初中數學中的二次函數應用題解法研究

丁小玲

【摘要】二次函數是初中數學中的重要內容之一，在實際生活中有著廣泛的應用.本文以二次函數應用題解法研究為主題，探討了二次函數在實際問題中的應用方法和解題技巧，介紹了二次函數的基本形式和性質，包括二次函數的標準形式、頂點形式和因式分解形式，以及二次函數的對稱軸、頂點、開口方向等重要概念，總結了二次函數應用題常見題型以及解法的一般步驟和解題技巧，包括確定問題的關鍵信息、建立二次函數模型、求解關鍵點和解釋結果等.通過系統的解題方法，幫助學生更好地理解和應用二次函數，提高數學解題能力.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；應用題；解題技巧

1 引言

二次函數是初中數學中的重要內容之一，它在實際生活中有著廣泛的應用.通過研究二次函數的應用題解法，可以更好地理解和掌握二次函數的性質和特點，進而應用于解決實際問題.本文將以初中數學中的二次函數應用題解法為研究對象，探討如何通過建立二次函數模型、求解方程和分析問題等方法來解決實際問題.通過具體的例子和詳細的解題步驟，幫助學生理解和掌握二次函數應用題的解題思路和方法.

2 二次函數應用題常用解法

2.1 列出二次函數表達式

例1 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=－x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點，求此二次函數的表達式.

解析 為了解決這個問題，我們需要根據題目中的條件，求出直線y=x+3交x軸于A點的坐標，交y軸于B點的坐標.b、c是常數，需要求解.

根據一次函數y=x+3，可以求出該一次函數與x軸和y軸的交點，A（-3，0），B（0，3），根據求出的A（-3，0）和B（0，3），將其代入二次函數y=－x2+bx+c，可以求出常數b為-2，常數c為3，即y=－x2－2x+3.

2.2 利用數形轉換

二次函數應用題常用解法是進行數形轉換.首先，將問題中的條件和要求用數學符號表示出來，然后將其轉化為二次函數的形式.接著，可以通過求解二次函數的頂點、判別式等方法來得到問題的解.

例2 中國女排隊員平時刻苦訓練，掌握了成熟的技能，在賽場上敢拼敢打，是國民的驕傲，為備戰杭州亞運會，女排隊員克服重重困難，進行封閉集訓.已知排球場的長度為18m，球網在場地中央且高度為2.24m.排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系，排球運動過程中的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=a（x－h）2+k（a＜0）.若某隊員第一次在0處正上方2m發球，當排球運行至離0的水平距離為6m時，到達最大高度為2.8m.問：這次發球是否能過網？

解析 首先，將問題轉化為數學符號進行表示：根據題意可知頂點為（6，2.8）和與y軸的交點（0，2），代入表達式y=a（x－h）2+k，求出常數a為－145，常數h為6，常數k為2.8.即y=－145（x－6）2+2.8.接下來，可以通過求解二次函數的點坐標來得到排球是否過網.

已知球網與球員的距離為9m，即x=9，將其代入二次函數中，求得y為2.6.因此，排球經過球網上方時距離地面的高度為2.6m，而已知球網高度為2.24m，2.6＞2.24代表著球可以過網.

通過數形轉換，將二次函數應用題轉化為了數學問題，并通過求解二次函數的頂點來得到問題的解.這種解法可以幫助學生更好地理解和解決二次函數應用題.

2.3 利用幾何知識

例3 如圖3，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別相交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，其頂點為D.（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）求四邊形ABDC的面積.

解析 我們需要利用已知的A、B、C三點的坐標求出該二次函數，利用該四邊形完全被二次函數曲線覆蓋來解決求四邊形ABDC面積的問題.

根據題意可知二次函數與x軸和y軸的交點分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，3），代入表達式y=ax2+bx+c，可以求出常數a為-1，常數b為2，常數c為3，即y=－x2+2x+3.

由于D點為二次函數的頂點，將y=－x2+2x+3轉換為y=－（x－1）2+4，可知D點的坐標為（1，4）.

由于四邊形ABDC的圖形不是規范的圖形，為求其面積可將四邊形ABDC劃分為其他圖形，由D點向下垂直作一條直線，其與AB的交點為E（1，0）.所以四邊形ABDC的面積為三角形AOC、梯形OCDE以及三角形BDE的面積之和.

即S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE=12×1×3+1×（3+4）2+12×2×4=9.

在解題過程中，我們需要注意二次函數的性質和幾何圖形之間的關系，以便能夠正確地求解題目中的問題.同時，也要注意實際問題中的限制條件和影響因素，以確保解題的準確性和完整性.此外，這道題目也說明了二次函數和幾何圖形之間的聯系，提醒我們在學習和應用二次函數時，要善于利用幾何知識來解決問題.

利用幾何知識來解決二次函數應用題可以幫助學生更直觀地理解問題，并且能夠提供簡潔而有效的解決方法.通過將二次函數的圖像與幾何圖形進行對應，可以更好地理解問題的本質，并得到準確的解答.

3 結語

二次函數應用題解法的關鍵在于確定函數的表達式和解題思路.通過觀察題目中的條件和要求，可以建立二次函數表達式，并利用函數的性質進行推導和計算.解題過程中需要注意對函數圖像的分析和理解.通過繪制函數圖像，可以直觀地了解函數的特點，如頂點、開口方向等，從而更好地解決問題.此外，解題過程中還需要靈活運用二次函數的性質和相關知識，如平方差公式、配方法等，以便更快地求解問題.解題過程中需要注意思維的靈活性和創造性.有時候，需要通過轉化問題、引入輔助變量等方法來簡化問題，從而更好地解決.

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