驚訝與有趣：平方差公式的再創造

文／陜西省西安高新第一中學初中校區 鄧橡逸格

上學期，我們學了平方差公式。我嘗試對a2-b2=（a+b）（a-b）進行分解，但是無論怎樣計算，都只停留在a2-b2=a2+abab-b2。

在前些天的一節數學課上，老師出了一道題，最終化簡后得到82-72。這個答案顯而易見，是15。這時，我發現15恰好是7 和8 的和！我很驚訝，便接著算了下去：72-62=7+6，122-112=12+11……我似乎發現了一個有趣的現象：a2-（a-1）2=a+a-1=2a-1。

于是，我決定把1 擴展到正整數范圍內。我先做了幾次嘗試：

我設a為正整數，n為兩項之差，猜想a2-（a-n）2=n（2a-n）。將a擴展到整數范圍呢？如果a=0 呢？我試了幾次，仍成立。于是，我猜測，a2-（a-n）2=n（2a-n）（a、n為有理數）。

那么，怎么證明呢？我這樣分解平方差公式：a2-b2=a2-［a+（b-a）］2=a2-a2-2a（b-a）-（b-a）2=2a（a-b）-（a-b）2=（a-b）［2a-（a-b）］，即a2-（a-n）2=n（2a-n）。或者，a2-（a-n）2=a2-（a2-2an+n2）=a2-a2+2an-n2=2an-n2=n（2a-n），得證。

這樣，我就用另外一種方式將a2-b2進行了因式分解。這可以作為當兩數差值較小時，其平方差的快捷計算方式。

瞧，又是一次有趣又充滿驚喜的探索！

教師點評

小作者通過觀察“82-72=8+7”這種特殊現象，提出了一種在“兩數差值較小時”實現快速且準確計算的新方法。我們希望通過分享這一發現的提出及其解決的過程，為大家在數學學習的道路上開啟一扇新的窗戶。從這里，我們也一定能體會到發現問題所蘊含的學習價值是深遠且廣泛的，它遠比單純解決問題更為重要。期待同學們在品讀中有所啟發。