數山探路悟法理學海駕舟求真知

吳景峰

1新題呈現

2023年高中數學命題比賽中，筆者受華南師范大學吳康教授將2022年新高考Ⅰ卷第22題拓展到四個交點情形的啟發，通過對高考原題進行改編，命制了如下一道導數壓軸題.

已知函數f（x）=axex－b和函數＿＿＿＿有相同的最大值.請在以下的函數①g（x）=axlnx－b，②g（x）=lnxax－b，③g（x）=lnx+ax－b中，恰當地選擇其中一個函數，把相應序號填寫到橫線中，并完成下列問題.（注意：只填寫一個序號.）

（1）求a;

（2）證明：存在實數b，使函數y=f（x），y=g（x）共有4個不同的零點，由小到大排序分別記為x1，x2，x3，x4，則x1+x4>2x2x3.

本題的題源是2022年新高考Ⅰ卷第22題，主要涉及利用導數研究函數性質的綜合性應用、函數與方程、基本不等式等知識，研究了函數的最值、零點等問題，考查了數形結合、分類與整合、轉化與化歸等數學思想及邏輯推理、數學運算等核心素養.

2命制過程

2022年新高考導數壓軸題頗有新意，以零點構成等差數列的新穎方式設問，考查創新思維.筆者發現類似的試題不常見，于是在此基礎上對指數函數及對數函數的常見組合函數作進一步探究，改編出此題及一些變式訓練題.

命制過程主要是發掘出題源中的同構關系，從而類比聯想到其他的常見函數，包括“和、差、商、積”型函數，如①f（x）=ex±x與g（x）=x±lnx，②f（x）=exx與g（x）=xlnx，③f（x）=xex與g（x）=lnxx，④f（x）=xex與g（x）=xlnx.

疑問：同樣具備同構關系的函數是否也有類似性質？于是在探究的過程中確定了命題方向，同時總結了改編命制試題的三個步驟，本次命題即按如下三步進行.

2.1類比推廣，初步改編

對題源的結論進行推廣后，再通過類比，改變條件得到新結論，從而對題源進行改編.由此命制的第一稿試題如下：

已知函數f（x）=axex和g（x）=lnxax有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實數b，使直線y=b與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.

說明：最初的改編稿，類比原題，對于接觸過原題的學生沒有太大新意，于是作進一步改編.

2.2探究加工，深度改編

在初步改編的基礎上，對試題作進一步探究，深挖出試題的本質，深度加工試題的條件和結論.由此命制的第二稿試題如下：

已知函數f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實數b，使函數y=f（x）有2個零點，記為x1，x2且x1

說明：把題目作更深一步拓展，但結論不夠優美簡潔，于是作進一步優化.

第三稿試題如下：

已知函數f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實數b，使函數y=f（x），y=g（x）共有4個不同的零點，由小到大排序分別記為x1，x2，x3，x4，則x1x4=x2x3.

說明：題目基本定稿，下一步是拓展試題的寬度，嘗試加入一些新元素.

2.3構建情境，創新改編

高考數學情境包括多種情境，如學習再現情境、學習關聯情境、綜合聯想情境、拓展遷移情境及模型識別情境等[1]，在命題時，可以構建適當的情境，把問題嵌入其中.本文的最終稿試題即在此啟發下命制出來.

說明：在第三稿試題的基礎上，以“結構不良試題”形式引進其他常見函數，構建模型識別情境，并對結論作進一步改編，得到前文的最終試題.

3試題分析與解答

3.1第（1）問的分析與解答

通過分析，第（1）問的思維導圖如圖1.

本題第（1）問的解答過程如下：

橫線填②.f（x）定義域為R，f′（x）=a（1－x）ex.若a≤0，則在（－∞，1）上f′（x）<0，在（1，+∞）上f′（x）>0，所以f（x）有最小值無最大值，故a>0.可知，當x∈（－∞，1）時f′（x）>0，函數f（x）單調遞增;當x∈（1，+∞）時f′（x）<0，f（x）單調遞減.故f（x）的最大值為ae－b.

g（x）定義域為（0，+∞），g′（x）=1－lnxax2.當x∈（0，e）時g′（x）>0，g（x）在（0，e）上單調遞增;當x∈（e，+∞）時g′（x）<0，g（x）在（e，+∞）上單調遞減.故g（x）最大值為1ae－b.所以ae－b=1ae－b，解得a=1.

點評：此問知識點源于人教A版數學新教材選擇性必修第二冊第五章5.3節，解法較常規.

3.2第（2）問的分析與解答

第（2）問，先結合方程與根的知識，如圖2分析零點個數問題；再聯想基本不等式將問題進行轉化，

即證明x1x4=x2x3，可得如圖3所示的思維導圖.

由上分析，本題第（2）問有三種證明方法，解答過程可掃碼查看.

4試題測試數據與分析

本題用在高三的周測進行測試，該校生源屬中等水平.試題滿分12分，該測試題平均分1.44，難度系數0.12，區分度0.1，由于周測套題的難度較大，能做到本題的學生較少.學生出現的問題主要有：①運算基礎不扎實，如第（1）問帶參求導出錯、忽略定義域的限制等.②解題不夠嚴謹.如第（2）問的四個零點，只考慮了其中一種而忽略了另一種；又如直接寫出a=1，沒有過程.③轉化能力不強，沒把零點問題轉化出來，導致找不到解題方向.因此，暴露了學生思維和運算等方面存在的問題.

5反饋練習

由于得分情況并不理想，因此在反饋練習中，可給學生搭建支架，讓學生“跳一跳，夠著桃”.

練習1（山東省淮坊市2023屆高三10月模擬試題第11題改編）已知函數f（x）=ex+x－2和g（x）=lnx+x－2的零點分別為x1，x2.

（1）證明：x1+x2=2;

（2）證明：x1lnx2+x2lnx1<0;

（3）證明：x1x2

（4）證明：x2lnx2－x1lnx1<2.

練習2（深圳部分學校2023屆高三年級9月份大聯考數學第22題）已知a>0，函數f（x）=xex－a，g（x）=xlnx－a.

（1）證明：函數f（x），g（x）都恰有一個零點;

（2）設函數f（x）的零點為x1，g（x）的零點為x2，證明x1x2=a.

練習3已知函數f（x）=ex－a（x－2）2，a>0，f′（x）為f（x）的導函數.

（1）討論f（x）的單調性，設f′（x）的最小值為m，并求證：m≤e2;

（2）若f（x）有三個零點，求a的取值范圍.

說明：三道習題層層遞進，適合學后反饋練習.

6試題的變式推廣

在學生學有余力的情況下，教師可引導學生對其他常見函數作進一步探究，從而把本試題進一步變式推廣，得到如下結論.

結論1函數f（x）=ex+x－b和g（x）=lnx+x-b

有：（1）二者具有同構關系f（lnx）=g（x），g（ex）=f（x）;（2）函數y=f（x），y=g（x）共有兩個不同的零點，記為x1，x2，且x1+x2=b.

結論2函數f（x）=[SX（]ex[]x[SX）]-b和g（x）=[SX（]x[]lnx[SX）]-b有：（1）符合結論1的同構關系，且二者右支有相同的最小值;（2）若函數y=f（x），y=g（x）共有三個不同的零點，由小到大記為x1，x2，x3，則x22=x1x3;（3）若函數y=f（x），y=g（x）共有四個不同的零點，由小到大記為x1，x2，x3，x4，則x1x4=x2x3.

結論3函數f（x）=xex-b和g（x）=xlnx-b有：（1）符合結論1的同構關系，且二者有相同的最小值;（2）若函數y=f（x），y=g（x）共有兩個不同零點，記為x1，x2，則x1x2=b;（3）若函數y=f（x），y=g（x）共有四個不同零點，由小到大記為x1，x2，x3，x4，則x1x3=x2x4=b.

說明：這些素材，可結合前文中改編命制試題的三步驟，命制新的試題，也可給學生探究.

7結束語

我國著名數學家華羅庚先生曾說：“出題比做題更難，題目要出得妙，出得好，要測得出水平.”命題是一次由內而外的工作，是一個將解題引向深人的研究過程.本次命題比賽，除了享受過程，筆者體驗了一回“確定考查目標、選擇恰當背景、構造試題雛形、打磨形成試題”的過程[2]，更重要的是發現自身不足.今后，筆者將以命制出富有創新、讓師生津津樂道的新題為目標不斷學習，繼續努力.

參考文獻：

[1]柯躍海.高考數學試題情境的創設實踐[J].中國考試，2020（6）：1-9.

[2]李志敏.如何設置恰當背景編造數學新題[J].數學通訊，2020（10）：54-56，60.