，他并不以公理、公設為基礎，而是從自然、合理的角度，來提出他的基本動力學原理：在重力作用下的“自然”加速運動就是“等加速”運動但他對于“重力”究竟是什么這個基本問題則完全不討論。當時吉爾伯特（William Gilbert）的《磁論》，特別是地球本身即為一大磁石的觀點已經出版，開普勒則認為天體之間的引力與磁力有關，而伽利略對于兩人的理論都極其欽佩。其所以未曾從此角度討論重力，當是因為磁力的數學規則尚不可知，所以無從應用（［2］， pp187—188）。跟著，通過數學，他推斷等加速運動的各種性質，例如自靜止開始，自由墮體的速度與所經時間成比例，其行經距離與時間平方成比例，等等；從此他更進一步，推斷物體在斜板滑落，以及滑落后以終速在平板上繼續滑行，或者在另一斜板之上滑動上升的各種狀況在這方面他發現了許多有趣的定理，例如物體墜落距離A之后倘若以終速在平面上滑行距離B，則統共所需時間在B=2A時為最短（［10］， Theorem XVIII， pp223—224）；但他猜想不同高度兩點之間的（需時）最短滑落曲線為圓弧卻是錯誤的，見［10］，p239及譯者注。這樣，他已經隱隱意識到能量守恒的觀念了。

在當時觀念中，運動體從靜止開始，在無數極細微的時間段內累積無數極細微的速度增加，而在一定時間后獲得一定速度，那是絕不可想象的。事實上，這正就是古代 “芝諾悖論”否定運動之可能性的基本原因。為此，在整個論述之前，他根據各種實驗為此作辯護，其中最有名的，當是通過重物墜落來將木樁敲入泥土的實驗，藉以證明在墜落距離為極微小時其“沖力”（impetus）亦即速度接近于零（［10］，pp160—168）。他的兩位弟子卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）和托里拆利（Evangelista Torricelli）在微積分學上各有重要貢獻，其原因當也與得知他在這方面的深入考慮有關。

最后，此書的“第四日”部分還徹底解決了自古以來困惑許多學者的拋射體問題。關鍵在于作者意識到，拋射體在水平和垂直兩個方向的運動分別是等速和等加速的，而且兩者互不干擾，所以它們可以分別處理然后結合起來；而且，由于阿波隆尼亞斯的《圓錐曲線》當時已經出版，所以就得用以證明，拋射體的軌跡是拋物線，以及進一步制表顯示，以不同仰角但固定速度發射的拋物體，其軌跡所達到的不同高度和距離。歸根究底，這部分工作就是結合在直交方向的等速和等加速運動的結果有關軌跡為拋物線之證明見參考文獻［10］，pp245—250；至于將同樣初速的拋射體在不同發射仰角所會達到的高度和距離列表則見［10］，pp281—285。

3笛卡兒的雄心

伽利略以運用阿基米得精神來解決具體運動問題為滿足，比他晚三十多年的笛卡兒雄心卻大得多：他要取代亞里士多德，也就是另起爐灶，提出整套嶄新的所謂“機械宇宙觀”，來解釋上天下地所有現象，包括天體之間的相互吸引和地上物體的運動。這個體系見之于他在1642年發表的《哲學原理》，其中最重要的觀念是：宇宙萬物都是由不可見微粒構成，而只有通過直接碰撞，物體之間方才可能產生相互作用。因此太陽的旋轉帶動其周圍的以太（Aether）微粒，由是產生巨大的宇宙漩渦，行星受其裹挾，故此不停運轉；至于地上萬物之所以感受重力而趨向地心，也是由于受到這些天際微粒的向下沖擊所致，等等（［11］，pp96—108，190—194）。他雖然在數學和光學上分別有重要的原創性發現，即解析幾何學和折射的正弦定律，但整體學術精神卻酷似亞里士多德，因為上述理論都是通過文辭推理來建構，完全沒有數學或者量化觀測的支持。這比之伽利略、開普勒甚至哥白尼，都可謂大大倒退。然而，《哲學原理》所描繪的宇宙結構和圖像能夠訴諸人的直覺，而且推理清晰、簡明，所以不旋踵就為學界接受和宗奉，將近一個世紀之久。

但他也致力于觀念分析，所以對動力學發展仍然有重要貢獻，其中最重要的是明確宣稱“我不接受劇烈和自然運動有任何分別”，提出“功”（work）的觀念，以及將功和“力”（force）分辨開來，等等詳細討論見參考文獻［12］， Ch2，文中的引言來自他1640年3月11日致梅森的信札，轉引自［12］，p56。但其中最重要的，當還是他首次明確地提出“惰性”（inertia）觀念：“自然的第一定律：就其自身而言，每一事物恒留存于相同狀態；故此一旦運動，則必然繼續運動。”見參考文獻［11］， p59；并且他在下文宣稱：除非由于外在原因，不動者恒不動。如科雷所著意指出，雖然這個原理已經隱含于此書六年之前發表的伽利略《兩種新科學》中，而其間更曾有多位學者間接提及，但它畢竟是初次被鄭重其事地作為原理提出來討論。所以，從今日看來，雖然笛卡兒的主要貢獻是在哲學，但他在動力學上仍然是有開拓之功的（［2］，p129）。

4惠更斯的發展

笛卡兒后半生在荷蘭居住、工作，對當地數理科學的發展影響很大，惠更斯（Christian Huygens， 1629—1695）便是在其中成長。然而，他的學風卻與伽利略銜接，即從簡單明了的原理出發，通過數學來推斷物理現象，然后與實際觀測比較。他是天才：在1656年完成有關物體碰撞的研究；在1656—1657年間發現單擺周期；在1659年完成有關離心力的論文。可惜的是，他有關碰撞的論文遲至1668年方才發表，《懸擺鐘》一書則遲至1673年方才出版，而關于離心力的發現僅在書后以不加證明的附錄形式出現［13］。因此，牛頓在其“神奇之年”（1665—1666）對他這些工作完全不知不曉——當然，牛頓在那兩年間的工作同樣是束之高閣，沒有及時發表的。

《懸擺鐘》在動力學原理上跟隨伽利略，但包含許多新發現和推論：（1）在小幅度擺動中，長度為L的單擺之周期T相當于我們熟知的公式2π（2L/g）1/2 —— 雖然他并沒有提出“重力加速度g”的觀念或者直接測定它這是因為惠更斯誤以為重力加速度無論在何地都相同，所以致力于測定周期為1秒的擺長，以及靜止落體在1秒之間的墜落距離。根據他測定的數據，可以推斷g相當于981米/秒2。詳細說明見參考文獻［13］，ppxvi—xix ；（2）在有關物體沿斜板或曲面滑落或上升的諸多推論中，它已經涉及位能、動能、能量守恒等觀念；（3）在書后附錄中提出：作圓周運動的物體所受離心力與其運轉速度平方成正比，與圓周半徑成反比，但未予證明。除此之外，它對于復擺、慣性矩、滾輪線等還有很多重要發現，這些都與他所發明的，以頰板（cheek）連續改變單擺長度的所謂“滾輪擺”有關，而由于對滾輪線的深入研究，他又得到了諸多數學上的重要結果。

三牛頓革命

牛頓的《自然哲學之數學原理》基本上是一部動力學著作，它掀起了自歐多克索斯（Eudoxus of Cndus）以來的再一次科學革命，開創了現代科學典范。需要強調的是：在漫長一生之中，他雖然不斷思考這方面問題，但全力投入這方面工作的時間并不多，大體上只有三段，全部加起來還不及十年：（1）自“神奇之年”以迄升任“正院士”期間所作思考（約1665—1668）；（2）回應兩位學者分別有關天體運動以及彗星性質的來函（1679—1680）；（3）由于哈雷（Edmond Halley）在1684年登門，直接求教有關天體運動問題，引發他全力轉向這方面的研究，經過日以繼夜埋頭苦干，最終在1687年完成畢生大業，并由于哈雷全力協助，得以同年出版《原理》前后一共有1687， 1713和1726等三個不同版本，其中由羅杰·科特斯（Roger Cotes）協助完成的第二版有大量修訂、補充、改正。此書的英譯本有兩個版本，最完善的是附有長篇導言的新版，參見［14］。 至于牛頓的傳記則汗牛充棟，各有特點，比較最詳盡而考證嚴密的見［15］。

1神思睿發之年

牛頓在劍橋的本科年代踽踽獨行，罕有師友交往，但涉獵極廣，當時的科學新作幾乎無所不窺，因此在高年級時開始獲得導師巴洛（Barrow）賞識和提拔。如所周知，他畢業后因瘟疫居家兩年（1665—1666），其間神思睿發，在數學、光學和力學等三方面都獲得了驚人的創新和發現。

在力學上，他首先考慮兩個不同重量物體以不同速度相互碰撞之后所會出現的后果。此問題笛卡兒在《哲學原理》中雖有討論但未能圓滿解決，而惠更斯的相關論文則遲至1668年方才發表。牛頓則通過改以兩物體的重心為參照點之法將所有不同情況都一舉解決，并且連帶得到了在碰撞中“力與反作用力相等”的結果，亦即運動第三定律。其次，他考慮物體在圓周運動中所感受離心力的問題，其途徑基本上是將其軌跡以多邊形替代，那么運動體便相當于在其軌跡的外接圓的接觸點上被多次反彈，由是可以推斷，其所感受之力與 v2/r 成比例，其中v是運轉速度，r是圓半徑。由此，他更進一步，證明地面萬物由于地球自轉而感受的離心力遠遠低于重力，約為其03%，從而解除了傳統上否定地球自轉的一個主要理由。這些同樣是惠更斯首先發現，但很晚方才發表。

但牛頓天馬行空的天才則表現于，他竟然能夠進一步將上述結果應用到一個最重大的天文問題上去。從月球繞地運轉周期以及月地之間距離，他算出了月球應該感受到的離心力，并將之與地面重力比較，發覺后者大約是前者的4000倍；跟著，由于月球軌道偏心率極小，可以視為圓形，所以將開普勒第三定律（行星軌道的直徑三次方與周期平方成比例）與以上離心力的公式結合，便立刻可以得到“吸引月球在圍繞地球的圓形軌道上運行的力是與距離平方成反比”的結果。而且，這結果與實際觀測頗為接近，因為月地距離約為地球半徑60倍，所以地面感受的吸引力（亦即重力）約為月球所感受者的602 =3600倍，與前述它所感受的離心力只相差10%。這樣，他就通過結合兩個最新發現的理論（離心力公式與開普勒第三律），而得到萬有引力公式的雛形，并且用僅有的幾個實測數據，為它得到初步的證驗。而且，據說他甚至還對于不同行星所感受的太陽引力作出比較。這樣，在弱冠之年，他對支配天體運行的力量已經做出雖然粗略，但相當全面和有實證根據的研究了牛頓在出版《原理》之前的動力學工作詳細研究見參考文獻［16］。該書第一部分是討論，第二部分是注釋和相關原始文獻及其翻譯（若原文為拉丁文），這些文獻主要記載在他的《草稿》筆記本（Waste Book）中。有關力學者見上書PtII， Ch2；相關綜述見［15］， pp144—155。

2胡克的競爭

牛頓個性孤僻，自尊心強，而興趣又極其廣泛，所以上面這許多成果都束之高閣，沒有發表，后來在老師巴洛的一再催促下，方才在17世紀70年代開始與皇家學會來往，但只維持了數年。這樣，一直到17世紀80年代，情況才再度改變。

改變起于皇家學會的實驗主任胡克（Robert Hook）：他以發明顯微鏡和出版《顯微圖錄》（1665）知名，曾經批判牛頓1672年在皇家學會發表的光學論文而令其極度不快，甚至斷絕通訊。但此時伽利略、開普勒和笛卡兒的工作已經廣為傳播，惠更斯1673年出版《懸擺鐘》，在其附錄宣布了（未加證明的）離心力公式，導致天體運動的研究風起云涌。因此胡克在1674年發表演講，提出天體彼此之間和對自身都有吸引力，其本來的直線運動會由于此吸引力而變為曲線，而吸引力會在距離增加時減弱等構想，此講在1679年出版。當時他已經繼奧登堡（Henry Oldenberg）之后出任皇家學會秘書，亟需與各方學者聯系，所以去信給牛頓示好，并提出上述構想請予評論。此后的來往細節毋庸細表，重要的是，有證據顯示，這卻刺激牛頓于1680年初完成一份手稿，在其中證明了兩個重要結果：（1）開普勒行星運行第一定律；（2）倘若行星依循日球位于其焦點之一的橢圓軌道運行，則其在軌道上每點所受之吸引力都是指向日球，而且與日距平方成反比。這是首次出現“橢圓軌道” 與距離平方成反比之力相關的論證。換而言之，牛頓已經走到其畢生巨著《原理》的起點上了。然而，他行事飄忽不定，所以既沒有將此稿內容回復胡克，也沒有作進一步探討，而是束之高閣，甚至連日期也沒有清楚注明，以致此稿日后再度發現時學者為其確切年份而爭持不休以上整個事件見參考文獻［15］，pp382—388。對于該份重要手稿撰寫日期為1680年抑或較晚，學者間有重大爭論：理查德·韋斯特福爾（Westfall）認為1680年沒有問題，至于編輯并且詳細注釋牛頓在《原理》之前動力學手稿的埃利瓦爾（Herival）則在綜合各方意見之后沒有明確表態。手稿原文見［16］，pp246—256 ，寫作日期的考證見［16］，pp108—117。

3對笛卡兒的反叛

如其他年青學者一樣，牛頓最初深受笛卡兒影響，自他的分析幾何以至宇宙觀都莫不然。但自從成為正院士（1668）之后，則由于虔誠的信仰、致力于煉金術研究，以及受牛津哲學家亨利·摩爾（Henry More）和法國數學家拉希爾（Phillipe de La Hire）影響，他在物理學和數學觀念上都出現大轉變，都開始了對笛卡兒數學以及他那簡單枯燥的“機械世界觀”之巨大反叛。

數學上這表現為摒棄他自己發現的“流數法”，而從新發展幾何學以作同樣的計算，并完成了其計劃中的《幾何曲線》的第一卷，而那就是他在《原理》中所用計算方法的根源（［15］，pp377—381）。至于在重力和運動觀念上，則從他1668—1669左右撰成的手稿《論重力》和《論金屬之滋長》中可見，他開始認為物質粒子之間并非只有碰撞，而還有其他神奇未知的黏附力和吸引力，所以金屬是可以變化生長，甚至與上空的以太粒子是有升降循環關系的（［15］，pp301—309）。

這兩方面的反叛都很重要：它們本身雖然也有不成熟之處，但其思想、傾向卻深刻地影響了《原理》的結構，而且與其相當部分內容也密切相關。

4激發出來的巨著

如所周知，牛頓最后之所以會寫出《原理》，是起于1684年1月皇家學會中胡克、建造師雷恩（Christopher Wren）和天文學家哈雷（Edmond Halley）等的一次聚會。當時大家都已經知道將開普勒第三定律與惠更斯的離心力公式結合，便可以得到“與距離平方成反比”的引力公式，然而行星軌道卻已經為開普勒證明為橢圓。因此，這兩者是否能夠拼合便成為核心問題。

年輕有膽色的哈雷于是在八月赴牛津向大師請教，牛頓立刻回答：那樣的引力的確會導致橢圓軌道，而且他已經算出來了。然而，他當時卻無法找到手稿，只好在三個月后撰成《論回轉天體的運動》手稿寄予哈雷，并且同意將之在皇家學會存檔。這就是他此后在各方的巨大興趣催迫和鼓動下，秉燭達旦工作兩年之久，將該稿發展成《原理》一書的由來。以下的發展就毋庸細表了。

5《原理》中的幾個隱存問題

《原理》的結構很特別。它分三卷：第一卷“物體的運動”，是通過數學來推論引力在天體和地上物體的作用；第二卷同樣名“物體的運動”，是討論物體在抗阻介質中的運動，包括拋射體、單擺、旋轉體等的運動；第三卷“宇宙體系”，是利用第一卷的結果，來討論實際天文問題，包括行星、彗星、月球等的運動，以及潮汐、地球因旋轉而變形、地軸進動（precession），甚至波浪、聲速等現象；最后是總結討論。

這個特殊結構背后的原因也很清楚，就是他一方面要以嚴謹精密的數學來證明萬有引力的確能夠成立，而且將之發揮至極致，解釋一切相關現象，另一方面還要針對幾個重要的相關問題作出回應。

第一個最重要的問題是：萬有引力倘若能夠成立，那么笛卡兒基于以太觀念而提出來的漩渦說就必然不能夠成立，所以牛頓必須提出詳確證據來全盤駁斥、否定后者。《原理》第二部分雖然沒有直接提及笛卡兒或者他的漩渦說，其實就完全是為此而作《原理》全書直接提到笛卡兒的名字只有三次，兩次在第一卷，與折射光學有關，第三次在第三卷，關乎以太微粒的質量而非漩渦說（［14］，pp625， 627， 809）。它這個否定又分兩部分。首先，是發展一個物體在流體中所受抗阻力量的理論，其核心是此抗阻力與物體在運動方向的截面積成比例；然后用一個外部形狀不變但內部可以放入不同鐵塊的密封木箱作為單擺，擺長達11英尺（約33528米），以證明無論其內部如何，但所受空氣阻力都不變，也就是空氣中沒有無孔不入的細微以太粒子會進入木箱。其次，他又詳細考究宇宙漩渦與太陽以及行星之間的相互作用，指出這會引起許多困難，例如：由于漩渦的反作用力，太陽本身的旋轉會逐漸停頓；旋轉球體通過摩擦力而帶動的漩渦，其離球體中心為R的旋轉周期與開普勒第三定律相違背；行星本身旋轉也會引起漩渦，那會與太陽帶動的大漩渦相互干擾，等等。在全書的總結討論中，他再一次回到這些困難，包括彗星的特殊問題。總之，他對笛卡兒這位大名鼎鼎前輩的理論，是用了九牛二虎之力來對付的（［1］，頁660—662）。

第二個重要問題是：萬有引力太神奇了，它無遠弗屆，無物能夠阻擋，而且不論物體的大小性質，在任何兩者之間都一律以那么簡單的形式存在。那么，它的根源到底在哪里？它為何會如此？這個基本問題他無疑考慮了很久，但得不到任何清楚而令人入信的答案，所以最后只能夠承認：它是不可能再加以解釋的基本定律，從而有“我迄今都未能從現象推斷這些重力性質的原因，而我不妄立假設”的名言詳細討論見參考文獻［14］，pp275—277，及［1］，頁663—664。這很重要，因為這樣它就為物理學甚至科學整體立下一個典范：自然現象的了解最終是建立在一些無法再深究的根本原理之上的——雖然隨著科學進步，許多原理可以被簡化，合并，或者在更深層次為其他原理甚至數學原理所取代。

最后，牛頓不像笛卡兒，他是個虔誠基督徒，而且并不將他的科學發現和宗教信念截然分割，所以在萬有引力的根源這個問題上他始終有懸念。故此，他在《原理》的總結討論中又提出，萬有引力就是通過上帝的直接干預使然，它本身就是神跡（［14］，pp939—941）。然而，萬有引力既然已經清楚解釋所有天體運行的規律，那么上帝便不啻“遙領地主”，他的智慧、大能也面臨變為多余的危險。因此，牛頓對于彗星的軌跡特別感興趣，作了大量非常仔細的研究，更特別提出：1680年所觀測到的彗星有可能撞入日球，這可能是由于在遠日點受到其他星體攝動或者在近日點受日的蒸汽阻礙所致，而這種碰撞很可能就是恒星散發光芒與“蒸汽”之后能夠恢復光芒的途徑，也就是“新星”（nova）之所以會出現有關他的長篇彗星研究見參考文獻［14］，pp888—938， 有關1680年彗星的討論見［14］，p937。有學者認為，這也就是他強烈暗示，上帝有微妙的途徑施展大能，以維持宇宙運轉（［17］，pp235—237）。而我們必須記得：牛頓后來還出版了一部《光學》，它討論的不僅僅限于光學，而還有更深遠的思慮，即世界到底是如何構成？萬物是如何黏連、生長、變化？等等。但他想得很透很仔細，所以沒有貿然對這些遠遠超越時代的問題提出任何看法，而只是在書最后的三十一條“問題”中婉轉地表達了他的關切和一些猜想，從而使得我們知道，他的世界不限于動力學，甚至也不限于光學，而還有他花了大量時間和精力研究的煉金術參考文獻［1］，頁676—678對此簡單提及，詳見［17］相關部分。統而言之，牛頓在動力學上的大發現一方面令他感到驚訝、興奮，另一方面卻也為其信仰帶來了相當的沖擊、焦慮和危機感。

四結語

在古代，天文學與幾何學為一體，它和以言語推論為工具的動力學截然分割，正有如中國古代所謂“絕地天通”。這個狀況到中古由于將數學引入動力學的企圖而略有改變；到近代，則由于開普勒追究令天體運行的物理力量，伽利略之以望遠鏡觀月和以數學描述物體在重力作用下的運動，還有笛卡兒之提出機械世界觀，而發生根本變化。但最后能夠進一步實現“地天通”，也就是以“萬有引力”來充分解釋天上與地下現象的，則是敢于反叛笛卡兒的牛頓。這不是一件容易的事情：他的理論雖然無懈可擊，而且有大量證據支持，卻一直要到《原理》出版之后50—70年間，方才由于他預言的地球扁平形狀為天文觀測所證實，以及周期長達七八十牛的哈雷彗星像預測那樣如期回歸，而逐漸為學界普遍接受。這上距柏拉圖和亞里士多德已經兩千多年了！

不過，《原理》一出，現代科學之門就打開了：作為典范，它不但證明精密科學為可能，而且顯明它到底如何可能。在18—19世紀兩百年間，電磁學和熱力學、統計力學便都是依循這個典范發展出來，所謂“古典物理學”也由是而得以完成。當然，到了20世紀，科學探究進入微觀世界并且擴展到整個宇宙。而與此同時，物理理論則峰回路轉，經歷了又一次翻天覆地的大革命，在其中相對論、量子力學、量子場論、對稱原則等等相繼出現；另一方面，歷來被認為屬于常識范疇的時空觀念、因果關系、排中律等等，卻全部被顛覆無遺。人類對大自然的認識遂再度從可以共同“理解”的規則，轉變為只能夠由專家通過高深數學來“計算”的“奧秘”。這個驚人轉變的影響極其深遠，它的后果和未來發展，都不是我們此刻能夠想象的了。

參考文獻

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