基于深度學習 滲透核心素養

范丹妮

深度學習是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[1].

數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[2].

如何開展教學才能更好地推動學生深度學習、發展學生核心素養呢？教師需要在把握數學本質的同時，兼顧學生的思維規律與教學的基本規律，創設恰當的情境，讓學生圍繞揭示本質的問題展開深度學習.筆者設計了“n次方根與分數指數冪”的教學案例，供讀者參考.

1 教材內容解析

本節課是人教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊第四章第4.1.1節——n次方根與分數指數冪，其中n次方根的概念是為引出分數指數冪而做的必要鋪墊.結合前面分數學習的經驗，要想定義分數指數冪必須先定義單位分數指數冪a[SX（]1[]n[SX）]，而分數指數冪又可以看成是方根的另一種表示：

a[SX（]1[]n[SX）]=[KF（S]n[]a[KF）].可見n次方根與分數指數冪是統一的，且以分數指數冪的形式表示根式，為后續運算帶來了便捷.本節課的主要任務就是把整數指數冪推廣到分數指數冪，這對學生學習指數與指數函數的相關內容起到承上啟下的作用：一方面，它是學生學習平方根、立方根以及整數指數冪已有經驗的延伸；另一方面，指數的推廣為學生后續學習指數函數作了必要的鋪墊.

教學線索如圖1所示：

2 教學分析

2.1 教學目標

（1）理解根式的意義，掌握根式的性質.

（2）掌握分數指數冪的定義及其與根式之間的互化.

（3）掌握并能夠初步運用分數指數冪的運算性質.

2.2 教學重難點

重難點：n次方根的概念及性質、分數指數冪的意義、根式與分數指數冪的互化、有理數指數冪的運算性質.

重難點突破：以初中學習的根式為切入點，類比歸納出n次方根的概念.結合具體例子，從特殊到一般，引導學生得出n次方根的性質，而平方根、立方根的性質則可以進一步推廣到n次方根的性質，授課時，充分利用平方根、立方根、四次方根，突破學生對n次方根性質的掌握.分數指數冪是對指數概念的進一步推廣，課堂上可結合具體例子讓學生理解其定義的合理性，明確它其實是根式的另一種表現形式，在根式與分數指數冪的互相轉化中鞏固理解.有理數指數冪的運算性質與初中學過的整數指數冪的運算性質一致，學生學習起來應該不難.

教學線索如圖2所示：

3 育人價值

通過n次方根、分數指數冪的概念的學習，體會從特殊到一般的思想，培養數學抽象、直觀想象素養.通過對n次方根性質的探究，體會分類討論思想方法，培養邏輯推理素養.通過由整數指數冪的性質得到分數指數冪的性質，體會指數冪的推廣過程中，運算性質的前后一致性，培養邏輯推理、數學運算素養.

從更宏觀的視角來看，回顧學生在小學階段學習數的過程，從正數到負數，到有理數，最后到無理數，而指數冪的推廣恰恰也是按照同樣的路徑展開，從正整數指數冪到負整數指數冪，到分數指數冪（下節課還會推廣到到無理數指數冪），這體現了研究數學問題的前后一致性和邏輯連貫性以及數學的嚴謹性，是發展學生理性思維的良好載體.這對發展學生“四基”“四能”，提升數學核心素養都具有非常積極的作用.

4 教學過程

4.1 新課導入

師：考古學家通過檢測良渚遺址中碳14的殘留量推斷古城存在時期的過程中，用到了指數函數相關知識，指數函數在日常生活中應用廣泛，同時也是我們將要學習的重要基本初等函數之一.在學習指數函數前，需要先將指數的取值范圍從初中的整數集拓展到實數集.上一章，我們將冪函數c=.是否還有其他形如S這樣以分數為指數的冪呢？如果有，它們又表示什么？這就是我們本節課要學習的內容——n次方根與分數指數冪.

設計意圖：“深度學習”強調引導學生主動參與學習活動，親身經歷知識發現、發生、發展的過程，形成豐富的內心體驗[3].這里以考古學家測定古城時間問題為引入，增強課堂趣味性，有利于提升學生的主動性.從學生的最近發展區出發，啟發學生從特殊的S展開思考，讓其經歷知識發生的過程.

4.2 探究新知（一）

師：初中我們學過平方根和立方根，請同學們回顧一下它們的定義.

生：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.

生：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.

師：如果x4=a呢？仿照前面，你認為x叫做a的什么？能舉個例子嗎？

生：四次方根！比如±2是16的四次方根，因為（±2）4=16.

師：進一步推廣，能否得出n次方根的概念？

生：如果xn=a，可以把x叫做a的n次方根.

師：n有沒有范圍？

生：n>1，n∈N*.

師：請思考，一個數的n次方根可能有幾個？如何表示它們？我們先從特殊情況展開.

設計意圖：一方面，從平方根、立方根入手引出n次方根.激活了學生的已有經驗，但這并不是最終目的.經驗的改造、提升并使之理性化、抽象化，達到知識的高度、豐富度和自覺度才是目的[4].另一方面，明確接下來要研究的問題，引導學生在具體實例中關注問題的答案，而非盲目參與活動.

師：23=8，2是8的立方根，33=27，3是27的立方根，能否說出其他類似的例子？

生：25=32，2是32的五次方根.

生：（－2）3=－8，-2是-8的三次方根.

師：能說說一個數的奇次方根的情況嗎？

生：一個數的奇次方根只有一個.正數的奇次方根也為正；負數的奇次方根仍為負.

師：仿照剛才的探究過程，我們來看看偶次方根的情況.（±2）2=4，±2是4的平方根，還有嗎？

生：（±2）4=16，±2是16的四次方根；（±3）4=81，±3是81的四次方根.

師：有沒有一個數的平方等于-4？-16？或者有沒有一個數的四次方等于-81？

生：沒有.任意實數的偶次方必是非負數，負數均不存在偶次方根.

師：那么正數是否存在偶次方根呢？如果存在，有幾個？

生：存在，而且有兩個，二者互為相反數.如±2是4的平方根.

師：一個數的n次方根的情況與什么有關？

生：與這個數的正負以及n的奇偶有關.

設計意圖：從聯想與結構的角度思考深度學習，可以通過喚醒學生已有的經驗來推進本節課的教學，在當下的學習內容與已有的經驗之間搭建橋梁，處理好學生已有經驗——平方根、立方根與新授知識——n次方根之間的過渡與轉化.其實，把平方根、四次方根的性質推廣就得到了偶次方根的性質，把立方根的性質推廣就得到了奇次方根的性質.

師：有了新的概念，如何用符號語言表示一個數的n次方根呢？

師：我們可以參考平方根、立方根的符號表示.當n是奇數時，將a的n次方根記為?n?a?；當n是偶數時，將正數a正的n次方根記為?n?a?，負的n次方根記為－?n?a?，?n?a?與－?n?a?可以放一起，記為±?n?a?.0的任何次方根都是0，記作?n?0?=0.把?n?a?稱為根式，n稱為根指數，a稱為被開方數.

師：能否用簡潔的符號語言表示發現的結論呢？

引導學生歸納，得到表1.

師：數學有三種語言，文字語言、符號語言和？

生：圖形語言！

師：上面的結論，能否用圖形語言來說明呢？看到xn=a，你會聯想到最近學的什么知識？

生：冪函數.

生：xn=a可以理解為y=xn的函數值為a.

師：能否從冪函數的圖象與性質的角度考慮上面的結論.

生：如果n為正奇數，易知y=xn為奇函數，其圖象關于原點成中心對稱；如果n為正偶數，則y=xn為偶函數，其圖象關于y軸對稱.

生：n為正奇數時，函數值為a，可以畫直線y=a，如圖3，此時y=xn的圖象與直線y=a有1個交點.當a>0，交點橫坐標為正數，即?n?a?；當a<0.交點的橫坐標為負數，即?n?a?；當a=0，交點為原點，橫坐標為0，即?n?0?=0.

生：n為正偶數時，由圖4可知，當a>0時，冪函數y=xn的圖象與直線y=a有兩個交點，交點橫坐標互為相反數，即±?n?a?；當a=0時，冪函數的圖象與直線y=xn有一個交點（原點），交點橫坐標為0；當a<0時，冪函數的圖象與直線y=xn沒有交點，即不存在這樣的x使得xn=a，即負數的偶次方根不存在.

設計意圖：課程標準中指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養[2].這里借助冪函數的圖象與性質，讓學生從不同角度理解n次方根，突破本節課的重難點，引導學生學會利用圖象理解和解決數學問題，發展學生直觀想象素養，滲透數形結合的數學思想.

師：說得非常好，從圖象的角度，更加直觀地闡述了我們發現的結論.接下來，n次方根有什么性質呢？根據n次方根的意義，可得（?n?a?）n=a.?n?an?表示an的n次方根，?n?an?=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么?n?an?等于什么？請同學們分小組探究.

生：成立，如?52?=5，?3?33?=3，?4?24?=2.

生：不一定成立，比如?（－5）2?=5，?4?（－2）4?=2.

師：哪個小組能總結一下？

生：當n為奇數時，?n?an?=a.當n為偶數時，?n?an?=|a|=?a，a≥0，－a，a<0.

設計意圖：“活動與體驗”是深度學習的核心特征，也是讓學生全身心投入知識發生發展過程的有效途徑.要想讓學生從被迫接受知識轉化為主動探求知識，就需要教師尋找合適的時機，為學生創造“活動”的機會，讓其切身經歷n次方根性質的發現過程.

4.3 探究新知（二）

師：結合n次方根的定義，可知?5?a10?=?5?（a2）5?=a2（a>0），a2中的2與?5?a10?中的5與10有什么關系？?4?a12?=?4?（a3）4?=a3（a>0），a3中的3與?4?a12?中的4與12有什么關系？

生：2可以寫成?10?5?，3可以寫成?12?4?，即?5?a10?=a?10?5?（a>0），?4?a12?=a?12?4?（a>0）.

師：我們發現，把根式的被開方數寫成冪的形式，如上面的a10，如果其指數恰好能被根指數整除，比如?5?a10?中?10?5?=2，就可以用分數指數冪來表示根式.但如果根指數不是根式被開方數指數的約數，如?3?a2?，它是否仍能用分數指數冪表示呢？

生：應該可以.

師：當a，b，c均為正數時，你認為?3?a2?，?b?，?4?c5?可以如何表示？

生：?3?a2?=a?3?2?，?b?=b?1?2?，?4?c5?=c?4?5?.

師：能否推廣到一般情況？

生：?n?am?=a?m?n?.

師：很好，這樣我們可以得到正數的正分數指數冪的意義，即a?m?n?=?n?am?（a>0，m，n∈N*，n>1）.正數的負整數指數冪的意義又是什么呢？5－2，2－3等于什么？

生：5－2=?1?52?，2－3=?1?23?.

師：類比正數的負整數指數冪的意義，你認為可以如何定義a－?m?n?？

生：a－?m?n?=?1?a?m?n??=?1??n?am??（a>0，m，n∈N*，n>1）.

師：參照之前0的整數指數冪的規定，0的正分數指數冪仍等于0，即0?m?n?=0，其中m，n∈N*，n>1，而0的負分數指數冪則無意義.有了分數指數冪的定義后，我們就將ax中指數的范圍從初中的整數集拓展到了本節課的有理數集.而之前學習的整數指數冪的相關運算性質，對于現在新學的有理數指數冪仍然適用，即對于任意的有理數r，s，都有：

（1）aras=ar+s（a>0，r，s∈Q）；

（2）（ar）s=ars（a>0，r，s∈Q）；

（3）（ab）r=arbr（a>0，r∈Q）.

4.4 總結提升

師：本節課我們學習了哪些知識？你有哪些收獲？你認為接下來我們還可以研究什么？

設計意圖：回顧學習過程，揭示研究路徑，啟發學生思考，為接下來無理數指數冪的學習做鋪墊.

5 教學反思

深度學習應關注不同學科之間、同學科內部的相互滲透和交融，多以真實情境為起點展開教學.從碳14的殘留量引入，體現了學科交融，也體現了數學廣泛的應用價值.從函數的觀點思考一個數的n次方根的情況，體現了學科內知識的前后聯系，同時也有助于學生的進一步理解，發展了直觀想象和邏輯推理素養.深度學習應突出深度思辨的思維指向，n次方根的性質涉及到分類討論，學生在探究的過程中，經歷了操作、猜想、思辨、聯想，這比知識本身更有價值，同時發展了數學運算素養和邏輯推理素養，培養了學生實事求是、敢于質疑的科學態度.

參考文獻：

[1]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11）：25-32.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]劉月霞.指向“深度學習”的教學改進：讓學習真實發生[J].中小學管理，2021（5）：13-17.

[4]郭華.深度學習：消解二元對立，建立普遍聯系——兼評俞正強“比的認識”一課[J].中國教師，2021（9），61-64.