解題需要重視尋找“切入點”

楊麗瓊

學習數學需要解題，而解題方向是否合理，解題過程的繁冗與簡捷，往往在于解題“切入點”的選擇.善于從題目所顯示的或隱含的某些特點中尋找解題“切入點”，既能快速決策解題的方向，也能優化解題的過程，起到“四兩撥千斤”的解題效果.本文從幾個方面闡述尋找“切入點”的途徑.

1從特殊數值尋找“切入點”

在數學題目中，往往出現具有某種特點的一些數值，這些數值對解題有著重要的導向作用.從這些特殊數值上展開聯想，進而順藤摸瓜尋找解題“切入點”，則能獲取新穎、獨到的解法.

例1 （2007年全國初中數學聯賽題）設x=12-1，a是x的小數部分，b是-x的小數部分，則a3+b3+3ab=.

分析：從特殊數值12-1尋找切入點.先分析出x與-x的范圍，確定出a，b，推出a+b=1后運用立方和公式整體代入求解.

解：因為x=12-1=2+1，而2<2+1<3，所以a=x-2=2-1.

又因為-x=-2-1，而-3<-2-1<-2，所以b=-x-（-3）=2-2.

所以a+b=1.故a3+b3+3ab=（a+b）（a2+b2-ab）+3ab=a2+b2-ab+3ab=a2+b2+ab=（a+b）2=1.

2從圖形背景尋找“切入點”

對于許多數量關系的題目，若挖掘并運用蘊含在題目中的圖形背景，使得數量關系轉換為直觀圖形來解決，從圖形背景中尋找“切入點”，則解題思路直觀、清晰.

例2（1987年全國初中數學聯賽題）已知方程|x|=ax+1有一個負根而且沒有正根，那么a的取值范圍是（）.

A.a>-1B.a=-1

C.a≥1D.非上述答案

分析：本題若按常規方法來解，需要分為兩個步驟來進行：①先設x為方程負根，推出a的范圍；②根據方程沒有正根求a的范圍時，正難則反，先假設方程有一個正根x，得到a的范圍后取其反面.進而綜合后得到答案.所以

運用常規思路解答邏輯推理要求高，而利用圖形背景，設出函數并作圖象，借助圖象化“數”為“形”，則求解直觀、迅速.

解：如圖1，在直角坐標系中作出兩個函數y=|x|和y=ax+1的圖象.

根據題意方程|x|=ax+1有一負根而沒有正根，可知直線y=ax+1僅和折線y=|x|=x，x≥0，-x，x<0在y軸左側有一個交點，故結合圖象分析可得a≥1.因此選C.

3從位置關系尋找“切入點”

許多與圖形相關聯的題目都具有一些特定的“位置”，從與眾不同的位置關系中去尋找解題的“切入點”，可快速明確解題方向，利用解題.

例3（2022年荊門市中考題）如圖2，函數y=x2-2x+3，x<2，-34x+92，x≥2的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y=m（m為常數）相交于三個不同點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1

解析：由函數圖象與直線y=m（m為常數）相交于三個不同點這一位置關系，可知y1=y2=y3=m（m為常數），代入并把所求式轉化為t=x1+x2x3，所以t的取值范圍即為三個不同點橫坐標代數式的范圍.根據題意可知y1=y2=y3=m（m為常數），因此t=x1y1+x2y2x3y3=x1+x2x3.

由y=x2-2x+3=（x-1）2+2（x<2），可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，所以當x=1時，函數有最小值為2，且x1+x2=2×1=2.由y=-34x+92（x≥2）可知當x=2時，有最大值為3，且當y=2時，x=104，所以2

4從式子結構尋找“切入點”

許多題目中式子的結構具有“窗口”作用，善于對式子結構的觀察、分析，從式子結構中尋找解題“切入點”，則解題往往做到事半功倍.

例4（2019年全國初中數學競賽天津賽區初賽題）若四個互不相等的正實數a，b，c，d滿足（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，則（ab）2012-（cd）2012的值為（）.

A.-2012B.-2011C.2012D.2011

分析：由已知條件可知，a2012與b2012滿足相同的結構形式，因此構造方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，整理后利用韋達定理求解.

解：因為（a2012-c2012）（a2012-d2012=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，所以a2012與b2012是方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，即x2-（c2012+d2012+（cd）2012-2012=0的兩根.根據韋達定理，得a2012·b2012=（cd）2012-2012，即（ab）2012=（cd）2012-2012，所以（ab）2012-（cd）2012=-2012.故選A.

5從整體關系尋找“切入點”

在解決一些題目中，若把某些具有一定關系的式子視為一個整體，以此為解題“切入點”，則往往使題目得到迅速解決.

例5（2023年北京市中考題）已知x+2y-1=0，求代數式2x+4yx2+4xy+4y2的值.

分析：若先求解已知中的一元二次方程，然后將求出的解代入所求式，很是繁冗.這里著眼整體關系，先將所求分式化簡，再把x+2y-1=0變形，整體代入化簡的分式求值.

解：因為2x+4yx2+4xy+4y2=2（x+2y）（x+2y）2=2x+2y，根據x+2y-1=0，得x+2y=1，所以代入上式可得2x+4yx2+4xy+4y2=21=2.

6從差異中尋找“切入點”

數學解題的過程，從一定意義上講，就是實現從題設到結論進行推證的過程，而識別題設與結論或量與量之間的差異，則能幫助我們尋找解題的“切入點”.

例6（2022年江蘇省南通市中考題）已知實數m，n滿足m2+n2=2+mn，則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為（）.

A.24B.443C.163D.-4

解析：題設中的等式是非齊次式，結論中的所求式是“齊二次”多項式，把這一差異作為“切入點”，先分別將已知式代入完全平方和公式與完全平方差公式，利用非負性求出mn的范圍，然后將目標式展開并將已知式代入得到關于mn的式子求解.

由m2+n2=2+mn得（m+n）2=2+mn+2mn=2+3mn.又因（m+n）2≥0，得2+3mn≥0，所以mn≥-23，當m+n=0時，取等號.

因為（m-n）2=m2+n2-2mn，將m2+n2=2+mn代入得（m-n）2=2+mn-2mn=2-mn.由（m-n）2≥0，得2-mn≥0，解得mn≤2，當m-n=0時，取等號.

所以-23≤mn≤2.所以（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=4m2+9n2=-12mn+m2-4n2=5（m2+n2）-12mn=5（mn+2）-12mn=10-7mn.由-23≤mn≤2，得-14≤-7mn≤143，所以-4≤10-7mn≤1447.故選B.解題是學習數學的主要手段和途徑，而解題方向是否正確，解題過程是否簡捷，這都需要尋找到一個好“切入點”.因此，在解題中重視尋找“切入點”，對于優化解題方案，縮短思維線路起著舉足輕重的作用.