例談“方差”模型在求解數(shù)學(xué)競賽題中的妙用

倪偉

數(shù)據(jù)方差公式是統(tǒng)計(jì)中的重要公式，除了用于判斷數(shù)據(jù)的波動程度的大小外，在解決數(shù)學(xué)問題時具有極其廣泛的運(yùn)用價值.對于數(shù)學(xué)中的其它一些問題，若能根據(jù)特點(diǎn)，巧妙應(yīng)用或構(gòu)造“方差”模型來求解，則思路清晰、明快簡捷，常常會有出其不意的解題之效.本文從競賽視角談?wù)劇胺讲睢蹦Ｐ驮跀?shù)學(xué)解題中的妙用.

例1（2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽第7題改編）已知a，b，c∈R，且a+b+c=a2+b2+c2=3，則（a-1）2023+（b-1）2023+（c-1）2023= .

解析：將a，b，c看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=a+b+c3=1.所以由方差公式變形，得S2=13（a2+b2+c2）-3×（a+b+c3）2=13×（3-3×12）=0.

故由S2=0，得a=b=c=1.從而（a-1）2023+（b-1）2023+（c-1）2023=0.

例2（2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西預(yù)賽第2題）已知xy+yz+zx=1，其中x，y，z均為正數(shù)，則3xy+1+3yz+1+3zx+1的整數(shù)部分為 .

解析：因?yàn)閤y+yz+zx=1，x，y，z均為正數(shù)，所以（3xy+1）+（3yz+1）+（3zx+1）=6，所以（3xy+1）2+（3yz+1）2+（3zx+1）2=6.將3xy+1，3yz+1，3zx+1看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=3xy+1+3yz+1+3zx+13所以由方差公式的變形，得S2=13（3xy+1）2+（3yz+1）2+（3zx+1）2-3×3xy+1+3yz+1+3zx+132=136-133xy+1+3yz+1+3zx+12. 因?yàn)镾2≥0，所以6-13（3xy+1+3yz+1+3zx+1）2≥0，所以（3xy+1+3yz+1+3zx+1）2≤18，所以3xy+1+3yz+1+3zx+1≤32，因?yàn)?＜32＜5，故3xy+1+3yz+1+3zx+1的整數(shù)部分為4.

例3解方程：4（x+y-1+z-2）=x+y+z+9.

解析：因?yàn)?（x+y-1+z-2）=x+y+z+9，所以（x）2+（y-1）2+（z-2）2=4（x+y-1+z-2）-12，所以x+y-1+z-2）=（x）2+（y-1）2+（z-2）24.將x，y-1，z-2看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=x+y-1+z-23，所以由方差公式的變形，得S2=13（x）2+（y-1）2+（z-2）2-3×x+y-1+z-232

=134（x+y-1+z-2）-12-13（x+y-1+z-2）2=19（x+y-1+z-2）2-12（x+y-1+z-2）+36=-19（x+y-1+z-2-6）2.因?yàn)镾2≥0，所以-19（x+y-1+z-2-6）2≥0，即（x+y-1+z-2-6）2≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y-1=z-2時取到等號.又由非負(fù)數(shù)性得（x+y-1+z-2-6）2≥0，從而有（x+y-1+z-2+-6）2=0，即x+y-1+z-2=6.由x+y-1+z-2=6，x=y-1=z-2，得x+y-1+z-2=2，解得x=4，y=5，z=6.

例5（1988年四川高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題）已知實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，滿足x1+x2+…+xn=a（a>0），且x12+x22+…+xn2=a2n-1（n≥2，n∈N），求證：0≤xi≤2an（i=1，2，…，n）.

證明：由x1+x2+…+xn=a，得x2+…+xn=a-x1.由x12+x22+…+xn2=a2n-1，得x22+…+xn2=a2n-1-x12.將x2，…，xn看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=x2+…+xnn-1=a-x1n-1，所以由方差公式的變形，得S2=1n-1（x22+…+xn2）-（n-1）×（a-x1n-1）2=1n-1a2n-1-x12-（a-x1）2n-1=-nx12+2ax（n-1）2.因?yàn)镾2≥0，所以-nx12+2ax1（n-1）2≥0，即nx12-2ax1≤0，解得0≤x1≤2an.同理可證0≤xi≤2an（i=1，2，…，n）.

例6（2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試B卷第9題）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x≥y≥z，x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解析：由x+y+z=1，得y+z=1-x；由x2+y2+z2=3，得y2+z2=3-x2.

將y，z看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=y+z2，所以由方差公式的變形，得S2=12（x2+y2）-2×（y+z2）2=123-x2-12（1-x）2=12（3-x2-12+x-12x2）=-118（3x2-2x-5）.

因?yàn)镾2≥0，所以-118（3x2-2x-5）≥0，即3x2-2x-5≤0，解得-1≤x≤53.

同理可得解得-1≤z≤53.若z≥0，則1=x+y+z≤3x，3=x2+y2+z2≤3x2，解得x≥1，此時等號不能成立；

若-1≤z＜0，則x+y=1-z>1.當(dāng)y<0時，則x>1；當(dāng)y≥0時，則2x2≥x2+y2=3-z2≥2，所以x≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1，z=-1時，等號成立.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為［1，53］.

例7（2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽第4題）若x，y，z∈R+，滿足xy+yz+zx=1，則函數(shù)f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值是 .

解析：因?yàn)閤y+yz+zx=1，所以xy+5+yz+5+zx+5=xy+yz+zx+15=16，即（xy+5）2+（yz+5）2+（zx+5）2=16.將xy+5，yz+5，zx+5看作一組數(shù)據(jù)，則平均數(shù)x=xy+5+yz+5+zx+53.

所以由方差公式的變形，得S2=13（xy+5）2+（yz+5）2+（zx+5）2-3 ×xy+5+yz+5+zx+532=1316-13（xy+5+yz+5+zx+5）2.因?yàn)镾2≥0，所以1316-13（xy+5+yz+5+zx+5）2≥0，所以16-13（xy+5+yz+5+zx+5）2≥0，所以（xy+5+yz+5+zx+5）2≤48，所以xy+5+yz+5+zx+5≤43.故函數(shù)f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值是43.

從上述例子可以看出，對于問題中含有“一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及它們的平方和”的一類競賽題，通過構(gòu)造“方差模型”求解，思路清晰、方便快捷，有著出人意料的解題效果，因此重視對“方差模型”解題應(yīng)用的發(fā)掘和研究實(shí)屬必要.這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神，啟迪學(xué)生思維和開拓學(xué)生視野也頗有裨益.