思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用

■福州市第十五中學(xué) 鄭雪麗

思維導(dǎo)圖是一種圖形化思維工具，通過關(guān)鍵詞、顏色和圖形展現(xiàn)信息的層次結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系，有助于提高記憶和理解能力。在初中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)中，解題不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)概念和計(jì)算技巧，而且要求他們能夠理解函數(shù)之間的關(guān)系以及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。思維導(dǎo)圖的引入，旨在幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念之間的連接，促進(jìn)深層次理解，并在此基礎(chǔ)上提高解題效率。然而，將思維導(dǎo)圖應(yīng)用于數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)過程中，存在一定的挑戰(zhàn)，特別是在教師的技能熟練度和學(xué)生的接受度方面。因此，探索有效的應(yīng)用策略，對于提升思維導(dǎo)圖在數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的實(shí)際效用具有重要意義。

一、思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

（一）有利于加強(qiáng)學(xué)生概念理解和信息整合能力

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中，思維導(dǎo)圖的價(jià)值在于加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。通過將函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象和應(yīng)用等核心內(nèi)容以圖示形式呈現(xiàn)，思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生直觀地捕捉數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系。這種圖形化的信息組織方式不僅提升了學(xué)生理解概念的深度，而且擴(kuò)展了他們對知識的廣度。通過思維導(dǎo)圖，這些信息能被有效地整合在一張圖中，幫助學(xué)生建立起各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系。這種視覺化的整合方式使得學(xué)生在掌握單一知識點(diǎn)的同時(shí)，也能夠形成對數(shù)學(xué)函數(shù)整體的把握。

（二）有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和培養(yǎng)創(chuàng)新思維

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式可能因其抽象和枯燥的特性而使學(xué)生感到挫敗。相比之下，思維導(dǎo)圖以其多彩、動態(tài)和可互動的特性，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。它引導(dǎo)學(xué)生以更主動的方式探索和建立知識之間的聯(lián)系。這種主動的學(xué)習(xí)態(tài)度對于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果至關(guān)重要。例如：通過思維導(dǎo)圖的應(yīng)用，學(xué)生可以更加主動地參與到函數(shù)的學(xué)習(xí)中，尋找不同函數(shù)之間的聯(lián)系和差異，從而在有趣的探索過程中加深對數(shù)學(xué)的理解。此外，思維導(dǎo)圖的應(yīng)用還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。在解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，不但要邏輯嚴(yán)密的推理，更要創(chuàng)新的視角來尋找解題的突破口。思維導(dǎo)圖允許學(xué)生自由添加元素和連接，鼓勵他們在發(fā)散思維和集中思維之間找到平衡，激發(fā)解題時(shí)的創(chuàng)新靈感。例如：學(xué)生可以在探索不同類型函數(shù)的共性和個性時(shí)，通過思維導(dǎo)圖進(jìn)行創(chuàng)新的思考，從而在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)有了新穎的解決方案。

二、思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）構(gòu)建數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，鞏固數(shù)學(xué)知識

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中，為鞏固數(shù)學(xué)知識，教師可以通過視覺化工具輔助學(xué)生掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和解題技巧。為此，教師要向?qū)W生介紹思維導(dǎo)圖的基本概念和構(gòu)建方法。例如：在探索二次函數(shù)時(shí)，學(xué)生可以圍繞函數(shù)的核心概念（如定義、圖象、性質(zhì)等）展開，將相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、圖形特點(diǎn)及其應(yīng)用場景等信息整合到導(dǎo)圖中，如圖1 所示。在這個過程中，教師不斷提供反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生在正確理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，有效運(yùn)用思維導(dǎo)圖來組織和記憶知識點(diǎn)。

圖1 二次函數(shù)思維導(dǎo)圖

此外，教師可以組織基于思維導(dǎo)圖的互動課堂活動，以二次函數(shù)為例，讓學(xué)生小組合作探究以下數(shù)學(xué)問題：探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a≠0）的圖象特征和頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法。

解題步驟：

1.理解基本概念：首先，小組成員共同討論二次函數(shù)的基本形式和一般特征，理解a、b、c這些參數(shù)對圖象的影響。

2.圖象繪制：運(yùn)用所學(xué)知識，手工或使用計(jì)算工具繪制二次函數(shù)圖象，觀察不同參數(shù)值下圖象的變化。

3.頂點(diǎn)坐標(biāo)探究：通過公式x=-—推導(dǎo)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

4.實(shí)例應(yīng)用：選擇具體的二次函數(shù)，如y=2x2-4x+1，運(yùn)用以上步驟確定其圖象和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

5.思維導(dǎo)圖制作：在思維導(dǎo)圖中展示二次函數(shù)的定義、圖象變化規(guī)律、頂點(diǎn)坐標(biāo)求法及實(shí)例應(yīng)用，確保所有重要信息被清晰記錄。

6.小組分享：每個小組展示他們的思維導(dǎo)圖和解題過程，相互學(xué)習(xí)、討論和提出改進(jìn)建議。

通過這種方式，學(xué)生在合作探究的過程中不僅能夠深入理解二次函數(shù)的核心概念，而且能夠?qū)W會如何用思維導(dǎo)圖有效地組織和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，從而提升他們的數(shù)學(xué)思維能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。有效的數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖還需要教師定期更新和優(yōu)化，以適應(yīng)教學(xué)進(jìn)度和學(xué)生的理解發(fā)展。隨著教學(xué)的深入，可以在思維導(dǎo)圖的適當(dāng)部分，添加二次函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。例如：指出在建筑學(xué)中，二次函數(shù)用于設(shè)計(jì)拱橋的弧線，這需要考慮到橋的跨度和高度，以確定最佳的拋物線形狀；在物理學(xué)中，二次函數(shù)用于計(jì)算投射物的最高點(diǎn)，這涉及初速度和加速度的關(guān)系；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二次函數(shù)可以描述成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系，分析最大利潤點(diǎn)。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力

為增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，優(yōu)化思維導(dǎo)圖設(shè)計(jì)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用并創(chuàng)新思維導(dǎo)圖，以促進(jìn)其發(fā)散性思維和解題技能的發(fā)展。應(yīng)用思維導(dǎo)圖時(shí)，首要策略之一是豐富教學(xué)資源。具體而言，教師可以建立一個包含豐富思維導(dǎo)圖模板和實(shí)例的資源庫，這個庫應(yīng)涵蓋思維導(dǎo)圖模板和實(shí)例。提供解題策略和案例的導(dǎo)圖，幫助學(xué)生理解如何應(yīng)用這些函數(shù)解決實(shí)際問題，同時(shí)要設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖教學(xué)活動方案。例如：在教授二次函數(shù)時(shí)，教師可以在線繪制函數(shù)圖象，標(biāo)注頂點(diǎn)、對稱軸，而學(xué)生則可以添加他們的解題步驟或問題解答。為了更有效地在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中應(yīng)用思維導(dǎo)圖，具體案例如下：

已知一次函數(shù)y=3x+2，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，且B 的橫坐標(biāo)為1。同時(shí)，通過點(diǎn)A（一次函數(shù)與y 軸的交點(diǎn)）作AC⊥y軸，交反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象于點(diǎn)C，如圖2所示。

圖2 函數(shù)圖象

此時(shí)，思維導(dǎo)圖的中心為解決兩個問題：求出反比例函數(shù)的表達(dá)式和計(jì)算三角形ABC的面積。

問題：通過讀題，你能找到哪些已知條件？

預(yù)設(shè)：一次函數(shù)y=3x+2，與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，且B的橫坐標(biāo)為1，AC⊥y軸。

追問1：如何求反比例函數(shù)的表達(dá)式？

預(yù)設(shè)：求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的表達(dá)式。

追問2：如何求點(diǎn)B的表達(dá)式？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)B是一次函數(shù)y=3x+2上一點(diǎn)，并且已知B的橫坐標(biāo)為1，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

追問3：如何求△ABC的面積？

預(yù)設(shè)：求出AC的長以及點(diǎn)B到AC的距離，利用三角形的面積公式可以求出。

追問4：如何求AC的長以及點(diǎn)B到AC的距離？

預(yù)設(shè)：根據(jù)AC⊥y 軸，能夠得到點(diǎn)A 的坐標(biāo).知道反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C 的坐標(biāo)，就能得到AC 的長度以及點(diǎn)B 到AC 的距離，最后求出面積。

本案例設(shè)計(jì)應(yīng)專注于直接提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和解題技能，教師引導(dǎo)學(xué)生通過案例研究，通過探討一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別，讓學(xué)生通過繪制思維導(dǎo)圖來比較和對比這兩種函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。

（三）應(yīng)用數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升

為了提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師需要在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)思維導(dǎo)圖的應(yīng)用，以確保思維導(dǎo)圖能夠有效地幫助學(xué)生提升在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等方面的能力。在數(shù)學(xué)抽象方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用思維導(dǎo)圖來整理和理解數(shù)學(xué)函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。例如：在教授二次函數(shù)的基本概念時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用思維導(dǎo)圖來整理二次函數(shù)的定義、公式、性質(zhì)等。如思維導(dǎo)圖中心是“二次函數(shù)”，分支包括“標(biāo)準(zhǔn)形式”“圖象特征”“頂點(diǎn)坐標(biāo)”等，幫助學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出通用規(guī)律。在邏輯推理方面，教師可以通過思維導(dǎo)圖展示二次函數(shù)概念之間的邏輯聯(lián)系，如公式推導(dǎo)、性質(zhì)證明等。思維導(dǎo)圖可以清晰地展示從“定義”到“性質(zhì)”再到“應(yīng)用”的邏輯路徑，幫助學(xué)生理解和運(yùn)用邏輯推理。如圖3 所示。在數(shù)學(xué)建模方面，在解決實(shí)際問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。例如：可以通過思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生識別和表示實(shí)際問題中的關(guān)鍵變量和它們的函數(shù)關(guān)系。在直觀想象方面，思維導(dǎo)圖中可以包含二次函數(shù)的圖象和關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)），并使用不同顏色或符號來區(qū)分不同類型的信息，這樣的視覺化表達(dá)有助于學(xué)生直觀理解函數(shù)的圖象特性。在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面，教師可以指導(dǎo)學(xué)生使用思維導(dǎo)圖整理和概括解決二次函數(shù)問題時(shí)的計(jì)算步驟和方法，如公式變換、方程求解等運(yùn)算步驟。在數(shù)據(jù)分析方面，如在分析二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，如物理運(yùn)動、市場分析等，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生使用思維導(dǎo)圖來分析和解釋數(shù)據(jù)。例如：通過思維導(dǎo)圖展示如何根據(jù)給定數(shù)據(jù)確定函數(shù)模型，以及如何解釋這些數(shù)據(jù)。

圖3 二次函數(shù)教學(xué)流程

此外，為了確保思維導(dǎo)圖的有效使用，教師還應(yīng)定期對學(xué)生的思維導(dǎo)圖進(jìn)行評估和反饋。教師在評估學(xué)生的思維導(dǎo)圖時(shí)，首先應(yīng)關(guān)注其內(nèi)容的準(zhǔn)確性和完整性。例如：在評價(jià)一個關(guān)于二次函數(shù)的思維導(dǎo)圖時(shí)，教師可以檢查是否包含了二次函數(shù)的基本定義、公式、性質(zhì)、圖象特征及應(yīng)用實(shí)例等關(guān)鍵要素。此外，教師還需檢查信息的邏輯組織是否清晰，比如是否合理地展示了從定義到性質(zhì)再到應(yīng)用的邏輯關(guān)系。同時(shí)，教師應(yīng)肯定學(xué)生在思維導(dǎo)圖設(shè)計(jì)上的創(chuàng)新和獨(dú)到之處。例如：如果學(xué)生在思維導(dǎo)圖中運(yùn)用了創(chuàng)意的圖形、顏色或符號來區(qū)分不同類型的信息，或者能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)概念通過簡潔的圖形或圖表形式表達(dá)，這些都是值得表揚(yáng)的創(chuàng)新之處。教師的肯定不僅能激勵學(xué)生繼續(xù)在思維導(dǎo)圖的應(yīng)用上進(jìn)行探索和創(chuàng)新，而且能幫助他們建立自信，進(jìn)一步提升解題能力和學(xué)習(xí)動力。通過這種評估和反饋，教師既能確保思維導(dǎo)圖工具被正確且高效地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，又能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、結(jié)語

綜上所述，思維導(dǎo)圖作為一種強(qiáng)大的視覺工具，幫助學(xué)生更清晰地理解和記憶復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念。教師在教學(xué)過程中的導(dǎo)圖構(gòu)建，輔助了學(xué)生掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和解題技巧的創(chuàng)新設(shè)計(jì)；對思維導(dǎo)圖的繪制，促進(jìn)了學(xué)生發(fā)散性思維和解題技能的發(fā)展；對學(xué)習(xí)步驟的精心調(diào)整，為學(xué)生構(gòu)建了一個更加高效和系統(tǒng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。這種教學(xué)方法的應(yīng)用不僅提升了課堂的互動性和學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，而且為培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力和未來學(xué)術(shù)成長打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。隨著教育技術(shù)的不斷進(jìn)步，這種以學(xué)生為中心的教學(xué)策略將繼續(xù)引領(lǐng)教育創(chuàng)新，為學(xué)生的全面發(fā)展提供支持。