2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)及工作性能分析

豐曉東, 趙耀虹, 李瑞琴, 賀陽(yáng)濤, 張磊

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 太原 030051)

較近年來(lái),并聯(lián)機(jī)構(gòu)在機(jī)械加工、運(yùn)動(dòng)模擬、包裝生產(chǎn)等領(lǐng)域的應(yīng)用日漸廣泛,相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu),并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)緊湊、重載多載、精準(zhǔn)穩(wěn)定等[1-2]特性頗受重視,具有很高的可行性和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。物流包裝產(chǎn)線現(xiàn)今單量增勢(shì)明顯,為提高分揀配送效率和精度,縮短人工周期成本,并聯(lián)機(jī)構(gòu)足以適用大多數(shù)貨件流水線的分揀封裝要求。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)已成為高剛度、高精度或者較大載荷需求領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點(diǎn),并在相關(guān)方面取得一定進(jìn)展。李佳霖等[3]對(duì)3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在球副處添加角度傳感器,分析其運(yùn)動(dòng)特性,解決了解析法的全部解中會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)根和無(wú)效根的問(wèn)題。李澤輝等[4]提出一種具有3個(gè)平動(dòng)自由度的2-CRR/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu),計(jì)算該機(jī)構(gòu)的位置逆解并進(jìn)行速度分析。賀陽(yáng)濤等[5]設(shè)計(jì)一種2-PCR_2-UPS非對(duì)稱的并聯(lián)機(jī)構(gòu),結(jié)合MATLAB與Adams分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有連續(xù)性和平穩(wěn)性。Du等[6]對(duì)U-PRU-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用雅可比代數(shù)法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正、逆解分析,通過(guò)自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。Chablat等[7]設(shè)計(jì)一種兩自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2USP-U,分析其兩組設(shè)計(jì)參數(shù)下直接運(yùn)動(dòng)學(xué)解的個(gè)數(shù)。Song等[8]分析一種具有2R1T運(yùn)動(dòng)性能的對(duì)稱3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu),并對(duì)其進(jìn)行尺寸優(yōu)化。王韜略等[9]提出2T1R三自由度的雙層并聯(lián)機(jī)構(gòu),與Adams仿真對(duì)比驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。林浩等[10]針對(duì)育秧機(jī)中鋪盤調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用需求,提出一種平行支鏈的3-PPR并聯(lián)機(jī)構(gòu),并展開運(yùn)動(dòng)學(xué)研究。郝亮亮[11]利用MATLAB和比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制仿真分析3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型,優(yōu)化鋰電池包裝機(jī)的運(yùn)動(dòng)精度。武曉軒等[12]以2UU-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,使用蒙特卡洛法求解工作空間并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)工作空間的影響。Han等[13]對(duì)2P3RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間邊界奇異、內(nèi)部奇異、結(jié)構(gòu)奇異進(jìn)行研究,驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)不具備奇異位形。馬春生等[14]基于2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)靜平臺(tái)尺寸及運(yùn)動(dòng)副布局的改變,分析其對(duì)工作空間的影響。于紅英等[15]研究了3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解與工作空間,驗(yàn)證了以支鏈角度分析位置與工作空間的正確性和可行性。Khalifa等[16]提出了一種3自由度的并聯(lián)機(jī)械手,利用運(yùn)動(dòng)/力傳遞率指標(biāo)對(duì)工作空間進(jìn)行評(píng)估,驗(yàn)證其運(yùn)動(dòng)性能的可行性。上述研究由于機(jī)構(gòu)自身運(yùn)動(dòng)特性以及工作空間的限制,使得在實(shí)際工程應(yīng)用中無(wú)法同時(shí)實(shí)現(xiàn)較大的轉(zhuǎn)動(dòng)角度和工作范圍。

目前物流分揀裝箱方式仍是以人工分揀或半自動(dòng)機(jī)械分揀為主,靈活程度相對(duì)較低,仍需人員調(diào)配協(xié)助。故提出一種具有3自由度的2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu),可滿足物流工程中不同規(guī)格貨件的揀選需求,提高分揀工序的自動(dòng)化效率。

1 2-CPR/RPU機(jī)構(gòu)構(gòu)型及自由度分析

2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、1條RPU支鏈以及2條CPR支鏈組成。其中,CPR支鏈分別與靜平臺(tái)對(duì)應(yīng)兩邊相連且呈對(duì)稱排布,圓柱副C的軸線與其同分支的轉(zhuǎn)動(dòng)副R軸線平行,由移動(dòng)副P相連RPU支鏈中虎克鉸U位于動(dòng)平臺(tái)一邊的中心位置上,R副軸線與相鄰的C副軸線相垂直,如圖1所示。

圖1 2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2-CPR/RPU parallel mechanism

圖2 2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of 2-CPR/RPU parallel mechanism

基于螺旋理論[17]對(duì)2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行求解,首先先將該機(jī)構(gòu)支鏈分解,然后對(duì)各支鏈分別進(jìn)行局部坐標(biāo)系建立并展開。對(duì)支鏈RPU建立局部坐標(biāo)系OⅡ-x2y2z2,如圖2所示,其y2軸沿R副軸線方向與靜坐標(biāo)系y軸平行,z軸垂直向上,依據(jù)右手定則確定x2軸方向,可知運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(1)

式(1)中:$1～$4為RPU支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋;c、s分別為移動(dòng)副在x2和z2方向的單位矢量分量。

對(duì)式(1)求約束反螺旋可知,支鏈RPU的約束螺旋系為

(2)

由于CPR兩條支鏈關(guān)于x軸對(duì)稱排布,因此對(duì)其中一條分支建立局部坐標(biāo)系OⅠ-x1y1z1,如圖2所示,其x1軸沿C副軸線方向與靜坐標(biāo)系x軸平行,可知其運(yùn)動(dòng)螺旋系分別為

(3)

式(3)中:$1～$4為CPR支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋;e、f分別為移動(dòng)副在y1和z1方向的單位矢量分量。

對(duì)式(3)求約束反螺旋可知,支鏈CPR的約束螺旋系為

(4)

結(jié)合式(2)、式(4)可知,2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的公共約束螺旋系,對(duì)其反螺旋求解可得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(5)

式(5)表明機(jī)構(gòu)共有3個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋,即有3個(gè)自由度,分別是沿z軸方向上的移動(dòng),繞x軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿x軸方向的移動(dòng)。

利用修正的Kutzbach-Grübler公式[式(6)]對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行解析計(jì)算。

(6)

結(jié)合式(2)和式(4)可知,機(jī)構(gòu)存在一公共約束,即d=5;存在一過(guò)約束,即v=1;不具備局部自由度,故ζ=0;則求解可知M=3,與螺旋理論所判斷機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度的結(jié)果相符合。

2 2-CPR/RPU機(jī)構(gòu)位置逆解

位置逆解是指已知?jiǎng)悠脚_(tái)上確定一點(diǎn)的位置姿態(tài)輸出求解機(jī)構(gòu)中輸入表達(dá)式的過(guò)程。該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為已知靜平臺(tái){OA}坐標(biāo)系下,動(dòng)平臺(tái){OB}坐標(biāo)系中點(diǎn)OB位姿(xyzαβγ),求取各桿輸入桿長(zhǎng)參數(shù)l1、l2、l3的值,采用封閉矢量[18]對(duì)機(jī)構(gòu)支鏈進(jìn)行逆解分析。

2.1 RPU支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

已知靜平臺(tái)中心OA、動(dòng)平臺(tái)中心OB、動(dòng)平臺(tái)尺寸等長(zhǎng)為2r、定平臺(tái)尺寸等長(zhǎng)為2R、A2B2為RPU分支中移動(dòng)副的位移量。

在靜坐標(biāo)系OA-xyz中,A2的坐標(biāo)為

A2=(R,0,0)

(7)

動(dòng)坐標(biāo)系OB-xyz中,B2的坐標(biāo)為

B2=(r,0,0)

(8)

采用z-y-x歐拉角表示動(dòng)平臺(tái)點(diǎn)Bi相對(duì)于靜平臺(tái)點(diǎn)Ai的旋轉(zhuǎn)變換矩陣R,設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞OB-z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為γ,繞OB-y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為β,繞OB-x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α,則旋轉(zhuǎn)矩陣R可表示為

(9)

式(9)中:c為cos;s為sin。

可知,B2在靜坐標(biāo)系下用B′2表示,則有

(10)

由于機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)繞y軸和z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,故β=0,γ=0,解得B′2表示坐標(biāo)為

B′2=(r+x,y,z)

(11)

支鏈RPU存在約束方程l2=|B′2-A2|,求解可知逆解。

(12)

2.2 CPR支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

對(duì)兩條CPR支鏈進(jìn)行分析,CPR-Ⅰ、CPR-Ⅲ支鏈C副具體位置沿x軸方向,且位置隨動(dòng)平臺(tái)同時(shí)移動(dòng)無(wú)法確定,建立相應(yīng)外積關(guān)系為

(13)

(14)

在OA-xyz坐標(biāo)系下,點(diǎn)Ci(i=1,2,3,4)為

C1=(-R,-R,0),C2=(R,-R,0),

C3=(R,R,0),C4=(-R,R,0)

(15)

由于兩條CPR支鏈中運(yùn)動(dòng)副的軸線均平行,A1B1OB處于同一平面內(nèi)且與C副軸線相垂直,同理,A3B3OB也處于同一平面內(nèi),點(diǎn)Ai(i=1,3)坐標(biāo)為

A1=(x,-R,0),A3=(x,R,0)

(16)

動(dòng)坐標(biāo)系OB-xyz中,Bi(i=1,3)的坐標(biāo)為

B1=(0,-r,0),B3=(0,r,0)

(17)

通過(guò)式(9)旋轉(zhuǎn)變換可得點(diǎn)Bi(i=1,3)在{OA}坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(18)

機(jī)構(gòu)本身存在的約束關(guān)系為

(19)

式(19)中:C1C2、C2C3分別為靜平臺(tái)相鄰兩邊的邊長(zhǎng)矢量;A1OB為動(dòng)平臺(tái)幾何中心到圓柱副C的距離;A2OB為動(dòng)平臺(tái)幾何中心到轉(zhuǎn)動(dòng)副R的距離。

解得y=-ztanα。

由式(13)～式(19)可得桿l1、l3的逆解方程分別為

(20)

(21)

3 速度雅可比矩陣分析

Jacobian矩陣反映的是執(zhí)行器末端即動(dòng)平臺(tái)輸出空間的速度與各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)輸入空間的速度映射關(guān)系,對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行速度分析。

用已知的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)逆解方程組對(duì)等式兩側(cè)關(guān)于時(shí)間t同時(shí)求導(dǎo),推導(dǎo)輸入與輸出的速度表達(dá)式為

(22)

式(22)中:Jt和G可分別表示為

(23)

(24)

式(23)中Jt的各矩陣元素Mi可表示為

(25)

式(24)中G的各矩陣元素Gii可表示為

(26)

若Jt非奇異即|Jt|≠0,則有映射表達(dá)式為

(27)

4 機(jī)構(gòu)奇異性分析

奇異性作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中使得輸出運(yùn)動(dòng)處于一種臨界狀態(tài)的固有特性,其存在則會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能一定程度的影響。處于奇異位形的機(jī)構(gòu)正常運(yùn)動(dòng)受阻,穩(wěn)定性下降亦或位姿改變致使自由度發(fā)生變化,都會(huì)使機(jī)構(gòu)無(wú)法正常工作。機(jī)構(gòu)奇異主要有運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解奇異、正解奇異及混合奇異3種情況,可通過(guò)雅可比矩陣中的Jt和G是否為奇異矩陣進(jìn)行分析判別。

4.1 逆解奇異

|Jt|=0,|G|≠0時(shí),則會(huì)引起機(jī)構(gòu)逆解奇異。機(jī)構(gòu)各支鏈驅(qū)動(dòng)輸入位移為0,執(zhí)行器末端(動(dòng)平臺(tái))受約束處于臨界卡死狀態(tài),稱為邊界奇異。計(jì)算可知|Jt|=0存在有3種情況,即

(28)

分析可知,機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)支鏈的角度以及位移具有限制,li(i=1,2,3)不會(huì)出現(xiàn)為0的情況,則z≠0,故不會(huì)出現(xiàn)逆解奇異。

4.2 正解奇異

|Jt|≠0,|G|=0時(shí),則會(huì)引起機(jī)構(gòu)正解奇異。計(jì)算可知|G|=0存在有2種情況,具體如下。

(1)第一種情況可表示為

2(r+x-R)=0

(29)

求解得到x=R-r,支鏈Ⅱ則同時(shí)垂直于動(dòng)靜平臺(tái),結(jié)合機(jī)構(gòu)尺寸不符合此條件,不會(huì)發(fā)生此類奇異。

(2)G的矩陣元素G1i(i=1,2,3)和G3i(i=1,2,3)對(duì)應(yīng)成比例,求解得到r=0,R=0,結(jié)合機(jī)構(gòu)尺寸不符合此條件,因而該機(jī)構(gòu)不存在正解奇異。

4.3 混合奇異

|Jt|=0,|G|=0時(shí),則會(huì)引起機(jī)構(gòu)混合奇異。基于以上所述,同時(shí)滿足上述所有條件才可能出現(xiàn)混合奇異,此時(shí)機(jī)構(gòu)將失去全部自由度。由于機(jī)構(gòu)自身尺寸條件限制,故該機(jī)構(gòu)不會(huì)發(fā)生混合奇異。

綜上所述,2CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定結(jié)構(gòu)尺寸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不存在3種奇異位形。

5 工作空間

工作空間即為執(zhí)行端機(jī)構(gòu)所能到達(dá)的位置集合,能夠直觀地將機(jī)構(gòu)實(shí)際工作性能的優(yōu)劣占比進(jìn)行衡量[19]。支鏈驅(qū)動(dòng)副的移動(dòng)范圍,旋轉(zhuǎn)副角度的轉(zhuǎn)動(dòng)程度以及機(jī)構(gòu)是否奇異都將作為直接影響工作空間的主要因素。以2-CPR/RPU機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)作為參考點(diǎn),采用數(shù)值搜索法[20],給定機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參考值:靜平臺(tái)邊長(zhǎng)為600 mm,動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)為200 mm。約束移動(dòng)副與轉(zhuǎn)動(dòng)副的活動(dòng)范圍,設(shè)定其移動(dòng)位移及擺動(dòng)角度:支鏈Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的初始長(zhǎng)度為400 mm,最大伸長(zhǎng)量是820 mm;其C副繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的限制-60°～60°,R副繞y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)限制為0°～90°。代入點(diǎn)的位置參數(shù)求出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,經(jīng)由MATLAB計(jì)算進(jìn)而選取機(jī)構(gòu)所有符合條件的點(diǎn)位,點(diǎn)的集合即為所求工作范圍。利用scatter函數(shù)繪制工作空間,得到圖3所示的最后結(jié)果。

圖3 2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.3 Workspace of 2-CPR/RPU parallel mechanism

分析圖3可知,2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)沒(méi)有奇異位置,在yOz平面內(nèi)動(dòng)平臺(tái)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度最大為60°,內(nèi)部連續(xù)無(wú)空洞,具有較大范圍的工作空間。

6 工程有限元分析

當(dāng)前物流產(chǎn)線上的貨件形狀各異、大小不一,且揀選方式仍依賴于人工調(diào)配,擺放位置無(wú)序雜亂,分揀效率低下。在實(shí)際分揀過(guò)程中,不規(guī)則形狀的貨件占比約1/2,多數(shù)貨件的自然傾角在45°以內(nèi)。提出的2-CPR/RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu),轉(zhuǎn)動(dòng)角度最大可至60°,能夠滿足不同規(guī)格貨件的揀取。如圖4所示,分揀機(jī)構(gòu)在產(chǎn)線運(yùn)行過(guò)程中,組合吸盤位于動(dòng)平臺(tái)中心位置,當(dāng)貨件隨輸送線運(yùn)送至機(jī)構(gòu)下方時(shí),吸盤沿z軸下移并繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)至與貨件傾面相平行處開始吸附,然后回升沿x軸移動(dòng)到相接輸送線上方,再次沿z軸下移并松壓放置,完成分揀作業(yè)。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)持物分揀Fig.4 Parallel mechanism clamping cargo sorting

實(shí)際應(yīng)用中,一般快件、包裹重量不超過(guò)20 kg,橫向周長(zhǎng)不超過(guò)1 500 mm。將機(jī)構(gòu)模型導(dǎo)入ANSYS中并設(shè)定該機(jī)構(gòu)材料為鋁合金,添加靜平臺(tái)固定約束,動(dòng)平臺(tái)載荷為50 kg(490 N),分析得到該機(jī)構(gòu)水平揀選時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變,如圖5所示;以及當(dāng)其進(jìn)行擺角揀選時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變,如圖6所示。

圖5 機(jī)構(gòu)水平載物分揀時(shí)的有限元分析Fig.5 Finite element analysis of mechanism horizontal load sorting

圖6 機(jī)構(gòu)擺角載物分揀時(shí)的有限元分析Fig.6 Finite element analysis of mechanism swing angle load sorting

綜上可知,該機(jī)構(gòu)承重性能良好,形變較小,可滿足大多產(chǎn)品在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的分揀運(yùn)輸,提升配送傳輸質(zhì)量,具有較好的實(shí)用性和可行性。

7 結(jié)論

(1)提出一種三自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-CPR/RPU,建模且通過(guò)螺旋理論分析得知機(jī)構(gòu)具有2T1R型的運(yùn)動(dòng),即沿x、z軸方向上的移動(dòng)以及繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng),并根據(jù)修正的Grübler-Kutzbach公式驗(yàn)證。求解該機(jī)構(gòu)的位置逆解表達(dá)式,進(jìn)而推導(dǎo)其關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)輸入與平臺(tái)輸出的速度關(guān)系。

(2)通過(guò)代數(shù)法分析奇異位形存在的條件,滿足機(jī)構(gòu)本身尺寸的情況下表明機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中并不存在奇異性,運(yùn)動(dòng)性能良好。數(shù)值搜索法分析該機(jī)構(gòu)的工作空間,觀察結(jié)果得出機(jī)構(gòu)工作范圍和轉(zhuǎn)角較大,工作空間內(nèi)部連續(xù)無(wú)空洞。

(3)結(jié)合物流分揀實(shí)例,通過(guò)有限元分析可以得到機(jī)構(gòu)載物分揀過(guò)程中形變范圍較小、承重能力較高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較好。該機(jī)構(gòu)在實(shí)際作業(yè)中可替代人工在多數(shù)物流包裝領(lǐng)域進(jìn)行揀選工作。