含參不等式恒成立問題解題策略探究

李世文

【摘要】含參不等式恒成立問題是新高考數學試卷中的重點與熱點，設置的場景與知識模塊新穎多樣，內涵豐富，解法靈活，成為高考命題者青睞的一種基本題型.文章結合一道高考模擬卷中的函數與導數問題，就含參不等式恒成立問題的破解策略與技巧方法加以“一題多解”剖析，旨在提升學生的數學解題能力，開拓其數學思維，引領并指導其進行解題研究與復習備考.

【關鍵詞】含參不等式；恒成立；策略探究

【基金項目】本文系甘肅省教育科學“十四五”規劃2023年度“普通高中數學新課程實驗跟蹤與質量監測教改實驗項目”專項課題《高中數學選擇性必修課程“函數”主題教學設計與實施研究》（課題立項號：GS[2023]GHBZX0003）.

含參不等式恒成立問題，是近年新高考數學命題中的一類非常典型的熱點題型，有時以小題（選擇題或填空題）形式出現，有時以解答題形式出現，均是難得的壓軸題，題型新穎，變化多樣.此類問題難度較大，解題思維靈活多變，能夠很好地考查學生的基礎知識、基本能力與解題經驗，具有較好的選拔性與區分度，深受各方關注.下面筆者就以一道高考數學模擬卷中的含參不等式恒成立背景下求參數取值范圍的問題來展開探究，剖析解決此類問題的基本策略與技巧方法.

解后反思 根據題設條件中不等式恒成立的恒等變形與轉化，通過參數的整體化思維，利用兩相關函數互為反函數，結合反函數的圖像與性質恒等變形并優化對應的不等式，進而借助分離變量、結構對應函數的構建以及函數的單調性判斷，利用函數最值的求解來轉化，進而得以確定對應的參數取值范圍.反函數法可以很好地優化恒成立的不等式，合理使問題得以簡捷化處理.

三、變式拓展

含參不等式恒成立問題具有靈活多變的解題方式，是“一題多解”的重要場所，而且在各類題型中均能較好展開.而在此“一題多解”的基礎上，深度學習，進行“一題多變”，可以充分展開此類創新綜合應用題的魅力，達到發散思維、開拓方法、鞏固相關基礎知識與基本方法的目的.

四、教學啟示

（一）總結方法，歸納策略

破解此類含參不等式恒成立問題，主要從以下三個方面入手：函數視角切入、不等式視角切入、數形直觀切入，基本的技巧策略主要有：構造函數法與隱零點法，基于不等式基本性質或重要不等式的放縮法，基于函數圖像的數形結合法，以及反函數法、判別式法、更換主元法等，學生應結合具體問題場景，合理選擇對應的視角切入，利用對應的方法進行解題、應用.

（二）交匯思想，提升能力

含參不等式恒成立問題的創設場景多變，自身可以巧妙融合函數與方程、不等式、函數與導數等眾多的數學基礎知識，同時在求解過程中還涉及函數與方程、轉化與化歸、分類討論及數形結合等基本數學思想方法，求解方法多種多樣，需要學生不斷去領悟、體會與總結，對于鍛煉學生的綜合解題能力與邏輯推理能力，培養學生思維的靈活性、創造性等都有著非常獨特的作用.

結 語

對于含參不等式恒成立問題，教師應巧妙地通過對問題的深入分析與挖掘，進行合理的“一題多解”，并依托“一題多解”的思維拓展與探究，引導學生深度學習，進而“一題多變”，從而在解題研究與學習的層面上有效深入探究與應用，構建更加完善的數學知識網絡體系，優化數學思維品質，提升數學解題能力，合理培養數學核心素養.

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