帶領初中生破解數學問題之“難”的策略分析

曹嶺紅

【摘要】數學是由問題組成的學科，問題教學是數學教學的主要特征，但是，數學問題之“難”往往成為困擾教師教和學生學的主要障礙，因此，文章從破解數學問題之“難”入手，詳細闡述了溝通聯系、解后反思等教學策略來解構、破解問題之“難”，從而提升解題者的解題能力，并達到提升數學核心素養(yǎng)的課程目標.

【關鍵詞】問題；破解；聯系；反思；概括

問題是數學的重要表征，解答問題是數學學習的重要環(huán)節(jié)，數學問題指在數學領域運用數學知識去解決的問題.從人類意識到問題并致力于解決問題開始，數學便開始萌芽.人類對現實問題的理解和分析也在不斷推動數學的發(fā)展：古埃及尼羅河河水經常泛濫，需要重新丈量土地，于是幾何學出現并得到發(fā)展；我國古人將246個用數學解決的問題集中到了《九章算術》中，成為聞名世界的數學著作.為了培養(yǎng)具備問題探究能力的未來人才，《義務教育數學課程標準（2022年版）》的課程總目標明確提出“在探索真實情境所蘊含的關系中，發(fā)現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”，因此，數學問題探索是數學學習的重要組成部分.但是在解答數學問題時，大家往往為“難”所阻，因此，文章試圖討論并提出一種工作路徑，破解數學問題之“難”，從而提高解決問題的能力.

一、溝通聯系，解構問題之“難”

數學問題通常由已知條件和求解目標兩部分所組成，問題中所含的數學知識有外顯的，但更多是內隱的，求解目標是已知條件通過一定的數學途徑所能達到的某種可能結果，獲得這個途徑的過程就是問題分析的過程，呈現這個途徑的過程就是解決問題的過程.數學問題之“難”體現在獲取這個途徑上，而將已知條件和求解目標進行溝通聯系，外顯數學知識，便可解構數學問題之“難”，從而獲得解決問題的途徑.

二、解后反思，破解問題之“難”

數學問題的解答僅僅是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一次開始，進行問題和解答過程反思，從更為宏觀的角度探索問題“難”之所在，理解問題“難”之本質，才能進一步提升數學核心素養(yǎng).

（一）解法反思，豐富思考路徑

解法是解決數學問題的方法，通常情況下，數學問題的解法存在多種可能性，越是復雜的數學問題，其解法的多種可能性特征往往越明顯，并且，不同解法往往呈現不同的思維特征，而眾多解法中還存在最優(yōu)解的情形，因此，解法反思是挖掘數學問題育人價值的不可或缺的環(huán)節(jié)，也是對學生思維能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)提升的重要路徑.解法反思是解題者獲得數學問題解法后所進行的思考，一般包括解法合理性反思、解法豐富性探索和解法最優(yōu)化思考等內容.

1.解法合理性反思

解題者獲得數學問題的解法，并不代表其解法是正確的，因此，還應對其合理性進行反思，從而確保解法正確，合理性反思的方法包括將解代入數學問題后的理論推演、解題環(huán)節(jié)依據的逐一論證、解的合理性與多樣性思考等.

2.解法豐富性探索

解法豐富性探索指對數學問題多種解法的探索，即一題多解的探索，這需要解題者從不同角度，運用不同的思維方式進行思考，探索過程可以培養(yǎng)解題者多種思維能力.如：解方程|x-3|=1.

解法一，利用絕對值的代數意義去絕對值符號，將其變成兩個方程：x-3=1和x-3=-1，然后分別求解.此解法培養(yǎng)了解題者的運算能力，提升了解題者數學運算方面的核心素養(yǎng).

解法二，利用絕對值的幾何意義，在數軸上找到符合要求的點，然后根據點所表示的數獲得方程的解.此解法培養(yǎng)了解題者的數形結合的數學思想，提升了解題者直觀想象方面的核心素養(yǎng).

多種解法的探索，是抵達目標的多路徑探索，它對于培養(yǎng)解題者的發(fā)散性思維和豐富解題者的思維方式都起到至關重要的作用，也是提升解題者數學核心素養(yǎng)的重要途徑.

3.解法最優(yōu)化思考

解法一，利用代入消元法解方程組；

解法二，利用加減消元法解方程組；

解法三，先將三個方程相加進行增元，然后利用新方程與原方程組中的方程進行減法消元得到方程的解.

以上三種方法中，前兩種屬于消元法解方程組，第三種屬于先增元后消元的方式解方程組，顯然第三種方法優(yōu)于前兩種方法，在三種方法中屬于最優(yōu)解法.

（二）問題概括，理解解題邏輯

問題概括是用最簡潔的數學語言對問題本身和問題解法所進行的概括性表達，其中，對問題本身的概括是對問題所含數學知識的建構性表達，它是外顯問題所含知識后的表達，是清晰知曉數學知識構建問題方式后的表達；對問題解法的概括是成功解答數學問題后的表達；是對解法策略充分理解后的表達，并且，不管是對問題本身的概括，還是對問題解法的概括，都是解題者通過對反思結果的語言凝練后的思維抽象，是解構數學問題“難”之要素的重要途徑，因此，問題概括是解后反思的重要內容，有助于解題者理解解題邏輯，提升思維能力.

以上問題是有對應法則的問題概括，概括起來比較容易，但有些問題所對應的法則或定理相對模糊，這需要解題者對解法進行深度思考，高度凝練，也正因為這樣，對這類數學問題進行問題概括對解題者的理解問題邏輯和凝練能力等方面具有更大的價值.

如：如下圖所示，已知正方形ABCD內有一點P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數.

解題者在成功解答后，可以通過三提煉來完成問題概括，從而理解解題邏輯.

1.提煉解題步驟

（1）如圖所示，將△PAB繞點B順時針旋轉90°后，點A與點C重合，點P旋轉至點E的位置，連接PE；

（2）由△PAB旋轉可得△PBE為等腰直角三角形，∠PEB=45°，利用勾股定理可求出PE的長；

（3）利用勾股定理的逆定理可得△PEC為直角三角形，其中，∠PEC=90°；

（4）∠APB=∠BEC=∠PEB+∠PEC=135°.

解題步驟相對于解題過程更為簡潔，它是舍去解題過程中的具體計算過程和證明過程后提煉出來的主要解題思路，有利于解題者對解題過程形成整體認知.

2.提煉解決問題的關鍵點

當解題者解題遇到困難時，他人的一句點撥往往能令其茅塞頓開，這句點撥就是數學問題之“難”的題眼，也是解決問題的關鍵點，因此，無論是理解問題解題過程，還是解構問題之“難”，都需要提煉出解決問題的關鍵點.在解題者對問題的解題過程形成整體思路后，就具備了尋找這個關鍵點的基礎.如：這個數學問題解題過程的關鍵點是將△PAB繞點B順時針旋轉90°，將已知線段轉換至同一個直角三角形中.

3.提煉關鍵點與已知的關聯點

當面對有解題困難的數學問題時，經過他人點撥就能成功解答，但解題者不能依賴于他人的點撥，而是要具備與點撥者同樣的點撥能力，即彌補自己想不到解題思路方面的能力缺失.點撥者之所以能夠成功點撥，是因為他們能夠根據已知條件預判出基本的解題思路，這種具有預判特征的點撥能力是數學問題解法之“難”的題眼，它存在于問題解決的關鍵點與已知條件之間的關聯點的提煉過程中.

如：這個數學問題的解答關鍵點是旋轉三角形，那么解題者提煉關鍵點與已知的關聯點時，需要反思的問題是，為什么能想到旋轉三角形？下面是在這個反思問題的指引下，提煉關鍵點與已知的關聯點的過程.

（1）因問題中已知長度的三條線段都不在同一個三角形中，根據三角形邊角關系求角就必須將這些要素盡量轉換到同一個三角形中，這就產生了圖形轉換的思路；

（2）正方形四邊相等，這為旋轉時最大程度利用等邊或等角進行旋轉的思維方法提供了基礎，因此，將三角形旋轉90°是一種最為可行的解題思路，從而產生了前面的解題方案；

（3）由第（2）步反思可知，此題的旋轉方式應該有兩種，即還有一種旋轉方式可以獲得解決問題的方法，這種方法是將△PBC繞點B逆時針旋90°.

（三）問題比較，理解命題邏輯

對數學問題的個體探索是數學問題深度挖掘的個體案例，這樣的探索有利于深度理解具體的數學問題，但它在眾多數學問題中是一般性特征的代表，還是屬于特殊案例，還需要對與此相關聯的眾多數學問題進行關聯比較探索，即對相關聯的數學問題進行系統(tǒng)復盤，解構系列問題“難”之內核，關聯比較，理解命題邏輯，因此，探索數學問題之“難”的第三個步驟是問題比較，理解命題邏輯.

1.匯集關聯數學問題

對相關聯的數學問題進行對比探索，首先需要將相關聯的數學問題匯集在一起，其匯集方式是在每次解答數學問題時進行關聯聯想，將與其具有關聯特征的數學問題按照一定的標記方式有計劃地放置在一起.關聯特征一般分為兩類：知識關聯和解題策略關聯，其中，知識關聯是指數學問題所含的數學知識相同或同屬于一個數學知識系列，如下列數學問題所含的數學知識都含有冪運算法則.

解題策略關聯是指數學問題的解答策略相同或相似，如下面兩個數學問題都可以使用圖形旋轉的策略來解決問題.

（1）已知正方形ABCD內有一點P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數.

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若Rt△ABC中有一點P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA， PA=a，PC=b.求△PBC與△PCA的面積和.

匯集是為了探索而積累素材，是對繁雜紛亂數學問題的篩查，屬于初步分類，但是匯集過程能有效幫助解題者提升想象能力、關聯意識和系統(tǒng)思維.

2.探索關聯數學問題的異同點

將相關聯的數學問題進行匯集時，其關聯特征往往比較粗放，分類并不嚴謹，唯有聚焦分析方可挖掘數學問題的建構特征，理解數學問題的命題邏輯，找到解決數學問題的基本規(guī)律，從而形成數學問題思考的系統(tǒng)性思維.這種聚焦分析可以通過找異同的方法進行，即尋找匯集在一起的數學問題組的相同點和不同點，下面以前面所呈現的數學知識關聯的冪運算題組為例進行分析說明.

從所含數學知識的角度看，都含有的數學知識是冪運算法則；從數學知識建構數學問題的角度看，（3）和（5）題屬于冪運算法則的單次運用，其余都是冪運算法則的復合運用；第（7）題是冪運算法則的直接運用，其余都存在冪運算法則的逆運用.從數學問題的解答策略看，前兩題都需要通過冪運算法則的逆運用來拆解所求代數式；第（3）題需要利用方程解答，第（6）題需要建構運算；第（2）和（4）題需要同時對已知代數式和所求代數式進行拆解；除兩個計算題外的數學問題的解答策略都是利用冪運算法則將已知代數式和所求代數式相互轉換進行解答，都體現了化歸思想和整體思想.

結 語

綜上，在破解數學問題之“難”方面，溝通數學問題中已知條件和求解目標的聯系，是解構數學問題之“難”、成功解答數學問題的重要方法，解后反思，特別是解法反思、問題概括和問題比較等策略是抽象數學方法、形成數學思維、提升數學核心素養(yǎng)，從而破解數學問題之“難”的有效策略.

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