只有歐幾里得見過赤裸之美

劉鈍

中圖分類號N09∶O1

文獻標識碼A

李國偉是中國臺灣地區著名的數學家與科普作家，1971年從臺灣大學數學系畢業后赴美深造，師從荀菲德（Joseph RShoenfield）教授專攻數理邏輯，1976獲得杜克大學博士學位。20世紀80—90年代，曾先后擔任臺灣“中研院”數學研究所所長與總辦事處處長。除了自己的專業數理邏輯與組合數學之外，李國偉的研究興趣也旁及數學哲學、數學史以及科學傳播，著有《一條畫不清的界線——李國偉的科文游牧集》《數學，這樣看才精采：李國偉的數學文化講堂》等，譯作則有《宇宙的詩篇》《科學迎戰文化敵手》《數學教你不犯錯》（上、下冊）《小學算術教什么，怎么教》等。最近高等教育出版社推出了他的新著《數學文化攬勝集》，分為“人物”“歷史”“藝數”“教育”四篇，各自單獨成冊，可謂洋洋大觀，別開生面。

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《人物篇》由11章組成，各章的主角，按照李國偉的說法——“都曾經在當時數學主流之外，蹚出一條清溪，有的日后甚至拓展開恢宏的水域”。因此阿基米德、牛頓、高斯、歐拉、黎曼、龐加萊乃至希爾伯特這些數學殿堂的頂級大神都沒有入列，作者選擇的12位英雄以及他們各自的特色分別是：“形象由淡入濃的圖靈”“被老婆澆冷水而亡的自學成器的布爾”“以邏輯建構神經網絡的奇才皮茨”“哈代與李特爾伍德要合作先約法”“籠罩拉馬努金的那些道陰影”“推波助瀾更待誰的戴森”“園丁之子解碼英雄塔特”“從數學到哲學的王浩”“畢達哥拉斯的事跡可信嗎”“未獲科學史恰當評價的開普勒”“孔多塞說：‘來搞點社會數學吧！”。

今日幾乎沒有人懷疑機器可以計算、學習甚至思考，但在20世紀的絕大多數時間里情況是截然不同的。1933年，21歲的圖靈通過自學懷特海與羅素的《數學原理》開始進軍數理邏輯領域，他又在劍橋數學家紐曼（Max Newman）的課上，獲知希爾伯特的第三問題相當于問是否存在一種機械程序，可以辨識一個命題在系統里能否得到證明？事實上，哈代早在幾年前就斷然否定了這種想法，他還說幸虧沒有這類東西，否則我們數學家就無事可干了。法國大數學家龐加萊在《科學與方法》一書中，則以嘲諷的口吻把這種想法比喻為從一頭送進活豬而在另一頭收獲火腿與香腸的機器。1935年圖靈在長跑休息時，突然萌生了一種通用計算的思想，后來寫成《論可計算數及其在可判定性問題上的應用》，這篇論文至少有三項極重要的貢獻：（1）創新定義一種抽象的計算機；（2）證明通用計算機的存在性；（3）證明存在任何計算機都不能解決的問題。他所定義的機器后來被稱為圖靈機，相當于用形式上極為簡單的抽象設備代替了哥德爾以通用算術為基礎的形式語言。除了在計算機科學與人工智能領域的開拓性工作之外，圖靈在密碼學、生物形態發生學、非線性動力學與認知科學方面也都做出了重要貢獻。1947年他在倫敦數學會的演講中有一句話特別值得今人回味，他說：“如果期望機器永不犯錯，那么它就不可能有智慧。”

布爾的大名是同邏輯代數、電路設計和計算機編程聯系在一起的，可以說沒有他的工作就沒有電子計算機日后的發展，但是很少有人知道他是一名自學成才的數學家，家境貧寒，出身低微，沒有上過正式大學，更沒有博士學位，即使成名后也沒有多少人能夠預見他的工作將對人類社會產生多么深遠的影響。特別不幸的是天不假年，布爾中年而故，去世時才49歲，而他的意外身亡與愛妻的社會理念及生活態度脫不開干系。1855年已在愛爾蘭科克市皇后學院擔任數學教授的布爾與瑪麗·埃佛勒斯（Mary Everest）喜結連理，女方的父親是教區會長、叔叔是著名的測繪學家?，旣愖孕≡诜▏邮芙逃?，11歲才回到英國，她與布爾相差17歲，家庭背景也不相同，但二人的婚姻十分完美，一共生育了五個女兒。1864年11月24日，布爾像往常一樣步行前往學校上課，途中突遇暴雨，但他不愿耽誤上課，來不及更衣就直奔教室，結果得了感冒，隨后惡化成肺炎?，旣愂莻€超前的女權主義者和順勢療法的信奉者，對自己和家人都有嚴苛的要求，例如洗澡要用冰冷的水，早餐前要長途步行，以及遵守嚴格的飲食規矩等。據說回到家的布爾被安置在浸濕的床上，被瑪麗澆了好幾桶冷水，最終生命之火被徹底澆熄。其實瑪麗并不是一位無知的村婦，她從小熱愛代數，曾參與布爾的微分與差分方程著作的編輯工作。布爾去世后，她成為有名的兒童教育專家，還寫過一本名為《引人入勝的代數原理》的科普讀物，從一個寓言開始進入歷史脈絡，以有趣的方式向孩子們講述代數和邏輯。她獨立撫養大的五個女兒，個個都有精彩的人生。在布爾-埃佛勒斯家族的后代中出了很多名人，中國人熟悉的有小說《牛虻》的作者艾杰爾·麗蓮·伏尼契（Ethel Lilian Voynich）、1948年來到中國的國際友人寒春（Joan Hinton），以及當代人工智能領域的大咖、2018年圖靈獎獲得者杰弗瑞·埃佛勒斯·辛頓（Geoffrey Everest Hinton）。

書中還有很多有趣的段子。例如拉馬努金由于不習慣英國的陰冷天氣又堅守婆羅門的素食傳統，導致營養不良和多發性疾病，回到印度后獲得妻子的悉心照料。1984年這位賢惠的印度遺孀告訴專門研究拉馬努金的訪客，丈夫回來后的第一句話就是“真該帶你一道去英國的”。再比如談到了王浩對哲學的興趣，以及他對英美分析哲學的批判沒能得到華人學界的響應，以致即便有吳大猷亟力舉薦，最終都未能當選“中研院”院士。

畢達哥拉斯、開普勒、孔多塞、哈代與李特爾伍德、以及戴森的事跡，公眾也許通過其他讀物有所耳聞。皮茨（Walter Pitts， Jr）和塔特（William Tutte）對于一般讀者可能是比較陌生的。前者是美國人，才華橫溢的機器神經網絡與深度學習的先驅，曾獲得維納、馮·諾依曼等控制論大神的青睞；后者是英國人，二戰時破解德軍“洛倫茲”密碼的幕后英雄，據說解碼的困難程度更甚于圖靈面臨的升級版“恩尼格瑪”。

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《歷史篇》延續《人物篇》選擇的視角，嘗試觀察評述一些不為主流史家留意的知識現象。按照作者的自述，他無意為錯綜復雜的歷史厘出一條因果分明的線索，而樂于在涉獵數學史的過程里尋覓一些樂趣，感受那種如同在山野之中采擷到奇花異草的欣喜。全篇分為12章，分別是：“‘計算大敘事的簡要輪廓”“中國古代對角度的認識”“假如徐光啟學通拉丁文”“鴿籠原理其來有自”“遲來報到的素數”“如果0不算偶數，1也曾經不是奇數”“崔錫鼎比歐拉更早造出歐拉方陣”“好難馴服的無窮小”“聆聽行星的天籟”“4 523 659 424 929 個符號定義1”“《戰爭與和平》與微積分”“數學家譜”。

首先令人感興趣的是此篇中的中國元素。長期以來，世界數學史中幾乎找不到中國的位置，除了祖沖之的圓周率數據、宋元算家的數字高次方程和被稱為“孫子定理”的同余式算法外，似乎沒有什么傲人的東西，然而一旦建立起全球性的敘事，中國古代算學占據的地位就突出了。作者從算法、表征與工具三個方面論述了中國古算的成就，分別以《九章算術》中的輾轉相除法、10進位值制記數法、算籌與算盤為代表。書中還分別從技藝、天文與幾何學立場論述了中國古代有關角度的概念，認為中國幾何的“角”與天文的“度”沒有自發地統合到一個整體中乃是一個缺陷。涉及中國的內容還有籌算導出的負數、易數中的奇偶概念、古代筆記中“鴿籠原理”，以及清末李善蘭關于素數的研究等。最有意思的是，作者引述哈代“沒有一項重要的數學進展是由50歲以上的人所啟動的”，而指出華人數學家張益唐在58歲做出孿生素數間隔的開拓性貢獻，可以說是哈代偏見的一個反例。

“計算”大敘事是作者在《歷史篇》首章提出來的一個綱領性意見，要點有四：（1）人類文化早期就有計算活動，數千年來構成數學知識的一部分，但計算終將從數學中分離出來并形成獨立的發展軌跡；（2）應該建立一個立足于多元文化基礎的“計算”演化觀，其中特別需要矯正以歐洲文明為中心的偏見；（3）在這種全球性的、整合性的大敘事中，自然不能忽視中國文明的貢獻；（4）應該強調文化史的視角，要關注“計算”與社會的互動，對于關鍵性人物應予重新評價或深化認識。

書中關于奇偶數的文字令人忍俊不禁。話說新冠病毒流行之際，口罩在臺灣地區市面上一度緊缺，民眾須憑全民健康保險卡前往特約的藥局才能買到，并且還要根據身份證末位碼來區分購買的時間，奇數碼者限每周一、三、五，偶數碼者限每周二、四、六，周日則不限奇偶都能購買。對此臺南的陳志金醫生在臉書上發文諷刺，稱這一舉措最大的貢獻之一，“就是能夠在一夕之間讓大眾具體知道‘奇數和‘偶數的差別，還讓至少230萬人知道‘零是偶數！（按臺灣地區計有2300萬人口，陳醫生在這里取1/10為身份證末位碼為0者的約數）”0是不是偶數？這是常常令小學算術老師感到棘手的一個問題，如果按照能夠被2整除或奇偶相鄰排列這兩條原則來看，0確實是偶數。因此陳醫生又說，這是“數學教育史上的一大突破”，是“跨部會合作的典范”。

書中還有更多好玩的東西，例如懷特海與羅素在《數學原理》中用冗長的篇幅證明1+1=2；布爾巴基學派引入7個基本符號將數學形式化，定義1則需用4萬5千億以上的基本符號疊加（還不算1萬多億個輔助閱讀符號）；再如托爾斯泰《戰爭與和平》中有關“無窮小”“微分”“積分”的文字等。最有意思的還是設在美國的克雷數學研究所關于數學家譜系的一項資助計劃，作者借助網絡繪出了自己的學術譜系樹，笑稱“原來我是萊布尼茨與達朗貝爾的后裔”。

英國數學家哈代在其名著《一個數學家的辯白》中寫道：“數學家像是畫家或詩人，都是模式的創造者，如果說數學家的模式比較有永久性，那是因為它們是由理念所構成的?！蹦Ｊ?，原文用的是patterns，按照某些科學哲學家的意見：數學科學不再只是對數量關系與空間形式進行研究，而已經成為關于模式的科學，其理論建立在模式之間的關系以及從模式和觀察之間的契合中得出的應用之上；而在藝術領域，patterns最直接的指向是花紋與圖案，往往又與旋轉、反射、投影、分形等數學概念密切相關，說到底也是理念（idea）的產物。

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“藝數”是近年來臺灣地區數學教育與普及領域常見的一個新名詞，反映了人們在數學普及活動中與藝術溝通的努力，眼下正呈現越來越熱鬧的景象。李國偉特別強調“藝數不會是異數”，按照他的見解，藝數至少包含以下三方面：（1）以藝術手法展示數學內容；（2）受數學思想或成果啟發的藝術；（3）數學家創作的藝術。

《藝數篇》共有15章，各章的名目分別是：“數學美美的”“藝數不會是異數”“國際上的數學展覽”“以藝術展示數學及其啟示”“默比烏斯把紙帶轉了幾圈”“充滿數學色彩的埃舍爾藝術”“一張紙折出了乾坤”“榫卯咬合益智玩具”“數學模型將風華再現”“旅行售貨員跑出數學藝術”“王浩花磚鋪出美妙天地”“張拉整體結構藝術的開端”“均質不倒翁岡布茨”“聯結數學、藝術與教育的橋梁”“焦點透視看敦煌壁畫”。在這萬花筒般千奇百妙的迷人圖景中，我只能選取自己最有感觸的若干場景與讀者分享。

中國古代建筑普遍使用木結構，論者謂榫卯咬合對應凸凹互補，形象上符合陰陽耦合的思想，實際上反映了古代工匠巧妙的空間構思。不知從什么時候起，有人將榫卯結構應用于益智游戲，發明了被稱為孔明鎖或魯班鎖的玩具，有民謠唱道：“不用釘連，不用膠合；我中有你，你中有我。陰陽拼插，卯榫成鎖；嚴絲合縫，豈奈我何。”據李國偉稱，目前所見最早記載這一玩具的文獻是寫了《七劍十三俠》的晚清文人唐蕓洲，他在1889年出版的《鵝幻匯編》中描述了一件名為“六子聯芳”的玩具，所謂“六子”就是六塊榫卯咬合并能拆開的木構件，分別以禮、樂、射、御、書、數命名；“鵝幻”則源自南朝文人吳均《續齊諧記》中的一個志怪故事，寓含“變戲法”的意思。后來唐蕓洲又在《鵝幻續編》中介紹了名為“桂花球子”的球狀魯班鎖。而在大約200年前，法王路易十四的御用畫師勒克萊克（Sébastien Leclerc）在一幅版畫的右下角，留下了一個“六子聯芳”的圖像，在西方則被稱為“中國十字架”。增加木構件的個數，可以使榫卯咬合玩具的種類愈加繁復，在游戲中體會空間的幾何性質并訓練邏輯思維的能力，在近代西方和日本都很流行。從一定程度上可以說，魯班鎖是當今流行全球的魔方（Rubiks Cube）的前身。

哈密頓（William Hamilton）是愛爾蘭（當時屬英國）數學家，他創造的四元數代數是傳統復數系在四維實數空間的推廣，元素之間可作類似復數的四則運算，但是不滿足乘法的交換律，對于近世代數、經典電動力學、狹義相對論和計算機圖形學等學科的發展都有很大影響。1856年，哈密頓又發現了另一種只有乘法的代數系統，他察覺到可以用三維空間的正12面體來表達這一系統，乘法運算就對應到棱線間的轉換。因為正12面體有20個頂點，所以就把這個系統稱為“廿算”（icosian calculus）。由此他又設計出一種正12面體的“廿算”游戲：假如把20個頂點當作20座城市，玩法是從一個城市出發沿著棱線（不需要經過每一條棱）周游各地，要求游遍其他19座城市且每個城市僅允許經過一次，最后回到原地。1857年，哈密頓公開了這款游戲，兩年后賣給倫敦的玩具商賺了25英鎊。這個商品化之后的游戲叫作“環游世界”，因為玩法單調，賣得并不怎么好。若將正12面體壓扁構成一個平面圖形，圖上則有20個點，每個點聯系著3條線段，共有30條線段。如同歐拉的“哥尼斯堡七橋”問題一樣，哈密頓的“環游世界”游戲也成了現代圖論的濫觴。

《藝數篇》中還有很多令人驚艷的題材，例如印度人魯生達（Sundara Row）開創的“折紙幾何學”，以及冠名為“藤田-羽鳥”的折紙作圖公理系統；默比烏斯的生平和公元3世紀羅馬遺跡中帶有默比烏斯環圖樣的馬賽克鑲嵌；倫敦大學神經生物學家澤奇（Semir Zeki）在數學泰斗阿蒂亞（Michael Atiyah）協助下開展的數學美感之神經基礎的量化研究；荷蘭畫家埃舍爾（Maurits Escher）與國際數學家大會，以及他同彭羅斯（Roger Penrose）等數學家的合作；王浩發明的“王氏花磚”（Wang tiles）模型與圖靈機“停機問題”的關系，以及這一模型引出的無周期平鋪問題對20年后以色列化學家謝赫特曼（Dan Shechtman）發現準晶體的啟發，等等。

書中提及法、德、美、英、日等國近年籌辦的一些數學展覽，如2008年德國“數學年”活動及IMAGINARY巡回展。中國臺灣地區的學者們在高雄、臺北和嘉義舉辦了“超越無限·數學印象”展事，旨在溝通數學、藝術與教育的“橋梁研討會”，無不顯示了作者的豐富閱歷和對國際數學教育與普及領域最新動態的掌握。

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《教育篇》更集中反映了作者多年來對數學教育的關注，共有15章，分別是：“證明的流變”“‘不解之解，是解嗎”“19世紀英國一場幾何教育的紛爭”“一生最重要的數學教育——小學數學”“給贏得最高贊譽數學家的陳省身獎”“離散數學走進舞臺中央”“人工智能的‘名稱政治學”“分進合擊的協力數學”“圖靈的向日葵”“誰是今日最有影響力的數學家”“百萬人數學”“數學能力與孤獨癥”“數學教育家反擊數學家的霸凌”“斯穆里安的邏輯謎題”“分享、責任與欣賞──科普寫作與閱讀的動機”。

前兩章帶有強烈的哲學色彩，涉及到什么是真理、如何辨識真理的認識論問題，也是數學教育不能回避的重要議題。在將“證明的流變”梳理一過之后，作者告訴我們，如果要用一句簡潔的話來解釋證明，那就是一個說服的過程；而一旦以此來審視證明，就可對中國古代數學的意義加以重新詮釋，具體的例子可見劉徽對《九章算術》的精辟注解，內容包含豐富的說理方式，他靈活地運用直觀、模擬、觀察、歸納和類推等手段，充分展現數學知識的生命力，也發揚了知識創造的活性。

歐幾里得《幾何原本》是一個廣為人知的認“真”的樣板，但是在中等數學教育中，用什么樣的方式、采用什么教材來學習這門功課，自古就有不同意見。19世紀中葉，隨著工業化進程對專門性技術人才的需求日增，英國社會上出現了改革幾何學教育的聲音，一些著名的社會賢達，如達爾文演化論的忠實衛士赫胥黎（Thomas Huxley）、數學家西爾維斯特（James Sylvester）都支持對幾何學教材加以改革。另一位年高德劭的數學家德摩根（Augustus De Morgan）對此則大為光火，他沒有與西爾維斯特硬剛，而是針對年輕數學教師威爾遜（James Wilson）剛出版的一本初等幾何教材大加撻伐。以寫作《愛麗絲漫游奇境》等書出名的道奇森（Charles Dodgson，筆名劉易斯·卡洛爾）站在德摩根一邊，在1879年出版的《歐幾里得與其當代對手》中，強調學習歐幾里得《幾何原本》就如同接受一種精神洗禮，由此方能進入一個兩千多年的文化園地，成為一個有教養的紳士，學習的方式自然要遵循歐幾里得安排的路徑。

書中有關中國臺灣地區小學數學教育的內容很有現實意義。我們常聽到這樣一種說辭，稱美國亞裔兒童的數學成績普遍高于其他族裔的同齡孩子，但是在臺灣地區進行的一項調查表明：臺灣地區四年級小學生的數學成績平均值確實居于世界前列，但是在“不喜歡數學”和“對數學缺乏自信”這兩項指標上卻高達國際平均值的兩倍。造成這一現象的原因，作者認為應該從小學生學習的社會環境去分析，他引述臺灣大學數學系翁秉仁的觀察：“在臺灣，一般家長雖然怕數學，卻很喜歡‘干預小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學，因此可以‘盡一份心。但是他們干預的方式很簡單，看到孩子不會做習題，就指導學生怎么算；厲害一點的，更直接把初中方法搬下來，卻不做任何解釋。問題是，除了數學老師之外的成人，多半覺得數學就是公式和計算，不需要解釋（‘反正你這樣算就對了?。?。他們還會因此據理力爭，為小孩向老師爭取分數，造成許多教學困擾。”作者接著補充道：除了家長干預以外，很多學生還在補習班承受折磨，后果是抵銷了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法，除了歸咎于將背誦公式等同數學學習，更基本的原因是缺乏對兒童心智發展特點的理解。

與此相反，作者也介紹了以色列理工學院教授阿哈羅尼（Ron Aharoni）的見解，此人是離散數學方面的國際知名專家，卻愿意付出時間了解小學數學的教育情況。因為具有高深的數學修養和從事創造性研究的經驗，能夠針對小學數學教育發表常人所不能的真知灼見。他在自己的書《給家長看的算術書》里寫道：“我教小學時領悟出來一個道理，就是小學數學一點也不單純，除了美之外還有深度?！?/p>

最后還是交代一下本文的標題，它出自作者序言中引用的美國女詩人米萊（Edna StVincent Millay）1923年寫下的詩作《只有歐幾里得見過赤裸之美》（Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare），詩中不僅贊美歐幾里得的數學成就，也彰顯了美在數學中的崇高位置。