初中數學技巧教學解析

李建功

【摘要】本文通過詳細分析一次函數在求解最大利潤和最小花費等實際問題中的應用，闡明利用一次函數的數學性質可以高效解題的技巧.文中舉出多個例題，說明如何構建變量之間的線性關系模型，將實際問題轉化為求解一次函數極值問題的方法.同時，著重解析運用一次函數的增減性質可以快速判斷函數值大小關系，從而簡便地得出最優解的解題策略.這種模型方法不僅能培養學生分析問題、建立模型的能力，也能加深他們對一次函數曲線變化趨勢和函數值比較的理解，使學生學會用數學工具描述變量之間的數量關系.這種訓練對提高學生的邏輯思維與運算能力有著深遠的意義.

【關鍵詞】初中數學；一次函數；解題技巧

1 引言

初中數學學習一次函數具有重要的意義，因為它為學生提供了解決實際問題、建立數學模型的基礎.一次函數是一種簡單而重要的數學工具，通過它，學生可以培養關于線性關系、變化率和最值問題等方面的數學思維.首先，一次函數的學習有助于學生理解和描述線性關系.在實際生活中，很多現象都可以通過一次函數表示，比如時間與距離的關系、價格與數量的關系等.通過學習一次函數，學生能夠更好地理解這些現象背后的數學規律，從而建立對線性關系的直觀感受.其次，一次函數的引入能幫助學生掌握變化率的概念.一次函數的斜率代表了函數的變化率，這對理解事物的增長、速度的增減至關重要.學生通過研究一次函數的斜率，能夠更深刻地理解變化率的概念，為后續學習更復雜函數的導數打下基礎.

2 借助一次函數求最大利潤

一次函數的學習培養了學生解決最值問題的能力.通過建立一次函數模型，學生可以應用數學方法解決現實中的優化問題，比如最大利潤、最短時間等.這種能力對學生在日后的學業和職業中都具有實際應用的價值.在最值問題中，一次函數常用來表示某個變量與另一個變量之間的線性關系.例如，如果我們有一個關于時間的一次函數，可以用它來描述某個物體的位置隨時間的變化情況.在這種情況下，我們可能對這個一次函數進行最值問題的求解，如找到物體的最大高度或最短時間到達某個位置等.

例1 某企業準備銷售投影儀幫助希望小學進行數字化升級改造，該企業現有A、B兩種型號的投影儀，進貨價與銷售價如表1所示.

該企業購入A、B兩種型號的投影儀共耗費32000元，希望小學完成數字化升級改造后該企業共獲利4400元．

問題1：該企業分別購入多少臺A、B兩種型號的投影儀？

問題2：若該企業再次購入A、B兩種型號投影儀共30臺，其中B型投影儀的數量不多于A型投影儀數量的2倍，請設計一個方案使該企業購入兩種型號投影儀各多少臺時獲得最大利潤，最大利潤是多少？

解析 （1）設該企業購入A、B兩種型號的投影儀分別為a臺，b臺，

則3000a+3500b=32000（3400-3000）a+（4000+3500）b=4400，

解得a=6，b=4.

因此該企購入的A、B兩種型號的投影儀分別為6臺和4臺.

（2）設購入A型號投影儀x部，購入B型號投影儀（30-x）部，最終獲利為ω元，

ω=（3400-3000）x+（4000-3500）（30-x）=－100x+15000.

因為B型號投影儀的數量不多于A型號投影儀數量的2倍，

所以30-x≤2x，

解得x≥10.

因為ω=－100x+15000，當x=10時，ω取最大值為14000.

所以當該企業購進A型號投影儀10臺，購入B型號投影儀20臺時獲得最大利潤，最大利潤為14000元.

例2 隨著一帶一路經濟帶的蓬勃發展，越來越多的企業在我國新疆設廠，將產品銷往“一帶一路”沿線國家.某手套廠每月生產A、B兩種規格的手套共20萬雙，且當月生產的手套可以全部銷售，該手套廠兩種規格手套的成本及售價如表2所示.

（1）假如該手套廠五月份的銷售收入為300萬元，則該手套廠五月分別生產了多少雙A、B規格的手套？

（2）假如該手套廠六月份投入的成本不超過216萬元，則如何安排生產A、B兩種規格的手套才能令該手套廠的利潤最大？同時求出最大利潤是多少.

解析 （1）設該手套廠生產A、B兩種規格的手套分別為a雙，b雙，

由題意可得18a+6b=300a+b=20，

解得a=15，b=5.

所以分別生產A、B規格的手套15萬雙和5萬雙.

（2）設該手套廠六月份分別生產A，B規格手套x萬雙和（20-x）萬雙，利潤為ω萬元，

由題意可得12x+4（20－x）≤216，

所以x≤17.

因為ω=（18－12）x+（6－4）（20－x）=4x+40是一次函數，ω隨x的增大而增大，

所以x=17時，獲得最大利潤ω=4×17+40=108（萬元）.

3 借助一次函數確定最少花費

用一次函數求最大利潤和最小花費的原理相似.在這兩種問題中，都通過建立與變量相關的線性模型來描述利潤或花費隨產量的變化.對于最大利潤，利潤是收入與成本之差，而對于最小花費，花費是總花費，這兩者均可表示為一次函數形式.通過限定范圍求極值來解決最大利潤和最小花費的問題.這種方法為解決實際問題提供了一種簡單而通用的數學工具，幫助我們理解和優化各種生產和消費情境.

例3 某市舉辦“初中生創新創意知識大賽”，組委會計劃購買A、B兩種獎品共30件，現已知獎品A每件價格30元，獎品B每件價格20元.

問：如果組委會購買的B獎品不超過A獎品數量的3倍，那么分別購買多少件A、B獎品花費最少？

解析 設A種獎品購買了x件，則B種類獎品購買了（30－x）件，

由題意可得30－x≤3x，

解得x≥7.5.

設購買兩種獎品的總金額為ω元，

因為ω=30x+20（30－x）=10x+600是一次函數，

所以ω隨著x的增大而增大，即當x=8時，ω有最小值，即ω=10×8+600=680.

所以當購買A種獎品8件，B種獎品22件時總費用最少，最少的費用是680元.

4 結語

一次函數為學生提供了理解變量之間線性關系、分析變化率、建立數學模型的基礎.通過學習一次函數的性質，學生可以培養解決實際問題的能力，為后續學習奠定堅實的基礎.希望學生在學習過程中加強對一次函數本質的理解，靈活運用所學知識分析和解決問題.在學習過程中，學生應通過大量練習，熟練掌握應用一次函數的技能.只有融會貫通了一次函數的數學概念與解題技巧，才能靈活運用所學知識分析和解決實際問題，這是學習一次函數的最終目標.

參考文獻：

［1］周清波.滲透模型思想提高解題能力——以一次函數問題為例［J］.數理化解題研究，2023（20）：44-46.

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［3］劉小慧.培養模型意識發展數學思維——以“一次函數（1）”的教學為例［J］.數學教學通訊，2023（14）：36-37+60.