車道保持模型預(yù)測控制中車輛模型簡化推導(dǎo)及仿真分析

【摘要】為提高車道保持控制中算法的計算效率，構(gòu)建了模型預(yù)測控制（MPC）算法，基于剛體動力學(xué)推導(dǎo)出單軌車輛模型，并考慮橫、縱向輪胎作用力特性作為標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，在此基礎(chǔ)上，忽略偏滑角和輪胎滑移率，推導(dǎo)出了簡化車輛模型，該模型用線性方程表達車輛航向角變化率，省去輪胎模型，從而降低了MPC約束方程的復(fù)雜度。綜合考慮跟蹤誤差、控制量及其變化率的代價項作為目標(biāo)函數(shù)，對標(biāo)準(zhǔn)車輛模型和簡化車輛模型的控制效果進行了仿真對比分析，結(jié)果表明，簡化車輛模型在車道保持模型預(yù)測控制中取得了與標(biāo)準(zhǔn)車輛模型相近的控制效果，同時避免了車速接近0時無法求解輪胎模型的問題，且顯著縮短了MPC優(yōu)化求解耗時。

關(guān)鍵詞：模型預(yù)測控制 車輛模型 車道保持

中圖分類號：U461.1+91" "文獻標(biāo)志碼：A" "DOI： 10.20104/j.cnki.1674-6546.20230149

Simplified Derivation of Vehicle Models for Lane-Keeping Model Predictive Control and Simulation Analysis

【Abstract】To improve calculation efficiency of lane-keep control algorithm， a Model Predictive Control （MPC） algorithm for lane-keeping was constructed. A single-rail vehicle model was derived based on rigid body dynamics. The standard vehicle model was based on rigid body dynamics and considered lateral and longitudinal tire force characteristic. Based on that， a simplified vehicle model was derived by assuming zero slip angle and slip ratio. The simplified model formulated yaw rate using linear equations and eliminated the tire model， thereby reducing the complexity of the constraint equations in the MPC. Considering the tracking error， control input， and the cost item of its change rate as the objective function， the control effect of standard vehicle model and simplified vehicle model were compared and analyzed. The results show that the simplified vehicle model achieves similar control performances to the standard model in lane-keeping MPC and avoids the problem of being unable to solve the tire model when the vehicle speed is close to zero. Additionally， the simplified model significantly reduces the computational time required for MPC optimization.

Key words： Model Predictive Control （MPC）， Vehicle model， Lane-keeping

1 前言

隨著輔助駕駛控制算法智能化程度和復(fù)雜程度的提升，算法的計算資源需求和整車成本相應(yīng)提高[1-3]。相較于傳統(tǒng)的反饋控制算法，模型預(yù)測控制（Model Predictive Control，MPC）[4-5]在輔助駕駛控制中能夠獲得更加平順的控制效果，并降低系統(tǒng)的整體復(fù)雜性[6]，但如何兼顧車輛模型精確度與計算效率仍有待深入研究[7]。

Falcone等[8]分別使用非線性車輛模型和實時線性化的車輛模型來實施模型預(yù)測控制，并基于冰雪路面對比測試了兩種方案的計算復(fù)雜度和性能。Ji等[9]定義了三維危險勢能場，并生成實時無碰撞軌跡，基于橫向位置、偏航率和偏滑角的狀態(tài)約束以及轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角的輸入約束構(gòu)建了MPC算法。Lee等[10]嘗試采用顯式MPC，使用多參數(shù)二次規(guī)劃技術(shù)降低了計算負載。Babu等[11]構(gòu)建了基于交替極小化優(yōu)化算法的MPC策略，發(fā)現(xiàn)在車輛模型中考慮執(zhí)行器動力學(xué)可以改善自動駕駛的控制效果。Gao等[12]提出了一種基于MPC的橫向控制方案，通過小角度近似將車輛模型線性化，同時可保障控制的魯棒性和精度。Yakub等[13]對比研究了MPC和線性二次控制在路徑跟蹤中的效果，驗證了MPC在軌跡跟蹤和車輛穩(wěn)定性方面表現(xiàn)更優(yōu)秀。Dixit等[14]介紹了一種用于在高速結(jié)構(gòu)化環(huán)境中針對自主超車場景的軌跡規(guī)劃框架，提出了表征道路安全區(qū)域的場函數(shù)作為MPC算法的邊界條件，規(guī)避了碰撞避免等非凸約束的限制，滿足了實時性要求。

為了提升MPC算法的計算效率和準(zhǔn)確性，一些研究提出了離散化搜索算法與連續(xù)優(yōu)化方法相結(jié)合的方法[15-16]。對于非凸問題，首先通過離散搜索方法獲得MPC的初始條件與邊界條件，進而確保獲得全局最優(yōu)解。在模型本身的優(yōu)化方面，Spielberg等[17]開發(fā)了一套基于深度網(wǎng)絡(luò)的車輛動力學(xué)模型，基于干燥路面和雨雪路面的組合數(shù)據(jù)對該深度網(wǎng)絡(luò)模型進行了訓(xùn)練，測試結(jié)果顯示，其對不同極端工況的預(yù)測能力有所提升。

針對車道保持控制中控制精度與計算效率難以兼顧的問題，本文構(gòu)建車輛模型，并基于車道保持功能的核心控制目標(biāo)對模型進行簡化推導(dǎo)。最后，分別以簡化前、后的車輛模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建MPC算法并仿真分析兩種模型的控制效果。

2 模型構(gòu)建

2.1 車輛模型構(gòu)建與簡化推導(dǎo)

2.1.1 單軌車輛動力學(xué)模型

基于動力學(xué)的車輛模型包含了相對較多的參數(shù)，包括前、后車輪的作用力，以更準(zhǔn)確地表達車輛的狀態(tài)。如圖1所示，將整車視為剛體，其運動遵循剛體動力學(xué)。

本文將模型簡化為二維平面運動，可描述為：

式中：x、y分別為慣性坐標(biāo)系下的橫、縱坐標(biāo)，φ為車輛在慣性系下的航向角，m為車輛質(zhì)量，Iz為車輛的轉(zhuǎn)動慣量，F(xiàn)x、Fy分別為作用于整車的縱向力、橫向力，Mz為整車受到的轉(zhuǎn)矩。

如圖2所示，在直角慣性坐標(biāo)系下將式（1）展開，并考慮輪胎模型，可得：

式中：X、Y分別為自車在慣性系下的橫、縱坐標(biāo)，vx、vy分別為車輛在自車坐標(biāo)系下的縱向和橫向速度分量，ω為車輛航向角變化率，F(xiàn)f，x、Fr，x分別為前、后輪胎受到的縱向作用力，F(xiàn)f，y、Fr，y分別為前、后輪胎受到的橫向作用力，δ為前輪轉(zhuǎn)角，lf、lr分別為質(zhì)心到前、后軸的距離。

上述方程中的輪胎作用力由輪胎模型描述。由于本文采用了單軌車輛模型，輪胎作用力的計算分為前輪和后輪：

Ff，y=Dfsin（Cfarctan（Bfαf）） （3）

αf=-arctan[（ωlf+vy）/vx+δ] （4）

Fr，y=Drsin（Crarctan（Brαr）） （5）

αr=arctan[（ωlr+vy）/vx] （6）

Fr，x=（Cm1-Cm2vx）d-Cro-Cdvx2 （7）

式中：Bf、Cf、Df為前輪輪胎模型的參數(shù)，Br、Cr、Dr為后輪輪胎模型的參數(shù)，上述參數(shù)通常通過試驗測定；αf、αr分別為前、后輪偏滑角，即車輪軸向與車輪行進方向之間的夾角；d∈[?1，1]為動力總成系統(tǒng)的控制指令，1表示最大加速度，-1表示最大減速度，因本文模型僅針對上層控制量進行優(yōu)化，故將d作為直接控制量，在實際應(yīng)用中，d通過底層控制器轉(zhuǎn)換為電機轉(zhuǎn)矩輸出和制動力輸出；Cm1、Cm2為驅(qū)動力系數(shù)；Cro為滾動摩擦因數(shù)；Cd為空氣阻力系數(shù)。

為了簡化計算，縱向力的計算與橫向力模型解耦。縱向力Ff，x和Fr，x包含了電機驅(qū)動力、滾動摩擦力和空氣阻力。基于后輪驅(qū)動的設(shè)定，驅(qū)動力施加在后輪上。模型中的橫、縱向力計算都忽略了輪胎滑移率。

2.1.2 車輛模型的簡化

為了進一步降低模型預(yù)測控制的計算負載，本文基于一定的假設(shè)條件構(gòu)建簡化的單軌車輛模型，主要假設(shè)包括忽略輪胎作用力模型，忽略前、后輪偏滑角和滑移率，直接基于車輛的幾何參數(shù)計算其運動狀態(tài)，如圖3所示。該簡化模型的主要優(yōu)勢在于減少了模型參數(shù)，簡化了非線性控制方程，從而提高計算效率。其潛在問題在于降低了模型精度，對較復(fù)雜工況可能無法準(zhǔn)確預(yù)測，因此需要進一步評估其效果。

本文所構(gòu)建的簡化車輛模型可表示為：

式中：v為車速，L為軸距，a為加速度。

該簡化模型的核心是航向角變化率的推導(dǎo)。結(jié)合圖3的示意，首先假設(shè)前、后輪的輪胎偏滑角為0、輪胎滑移率為0，則前輪軸心速度v與前輪徑向方向一致，進而可基于前輪轉(zhuǎn)角δ計算前輪軸心橫向速度vy_front=v·sinδ，后軸中心（Center of Rear axle，CoR）的速度方向與后輪徑向方向一致，而考慮到后輪轉(zhuǎn)向角通常為0，可得后輪軸心橫向速度為vy_rear=vrear·sin（0）=0，其中vrear為CoR的速度。基于前軸中心（Center of Front axle，CoF）和CoR的橫向線速度，CoR的角速度為：

ωr=（vy_front-vy_rear）/L=（v·sinδ）/L （9）

進一步，由于δ較小，可假設(shè)sinδ=δ。基于剛體運動的基本假設(shè)，有ω=ωr，可得出航向角變化率。

2.2 MPC車道保持控制設(shè)計

2.2.1 控制目標(biāo)

將車道保持系統(tǒng)的控制目標(biāo)定義為：

Jt（X，U）=Jtrack_err_t+JU_t+J?U_t （10）

其中：

Jtrack_err_t=we_ref||eref_t||2+we_φ||eφ_t||2+we_v||ev_t||2 （11）

JU_t=wδ||δt||2+wκ||κt||2 （12）

J?U_t=wderiv_δ||δt-δt-1||2+wderiv_κ||κt-κt-1||2 （13）

式中：Jt（X，U）為目標(biāo)函數(shù)，表征了t時刻的總代價值；X為狀態(tài)量向量；U為控制量向量；Jtrack_err_t為t時刻的跟蹤誤差；eref_t為t時刻軌跡跟蹤誤差，即自車軌跡點與參考線的橫向偏差，如圖4所示；we_ref為軌跡跟蹤誤差代價項的權(quán)重系數(shù)；eφ_t為t時刻參考線航向角跟蹤誤差，即自車軌跡點航向角與參考線航向角的偏差；we_φ為航向角跟蹤誤差對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；ev_t為t時刻目標(biāo)速度跟蹤誤差，表征車輛縱向速度與目標(biāo)速度的偏差；we_v為目標(biāo)速度跟蹤誤差對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；JU_t為t時刻的控制量代價項，其目標(biāo)是優(yōu)化t時刻的橫向控制量δt和縱向控制量κt，避免過大幅度的操作；wδ、wκ分別為橫、縱向控制量的權(quán)重系數(shù)；J?U_t為t時刻的控制量變化率代價項，其目標(biāo)是降低控制量的波動程度，進而使控制效果更加平滑；wderiv_δ、wderiv_κ分別為橫向控制量變化率、縱向控制量變化率的權(quán)重系數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)Jt（X，U）與模型的狀態(tài)向量和控制量向量相關(guān)，狀態(tài)向量和控制量向量在2個車輛模型中有所不同。

eref_t和eφ_t在基于2個不同車輛模型所構(gòu)建的MPC算法中物理意義是相同的，表達式分別為：

eref_t=yref_t-yt （14）

eφ_t=φt-φref_t （15）

式中：yref_t、yt分別為t時刻參考線、模型預(yù)測軌跡的橫坐標(biāo)，φref_t、φt分別為t時刻參考線、模型預(yù)測軌跡的航向角。

2.2.2 基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型的模型預(yù)測控制

基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，其預(yù)測控制算法可表達為如下優(yōu)化問題：

式中：X=[X，Y，φ，vx，vy，ω]T，U=[δ，d]T，E=[eref，eφ]T為偏差值向量，eref、eφ分別為軌跡跟蹤誤差和航向角跟蹤誤差，t為預(yù)測步，N為總預(yù)測步數(shù)，X0、E0分別為初始時間步的狀態(tài)量向量和偏差值向量，X（0）、E（0）分別為狀態(tài)量向量和偏差值向量的初始約束值，Xt、Et分別為t時間步的狀態(tài)量向量和偏差值向量，Ut為t時間步的控制量向量，fdyn、fdyn_err分別為基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型的狀態(tài)約束方程、偏差值約束方程，Umin、Umax分別為控制量向量的下限和上限。

關(guān)于該優(yōu)化問題中約束的構(gòu)建，在每一個優(yōu)化求解周期的初始時刻，需對狀態(tài)向量和偏差向量進行初始化，用于初始條件約束。

具體而言，首先在方程推導(dǎo)中，車輛狀態(tài)中采用的位置坐標(biāo)X、Y和航向角φ是基于固定的直角慣性系推導(dǎo)獲得的。但在實際的模型預(yù)測控制中，每一周期的求解初始化時，都將X、Y和φ重置為0，即在每個求解周期的初始時刻，始終將慣性系重置到自車坐標(biāo)系上，這主要是由于在計算跟蹤偏差時采用的參考線通常是基于自車坐標(biāo)系定義的，見圖4。因此，上述處理方法可使各周期內(nèi)每個預(yù)測步的偏差值計算都在同一坐標(biāo)系下，避免了反復(fù)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的操作。盡管在每個周期的初始預(yù)測步中統(tǒng)一了固定慣性系和車輛坐標(biāo)系統(tǒng)，但式（2）中的X、Y與vx、vy的關(guān)系將在預(yù)測窗口內(nèi)的后續(xù)時間步中成立，這是推算預(yù)測軌跡所直接依賴的約束，見圖4。對于自車橫、縱向速度與航向角變化率的初始步約束，則以當(dāng)前時刻從車輛仿真器返回的實時狀態(tài)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)。偏差值的初始步約束以初始的狀態(tài)值和參考線數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)。

約束方程中Xt+1=fdyn（Xt，Ut）是基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型的約束，其物理意義是基于車輛動力學(xué)特性限定所預(yù)測軌跡上的相鄰狀態(tài)點的關(guān)聯(lián)。其具體的定義是式（2）的一階展開形式：

約束方程中Et+1=fdyn_err（Xt，Ut）是偏差值的約束，根據(jù)式（14）、式（15）的定義，其在標(biāo)準(zhǔn)車輛模型中的具體展開形式為：

式中：P為參考線多項式，其一階導(dǎo)數(shù)的反正切值表征了參考線上各點的參考航向，將其與自車預(yù)測軌跡的航向角之差作為航向角偏差；xt+1為（t+1）時刻參考線在自車坐標(biāo)系下的縱向位置坐標(biāo)；vy_t為t時刻的自車橫向速度。

約束方程中Umin≤Ut≤Umax是對控制量的約束，即控制量中的前輪轉(zhuǎn)向角和縱向驅(qū)動請求都被約束在符合實際的范圍內(nèi)。除在式（16）中體現(xiàn)的約束外，其他狀態(tài)值僅初始時刻存在約束，在后續(xù)預(yù)測步中均沒有對狀態(tài)值的直接約束。

2.2.3 基于簡化車輛模型的模型預(yù)測控制

基于簡化車輛模型的MPC車道保持控制的具體優(yōu)化方程為：

式中：fkin、fkin_err分別為基于簡化車輛模型的狀態(tài)約束方程、偏差值約束方程。

其中，代價方程與基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型的控制算法是相同的。基于簡化模型的控制中，狀態(tài)向量為X=[X，Y，φ，v]T，控制量向量為U=[δ，a]T，偏差值向量為E=[eref，eφ]T。

X0=X（0）和E0=E（0）分別為狀態(tài)向量和偏差值向量的初始化約束，Xt+1=fkin（Xt，Ut）為基于簡化車輛模型對車輛狀態(tài)值的約束。具體而言，其是基于簡化車輛模型的微分方程組，即式（8）的一階展開形式：

對比基于標(biāo)準(zhǔn)模型的約束方程可知，簡化模型減少了狀態(tài)參數(shù)數(shù)量和約束方程數(shù)量，同時消除了高度非線性的輪胎模型計算項。

約束方程中Et+1=fkin_err（Xt，Ut）是偏差值的約束，其在運動學(xué)模型下的具體展開形式為：

該方程與基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型的偏差值約束方程略有差異，其中與參考線的偏差量采用了近似計算結(jié)果。

2.2.4 模型優(yōu)化求解方法

本文構(gòu)建的2個MPC算法本質(zhì)是對式（16）和式（19）所描述的非線性優(yōu)化問題進行求解。預(yù)測窗口的采樣時間步長為50 ms，預(yù)測步數(shù)N=20，即預(yù)測時長為1 s，采用基于內(nèi)點方法的非線性求解器（Interior Point OPTimizer，IPOPT）[18]。在求解器的配置中，選擇Exact計算海塞（Hessian）矩陣。具體而言，這種優(yōu)化算法即是直接基于對應(yīng)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束方程的二階導(dǎo)數(shù)解析表達式來計算Hessian矩陣。類似地，對于雅可比（Jacobian）矩陣，也采用了相同的配置，即直接采用目標(biāo)函數(shù)和約束方程的一階導(dǎo)數(shù)表達Jacobian矩陣。這一配置在處理大型問題時計算成本較高，但求解精度更高。本文所需求解的MPC問題規(guī)模不大且二階導(dǎo)數(shù)較易獲得，故采用上述求解器配置。另一方面，對于本文的MPC優(yōu)化問題，由于其目標(biāo)函數(shù)和約束方程基于一般物理特性構(gòu)建，其Hessian矩陣和Jacobian矩陣通常是稀疏的[19]。因此，在求解器配置中采用了稀疏矩陣表達，從而可以顯著降低矩陣操作所需的內(nèi)存，提高計算效率。最后，該優(yōu)化問題的初始估計值選取需注意，對于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，由于偏滑角的計算需求，車速的初始估計值不可取0。

3 仿真驗證

3.1 仿真方法

為了對比分析基于不同復(fù)雜程度車輛模型的車道保持控制算法的控制效果，本文構(gòu)建了閉環(huán)仿真環(huán)境[20]。定位、感知等輸入信息主要基于OpenStreetMap構(gòu)建的道路模型進行模擬。通過解析地圖道路拓撲，首先構(gòu)建了導(dǎo)航路徑。進一步，基于定位和導(dǎo)航信息及地圖車道數(shù)據(jù)，規(guī)劃了用于車輛控制的參考線。對于車輛運動狀態(tài)數(shù)據(jù)的仿真，本文仿真環(huán)境中集成了10自由度的車動力學(xué)仿真模型[21]，該模型能夠以足夠的精度響應(yīng)MPC控制器輸出的控制量，并向控制器實時返回車輛狀態(tài)信息，從而實現(xiàn)控制閉環(huán)。

3.2 車道跟蹤效果對比

圖5所示為基于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型和簡化車輛模型的車道保持行駛軌跡及車速分布情況。分別針對圖示路口的3個不同行駛方向進行了測試，包含左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)場景，目標(biāo)車速設(shè)定為10 m/s。

從圖5中可以看出，基于簡化車輛模型和標(biāo)準(zhǔn)模型的車道保持控制效果相近，在轉(zhuǎn)向過程中均能保持居中，且控制軌跡平順。采用標(biāo)準(zhǔn)車輛模型和簡化車輛模型控制時車輛偏離車道中心線的最大距離分別為-0.51 m和-0.60 m。基于2個模型的預(yù)測控制，均表現(xiàn)出了在入彎曲率變化時自動減速的效果。這是由于所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)中綜合考慮了循線位置偏差和車速偏差的代價項，當(dāng)經(jīng)過車道曲率變化較大位置時，降低了車速以獲得更好的車道保持效果。相比于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，基于簡化模型的控制中減速幅度略小，這主要是由于簡化模型用線性方程表征了車速與航向角變化率的關(guān)聯(lián)，相比于標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，簡化模型在一定程度上弱化了縱向速度對橫向控制的影響，故其入彎時減速幅度較小。考慮到所測試場景為城區(qū)道路的路口工況，平均車速較低，故采用2種模型控制時的減速度差異對控制的安全性并無影響。

3.3 求解效率對比

圖6所示為分別基于2個不同復(fù)雜程度車輛模型的MPC車道保持控制求解時間。從圖6中可以看出，基于簡化的車輛模型，優(yōu)化求解耗時明顯縮短：基于標(biāo)準(zhǔn)模型時的求解耗時平均值為0.019 2 s，中位數(shù)為0.018 5 s；基于簡化模型時的求解耗時平均值縮短至0.013 s，中位數(shù)縮短至0.014 s。簡化模型的求解效率提升，主要是由于運動學(xué)模型中忽略了輪胎作用力的計算，轉(zhuǎn)而通過簡化推導(dǎo)，直接建立了航向角變化率與車速及車輛轉(zhuǎn)角的線性關(guān)系。這一簡化，一方面避免了非線性輪胎模型的計算，另一方面減少了模型中約束方程的數(shù)量，從而實現(xiàn)了求解效率的提升。

4 結(jié)束語

本文首先基于剛體動力學(xué)原理推導(dǎo)了單軌車輛模型并構(gòu)建了輪胎模型，描述了通過前、后輪作用于車輛的橫、縱向力，然后基于忽略偏滑角和輪胎滑移率的假設(shè)，推導(dǎo)了簡化車輛模型，用線性方程表達了車輛航向角變化率，減少了模型參數(shù)和方程數(shù)量，并考慮了跟蹤誤差、控制量和控制量變化率的代價項，基于不同復(fù)雜度的車輛模型分別設(shè)計了車道保持模型預(yù)測控制算法，最后，構(gòu)建了閉環(huán)仿真環(huán)境，測試分析了2種模型的控制效果。研究結(jié)果表明，在車道保持模型預(yù)測控制中，簡化車輛模型能夠取得與標(biāo)準(zhǔn)模型相近的控制效果，且規(guī)避了標(biāo)準(zhǔn)模型中在車速接近0時無法求解輪胎模型的問題。同時，簡化模型能夠顯著縮短MPC求解耗時，更有利于在實際工程應(yīng)用中實現(xiàn)實時性的需求。

參考文獻

[1] YURTSEVER E， LAMBERT J， CARBALLO A， et al. A Survey of Autonomous Driving： Common Practices and Emerging Technologies[J]. IEEE Access， 2020， 8： 58443-58469.

[2] DUARTE F. Self-Driving Cars： A City Perspective[J]. Science Robotics， 2019， 4（28）.

[3]" " " " " " " "LITMAN T. Autonomous Vehicle Implementation Predictions： Implications for Transport Planning[R]. Victoria， British Columbia Canada： Victoria Transport Policy Institute， 2020.

[4] SORIA E， SCHIANO F， FLOREANO D. Predictive Control of Aerial Swarms in Cluttered Environments[J]. Nature Machine Intelligence， 2021， 3（6）： 545-554.

[5] MAYNE D Q. Model Predictive Control： Recent Developments and Future Promise[J]. Automatica， 2014， 50（12）： 2967-2986.

[6] GAO Y. Model Predictive Control for Autonomous and Semiautonomous Vehicles[D]. Berkeley， USA： University of California， Berkeley， 2014.

[7] MUSA A， PIPICELLI M， SPANO M， et al. A Review of Model Predictive Controls Applied to Advanced Driver-Assistance Systems[J]. Energies， 2021， 14（23）.

[8] FALCONE P， BORRELLI F， ASGARI J， et al. Predictive Active Steering Control for Autonomous Vehicle Systems[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2007， 15（3）： 566-580.

[9] JI J， KHAJEPOUR A， MELEK W W， et al. Path Planning and Tracking for Vehicle Collision Avoidance Based on Model Predictive Control with Multiconstraints[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology， 2016， 66（2）： 952-964.

[10] LEE J， CHANG H J. Analysis of Explicit Model Predictive Control for Path-Following Control[J]. PloS ONE， 2018， 13（3）.

[11] BABU M， THEERTHALA R R， SINGH A K， et al. Model Predictive Control for Autonomous Driving Considering Actuator Dynamics[C]// 2019 American Control Conference （ACC）， Philadelphia， PA， USA： IEEE， 2019： 1983-1989.

[12] GAO H B， KAN Z， LI K Q. Robust Lateral Trajectory Following Control of Unmanned Vehicle Based on Model Predictive Control[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2021， 27（3）： 1278-1287.

[13] YAKUB F， MORI Y. Comparative Study of Autonomous Path-Following Vehicle Control via Model Predictive Control and Linear Quadratic Control[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part D： Journal of Automobile Engineering， 2015， 229（12）： 1695-1714.

[14] DIXIT S， MONTANARO U， DIANATI M， et al. Trajectory Planning for Autonomous High-Speed Overtaking in Structured Environments Using Robust MPC[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems， 2019， 21（6）： 2310-2323.

[15] CHUNG Y， YANG Y P. Hardware-in-the-Loop Simulation of Self-Driving Electric Vehicles by Dynamic Path Planning and Model Predictive Control[J]. Electronics， 2021， 10（19）.

[16] XIONG L， FU Z Q， ZENG D Q， et al. An Optimized Trajectory Planner and Motion Controller Framework for Autonomous Driving in Unstructured Environments[J]. Sensors， 2021， 21（13）.

[17] SPIELBERG N A， BROWN M， KAPANIA N R， et al. Neural Network Vehicle Models for High-Performance Automated Driving[J]. Science Robotics， 2019， 4（28）.

[18] W?CHTER A， BIEGLER L T. On the Implementation of an Interior-Point Filter Line-Search Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming[J]. Mathematical Programming， 2006， 106： 25-57.

[19] RAKOVIC S V， LEVINE W S. Handbook of Model Predictive Control[M]. Cham， Switzerland： Birkh?user Cham， 2018.

[20] 周干， 張嵩， 羅悅齊. 自動駕駛汽車仿真測試與評價方法進展[J]. 汽車文摘， 2019（4）： 48-51.

ZHOU G， ZHANG S， LUO Y Q. Progress in Virtual Test and Evaluation of Autonomous Vehicle[J]. Automotive Digest， 2019（4）： 48-51.

[21] POLACK P. Consistency and Stability of Hierarchical Planning and Control Systems for Autonomous Driving[D]. Paris， France： PSL Research University， 2018.