典型二階系統的單純形法PID 參數優化設計

陳思岐， 李自成， 何汶璟， 劉金婷， 張鼎軒， 文 雯

（成都理工大學工程技術學院， 四川 樂山 614000）

0 引言

二階系統是工程中常見的一類系統，其數學模型簡單且具有較好的可控性。PID 控制器作為一種經典的控制算法，在工業控制系統中被廣泛應用[1]。然而，PID 參數的選取對系統的穩定性和性能有著重要影響。但如何取得PID 最優參數成為了研究的熱點問題。Ziegler-Nichols 設定法，粒子群優化算法，差分進化算法，神經網絡法，單純形法等。本文研究的即是其中方法之一——單純形法[2]。

1 典型二階系統的數學模型

在本文中，討論的主要是典型的二階系統，其一般形式的結構圖見圖1。

圖1 一般形式的二階系統結構

圖中：R（s）為系統輸入信號；C（s）為系統的輸出信號；ζ 為系統的阻尼比；ωn為系統的無阻尼自然震蕩頻率。

2 PID 控制系統的引入

為了更好地優化二階系統的控制性能，我們對PID 進行了引入，PID 原理結構圖見圖2。

圖2 PID 控制系統原理結構圖

其中其數學表達式可以表示為：

通過數學表達式可以推導出傳遞函數：G（s）=Kp+

3 單純形法

3.1 單純形法介紹

單純形算法是一種用于求解線性規劃問題的算法，由美國數學家丹齊克（G·B·Dantzig）在1947 年提出。他最初研究課題是針對美國空軍在第二次世界大戰期間的物資分配問題。當時，美國空軍面臨如何合理分配有限的資源以滿足不同地區需求的問題。這個問題可以表示為一個線性規劃問題，即在一定的約束條件下，大化或最小化一個線性目標函數[3]。Dantzig通過分析這個問題，他利用性規劃問題的特殊結構通過不斷地移動到相鄰的頂點來逐步逼近最優解。這個過程可以用三角形的形狀來表示，因此被稱為“單純形”。單純形算法的提出，極大地推動了線性規劃問題的求解方法發展，成為了解決大規模線性規劃問題的標準方法之一。它在實際應用中被廣泛使用，包括經濟、工程、管理等領域[4]。

3.2 單純形法運用的基本步驟

1）基本解的選擇：首先，選擇一個基本解作為初始解?；窘馐侵笣M足等式約束條件的可行解。選擇一個合適的初始解，對算法的效率和收斂性有很大影響。

2）進入變量的選擇：在每一次迭代中，選擇一個進入變量。進入變量是指在當前基本解中，可以增加其值以使目標函數增大的變量。

3）離開變量的選擇：選擇一個離變量，將其從基本解中移出，以保持基本解的可行性。離開變量是指在當前基本解中，可以減小其值以使目標函數增大的變量。

4）迭代計算：根據選擇的進入變量和離開變量，計算新的基本解。通過改變進入變量和離開變量的值，使目標函數逐漸增大，直到找到最優解。

5）收斂判斷：在每一次迭代中，判斷當前解是否為最優解。如果是最優解，則算法終止。否則，繼續進行迭代。

6）最優性檢驗：在每一次迭代中，檢驗當前解是否為最優解。如果是最優解，則算法終止。否則，繼續進行迭代。

3.3 單純形法的優點與不足

3.3.1 優點

1）算法簡單易懂：單純形算法的基本思想是通過不斷迭代，找到目標函數的最優解。算法步驟簡單明了，易于理解和實現。

2）效率較高：在一般情況下，單純形算法能夠在多項式時間內求解線性規劃問題。雖然在最壞情況下，單純形算法的時間復雜度達到指數級，但在實際應用中，大部分線性規劃問題都能夠在較短時間內得到解。

3.3.2 不足

1）可能陷入循環：在某些情況下，單純形算可能會陷入環，無法終止或找到最優解。這種情況下，需要采取一些措施來避免循環的發生。

2）對于非線性問題無法直接應用：單純形算法只適用于線性規劃問題，對于非線性規劃問題無法直接應用。對于非線性問題，需要使用其他算法來求解。

4 二階系統PID 控制系統參數優化過程

4.1 連續函數離散化

根據本文研究內容，以及在二級系統在實際中的廣泛應用，試舉例傳遞函數為：

設定其采集樣本時間為1 s。

利用差分變換法得到：

4.2 PID 控制器離散

根據圖1 得到PID 的傳遞函數為：

根據后向差分的公式將傳遞函數離散化為：

4.3 性能參數

試采用以下二階系統的性能參數函數：

式中ζ 為大于等于0，且小于等于1 的常數。

5 實驗數據分析

將G（z）作為目標函數，通過仿真得到階躍圖，具體見圖3。

圖3 目標函數初始階躍圖

在程序中，選擇各個頂點與中心點值的差的平方和作為誤差，即MarginErr=5e-15，其誤差收斂曲線如圖4 所示。

圖4 誤差收斂曲線圖

從圖4 可以得到，誤差曲線最終為0，達到了優化作用。

通過對二階函數G（z）添加PID 控制系統初始參數進行參數設定進行優化得到如圖5 所示的優化圖，其中初始參數Kp=1，Ki=1，Kd=1。

圖5 PID 控制系統引入優化圖

從初始階躍圖到引入PID 控制系統的整定圖，可以明顯的看到優化后的系統各指標都達到了要求，所以PID 控制系統對二階系統系統性能優化可行性是相當高的。

6 結語

PID 控制系統結構較為簡單，因此在各個領域都有運用其優化性能。單純形法是一種常用的優化算法，其基本思想是通過迭代搜索最優解。在本文中，利用單純形法對PID 參數進行優化，以實現對二階系統的性能優化。通過程序得整定參數kp,ki,kd。避免了常規時候的整定的缺點，使參數精確收斂，取得了較為滿意的結果，系統性能的提升較為明顯。