突出數學過程教學 注重抽象能力培養

【摘 要】 數學抽象能力是數學核心素養的重要表現之一，新知識的形成過程和應用知識解決問題的過程都需要學生具備一定的數學抽象能力，同時隨著知識學習的深入，其抽象能力將得到進一步的提高與發展.建立數學概念、發現數學規律、用數學模型解決實際問題是發展學生抽象能力的重要過程，教學中要引導學生充分經歷這些知識的形成過程.

【關鍵詞】 抽象能力；數學概念；數學規律；問題解決

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）界定了初中階段的九大核心素養，并進一步提出“三會”目標［1］11.這里的“三會”分別對應著“抽象”“推理”“模型”，從而形成數學的三種基本思想.抽象能力位于九大學科核心素養之首，是形成學生理性思維的基礎.加強數學抽象能力的培養是提高學生數學核心素養的使然.

《課標（2022年版）》指出“抽象能力主要指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成概念、性質、法則和方法的能力”［1］8.這句話既明確了抽象能力的內涵，也“暗指”數學抽象是一個“過程”，抽象能力是在過程中形成和發展起來的，這樣的過程主要包括兩個：知識的形成過程和解決問題的過程.

1 知識的形成過程

數學知識都是在“過程”中形成，學生在學習新知識的過程中需要具備一定的抽象能力.伴隨著對新知識學習，也會進一步增強抽象能力.這種“用促”關系始終存在于一個人的學習、工作之中.

教材中的具體內容是培養學生抽象能力的重要“載體”.在教學過程中，向學生展示知識背景、知識形成和相互聯系的過程，引導學生在“過程”中獲得新知，增強其抽象能力.因此，在新知學習時，教師應特別重視概念的建立和規律的發現過程.

1.1 數學概念的建立過程

數學概念形成的一般過程如圖1所示［2］.

從圖1可以看出，在概念形成的過程中，數學概念的本質屬性是通過“抽象”概括得到的，可見“抽象”是概念學習中的一個關鍵的活動環節.

抽象原意指排除、抽出，是“看不見，摸不著”的東西.在科學研究中，抽象是指從一類事物表象中舍棄個別、非本質屬性，得到共同、本質屬性的思維過程［3］.抽象是數學最本質的特征，是數學產生、發展的思維基礎.數學抽象是去除其物理屬性，通過分析、思考、概括數量與數量、圖形與圖形等兩方面的關系，抽象出本質，并用數學語言加以表征的過程.它是從數量關系和空間形式上揭示數學對象的本質和規律的一種數學研究方法［4］．

基于培養學生抽象能力的角度，建立數學概念的模型過程如圖2所示［5］.

在《課標（2022年版）》界定的“數與代數”領域，分為“數與式”“方程與不等式”“函數”三個主題，共有49條具體內容.在這些具體內容中含有大量的數學概念，它們都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的.教學中教師要創設問題情境，學生從問題情境入手，逐步抽象出相關概念.

案例1 一元二次方程概念的建立過程.

方程是重要數學模型，初中階段的方程主要有一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程等，這些方程都是通過對實際問題的抽象而得到的.《課標（2022年版）》對“方程”提出了“能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程”的“共性”要求.對于一元二次方程概念的建立，我們“精選”了三個問題，設計了下面兩個環節，以努力體現圖1和圖2所示的過程：

【問題—模型】

（1）芯片是衛星導航系統的核心組件之一，某芯片上有一片管腳的矩形金屬點陣區域，已知矩形點陣的總點數是276，行、列數之和是35.如果設它有x行，則可得方程___________；

（2）某兩位數，個位上數字比十位上數字大2，其大小是個位與十位上數字之積的3倍.如果設十位數字為a，則個位數字為???? ，所列方程為???? ；

（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，并且ABAC=ACCB.

為了求ACAB的值，我們設AB=1，AC=t，則CB=___________；

由ABAC=ACCB可得AC2=AB·CB，于是可建立方程???? .

設計意圖

為了引導學生經歷一元二次方程概念的建立過程，培養學生的抽象能力以及模型觀念，我們設計了上面的三個問題.教學中教師要啟發、引導學生認真閱讀三個問題的題意，通過思考、分析，明確問題中的已知量、未知量，找出表示題目意義的等量關系.依次列出這三個問題對應的方程：x（35-x）=276，10a+（a+2）=3a（a+2），t2=1-t.

【模型—概念】

（1）把上面三個方程整理成左邊按字母降冪排列，右邊是0的形式；

（2）這些方程是前面學習過的方程嗎？

（3）觀察這三個方程，你有什么發現？說說你的看法.

設計意圖 在學生通過對第一個環節的三個實際問題思考后，已經建立起三個方程.本環節在此基礎上提出了三個小問題：問題（1）要求學生對這三個方程進行整理，學生不難整理成下面的方程：

x2-35x+276=0，?? ①

3a2-5a-2=0，②

t2+t-1=0.③

整理后，學生會發現這些方程與以前所學方程（一次方程、方程組、分式方程）是不一樣的，從而得到問題（2）的答案，這為后面引入一元二次方程奠定了基礎.對于問題（3），學生通過觀察方程①②③，將會發現它們的諸多特征，教師啟發學生在數學學習中關注“事物”的本質屬性，繼而進一步思考、歸納出三個方程的本質屬性：（1）方程只含一個未知數；（2）未知數的最高次數都是2；（3）方程兩邊都是整式.至此，學生能類比一次方程的概念等，歸納出一元二次方程的概念及一般式.

學生在上述問題的引導下，首先對過程材料形成感性認知，然后通過抽象、概括、歸納等活動，找出事物的本質、形成概念.

《課標（2022年版）》針對教材編寫，提出了“素材選取要貼近學生的現實、真實可信”的建議，明確要求“素材的選取應盡可能地貼近學生的現實，以利于學生經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程，發展抽象能力、推理能力等”［1］94.在數學概念的教學中，教師一方面應認真研讀教材，充分理解編寫意圖，還要閱讀與本概念有關的教學論著；另一方面要清楚數學概念常用的定義方式，確定本概念究竟要采用的哪一種定義方式.在此基礎上，對教材內容進行二次加工處理，設計出系列問題，以此引導學生經歷概念的建立過程，在這個過程中，不斷提高學生的數學閱讀理解能力、抽象能力、推理能力以及分析問題、解決問題的能力，進一步感悟模型思想，不斷提高學生的數學核心素養.

1.2 數學規律的發現過程

我們不妨把《課標（2022年版）》中給定的數學定理、公式、性質、法則、運算律等統稱為“數學規律”.在學生對這些規律的探索發現過程中，其抽象能力也將得到的培養和提升.因此，在規律的教學中，要引導學生進行探索、發現、歸納、概括的過程.

案例2 （蘇科版教材）有理數的乘法法則的發現過程.

為了鼓勵學生自己探索、發現有理數的乘法法則，我們設計了下面的問題，引導學生通過觀察、思考、歸納，自主概括有理數的乘法法則.

【觀察發現】

（1）水位每天上升4cm，3天后的水位比今天高還是低？高（或低）多少？

（2）水位每天下降4cm呢？

設計意圖

為引導學生探索發現有理數的乘法法則，教科書以“汛期水位”為背景，創設了兩個探索活動.在探索活動中，教科書結合有理數的意義，規定今天的水位記為0，水位上升記為正，水位下降記為負，時間規定今天之后記為正，今天之前記為負.在這樣的規定后，引導學生類比算術的乘法意義列出算式.然后給出下面的水位標尺圖.

學生通過觀察上面的兩個圖形（圖4、圖5），直觀得到四個算式的結果，從而得到下面四個算式：

（+4）×（+3）=+12；（+4）×（-3）=-12；

（-4）×（+3）=-12；（-4）×（-3）=+12.

（3）寫出表示1天后、2天后、1天前、2天前的水位變化的算式.

（4）水位每天上升0cm，3天前的呢？

（5）水位每天下降4cm，0天后的呢？

【歸納總結】

（6）觀察上面的一類算式，針對“兩個有理數相乘時”的情況，回答下面問題：

①兩個因數的符號有幾種情況？

②兩個因數同號，積的符號與因數的符號、積的絕對值與因數的絕對值之間分別有什么關系？兩個因數異號呢？

③如果有一個因數是0，積是多少？

（7）交流、概括有理數的乘法法則.

設計意圖 目的在于引導學生在認真觀察根據前面四個探究活動得到的四個式子的特點，分別就兩個因數都是正、一正一負、一負一正及兩個因數都是負數相乘的情況，引導學生發現積的符號與兩個因數的符號，積的絕對值與兩個因數的絕對值之間所存在的關系.問題（4）（5）分別是一個乘數為0的情形，借助水位標尺圖直觀地得出負數與0相乘也得0.綜合以上情況，教科書讓學生猜測出有理數乘法法則.

學生在完成上述問題的過程中，經歷了特殊到一般、具體到抽象的認識過程，不僅能探索出有理數的乘法法則，而且有助于學生探究發現能力、數學抽象能力、語言表達能力的提升，還能感悟到數形結合、分類、轉化的思想方法.

事實上，大部分數學規律都可以讓學生在數學化的過程中自主獲得，在探究新知的過程中不知不覺地提升了學生的數學抽象能力.

2 解決問題的過程

《課標（2022年版）》指出，“數學的應用滲透到現代社會的各個方面，直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展”［1］1.“數與代數”領域的許多內容都來源于生活，又服務于生活.

在“數與代數”領域的學習中，教師要善于創設一些實際問題，學生在學完各種具體知識后，經歷問題情境、建立模型、求解驗證的過程，并在根據“問題情境”中數學問題建立代數模型的過程中，形成與發展抽象能力.這里的代數模型主要指：

2.1 方程模型

前面的案例1雖然是一元二次方程概念的建立過程，從案例設計的問題看，抽象的對象是三個具體方程，它們都是從實際問題引入的，建立具體方程的目的是為了求解實際問題.所以一元二次方程方程概念就是為了解決生產、生活的許多問題而引入的.在學習和生活中，需要建立各種具體方程解決的“問題”比比皆是.

2.2 不等式模型

《課標（2022年版）》對不等式的要求是“能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題”［1］56，在這個過程中，能培養學生建立“不等式”模型解決實際問題的能力，發展模型觀念.

案例3 平板的標價在什么范圍內？

某型號的平板進價為1800元/個，商店按照標價的八折出售，所得利潤仍不低于實際售價的10%，你知道每個平板的標價范圍嗎？

解析

設每個平板的標價為x元，則售出一個平板的利潤不低于（10%×80%x）元.根據題意，得80%x-1800≥10%×80%x.解這個不等式得x≥2500元.

設計意圖

以“不等式”為載體，培養學生的應用意識，形成模型觀念.學生在解答本題的過程中，進一步認識到現實世界存在的數量關系中，既有等量關系，也有不等量關系.不等式是揭示不等關系的模型，通過建立不等式模型可以解決實際問題.在用不等式模型解決實際問題的過程中，培養學生的模型觀念、抽象能力以及應用意識.

2.3 函數模型

函數是“數與代數”領域的重要內容，也是重要的數學模型.初中階段主要學習三種函數：一次函數、反比例函數及二次函數.《課標（2022年版）》對“函數”主題的課程內容都提出了建立函數模型解決實際問題的要求，例如“能用一次函數解決簡單實際問題”“能用反比例函數解決簡單實際問題”“會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題”［1］57.

在學生掌握了各種函數的性質后，教師都要設計一些實際問題，引導學生把實際問題抽象、轉化為數學模型，然后通過解答數學模型達到解決實際問題的目的.

案例4 （蘇科版教材）鉛球從拋出到落地走過距離問題.

運動員擲一枚鉛球，鉛球拋出時離地面的高度為53m，拋出后，鉛球行進的路線是一段拋物線，行進時距離地面的最大高度是3m，此時鉛球沿水平方向行進了4m.求鉛球從拋出到落地走過的水平距離.

簡解

建立如圖6所示的直角坐標系，以點A所在的鉛垂線為y軸，y軸與水平地面的交點記為點O，射線OA的方向為y軸的正方向.鉛球的落地點為C點，直線OC為x軸，射線OC的方向為x軸的正方向，x軸、y軸均以1m為單位長度.由題意可知，拋物線的頂點B的坐標是（4，3）.拋物線的表達式為y=a（x-4）2+3.

這里，y表示鉛球運行時離地面的高度，x表示鉛球沿水平方向運行的距離.

把x=0，y=53代入y=a（x-4）2+3，解得a=-112.拋物線的表達式為y=-112（x-4）2+3.

令y=0，得-112（x-4）2+3=0，解得x1=-2（不合題意，舍去），x2=10.

所以，鉛球從拋出到落地走過的水平距離為10m.

設計意圖 本題從學生的生活現實出發，以“投擲鉛球”為背景，體現了數學、數學內在知識與現實世界中的現象之間的聯系.解答時，需要學生先根據已知條件，建立二次函數的數學模型，利用待定系數法，求出此函數的表達式，然后將問題轉化為解方程加以解決.本題的解答過程綜合運用了建立坐標系、確定二次函數的表達式、二次函數圖象、二次函數的最大（?。┲岛徒庖辉畏匠痰戎R.

本題在學習了二次函數的性質之后，引導學生進行解答，可培養學生的抽象能力、應用意識，促進模型觀念的形成.解題的關鍵是建立二次函數模型和一元二次方程模型.這樣的問題有助于學生閱讀理解能力、運算能力、抽象能力的培養，也有助于培養應用意識和模型觀念，還有助于學生進一步感悟到數形結合的思想.

從以上的論述看，在數學學習中，學生需體驗知識的形成過程和解決問題的過程，不經歷“過程”就沒有培養抽象能力的“機會”.教學中，教師認真研讀《課標（2022年版）》和教材，精心創設學生自主學習、應用知識解決問題的過程，在經歷過程中不斷提升學生的抽象能力，進而提升數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：7.

［2］曹才翰，章建躍．數學教育心理學［M］．3版．北京：北京師范大學出版社，2014：112.

［3］李樹臣.加強抽象推理模型教學，落實數學教學核心目標中［J］.中學數學雜志，2017（4）：11-14.

［4］張金良.解密數學抽象，探索教學策略［J］.數學通報，2019（08）：23-26，封底.

［5］劉春艷，馮啟磊.基于數學抽象的概念形成：模型與案例［J］.數學通報，2021（06）：20-25，29.

作者簡介 朱月紅（1970—），女，江蘇泰州人，教育碩士，江蘇省特級教師;主要從事初中數學教育教學和研究.