定義、變形、性質、特殊、應用

趙紫杉

【摘要】抽象函數的奇偶性及其應用問題，是函數及其應用中最重要的一個環節.文章抓住抽象函數的奇偶性問題應用中的五個基本層面———定義、變形、性質、特殊、應用，通過對這“五劍客”的概括與歸納，抓住抽象函數的奇偶性這一基本性質的本質與內涵，結合實例與變式練習，就“五劍客”的綜合與應用加以全面展開與剖析，希望為數學教學與學習提供參考.

【關鍵詞】抽象函數；奇偶性；定義；變形；性質；特殊；應用

函數的奇偶性反映了函數圖像的對稱性以及函數的解析式之間的關系等，充分體現了數與形可以互相轉化的思維，是進行數學分析和數學研究的有力工具，對函數部分的知識體系構建和綜合應用具有紐帶的作用.在具體解決問題中，解題者要充分把握函數奇偶性的本質與內涵，從不同思維層面入手，借助一些具體抽象函數的題設條件來分析與處理.但對于一些抽象函數的奇偶性問題，如何加以正確分析與判定，具有一定的解題規律與技巧方法，下面加以實例剖析.

一、定義是根本

函數奇偶性的定義是解決與之相關問題的根本所在，是解決抽象函數奇偶性問題的“第一劍客”.

根據函數奇偶性的定義，在相應的定義域關于原點對稱的前提下，若f（-x）=f（x），則該函數為偶函數；若f（-x）=-f（x），則該函數為奇函數；若f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）同時成立，則該函數既是奇函數，也是偶函數；若f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），則該函數既不是奇函數，也不是偶函數.

例1 設函數F（x）=f（x）-f（-x）是定義在R上的函數，試判斷函數F（x）的奇偶性.

分析 本題沒有給出相應解析式的抽象函數，而要判斷其奇偶性，必須利用函數的奇偶性的定義，利用題設條件判斷求出F（-x），進而對比F（-x）與F（x）的關系.

解 由于函數F（x）的定義域為R，關于坐標原點對稱，又F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），所以函數F（x）是奇函數.

點評 證明抽象函數的奇偶性必須利用函數奇偶性的定義，函數奇偶性的定義是根本.找準問題的突破方向，合理、靈活地變形與湊配對應的抽象函數關系式，找出f（-x）與f（x）之間的關系再進行分析與判斷.

變式練習1 若a>0，函數f（x）（x∈[-a，a]）是奇函數，g（x）（x∈R）是偶函數，試判定F（x）=f（x）g（x）的奇偶性.

解 在f（x），g（x）的公共定義域[-a，a]內，任取一個x，則F（-x）=f（-x）g（-x），

又由于函數f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，

則有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），

那么F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），

所以F（x）=f（x）g（x）在[-a，a]上為奇函數.

二、變形是創新

函數關系式的恒等變形與轉化，為解決抽象函數奇偶性提供條件，成為解決抽象函數奇偶性問題的“第二劍客”.

抽象函數的奇偶性的判斷與證明問題，往往會通過對相應函數關系式的變形與轉化，結合特殊值的代入、關系式的變形運用等，以創新的角度，結合函數奇偶性的定義來判斷與證明相應函數的奇偶性.

例2 已知函數f（x）的定義域為R，對任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，試判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明.

分析 根據題設關系中的等式條件，通過特殊值的賦值處理確定f（0）的值，再通過y=-x進一步賦值處理，巧妙構建相應的關系式，進而借助函數的奇偶性的定義加以分析與判斷，從而得以證明.

解 函數y=f（x）是奇函數.具體證明如下：

由于對任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，再令y=-x，則可得f（0）=f（x）+f（-x），由于f（0）=0，則有f（-x）=-f（x），故y=f（x）是奇函數.

點評 本題所證明的結論是一個比較常用的“二級結論”.對函數關系式的變形與轉化及特殊值的代入與應用等，都是判斷抽象函數的奇偶性中的重要環節.

變式練習2 函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.試判斷f（x）的奇偶性并證明.

解 f（x）為偶函數.證明如下：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），那么有f（1）=2f（-1）=0，解得f（-1）=0，令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），所以f（-x）=f（x），故f（x）為偶函數.

三、性質是拓展

函數奇偶性的基本性質是依托其定義得到的一些等價關系，為解決問題起到優化作用，是解決抽象函數奇偶性問題的“第三劍客”.

抽象函數的性質與應用問題，是函數的基本性質及其應用中的拓展，可以很好地融合函數的基本性質、復合函數及函數運算等問題，從更高、更深的層面來拓展與應用，實現對基本性質的綜合與思維的拓展.

例3 （多選題）若函數f（x）（x∈R）是奇函數，則下列結論正確的是（ ）

A.函數f（x2）是偶函數

B.函數[f（x）]2是奇函數

C.函數f（x）·x2是偶函數

D.函數f（x）+x是奇函數

分析 根據題設條件，解題者可由函數的奇偶性入手，結合抽象函數的奇偶性定義與性質加以分類討論，進而得以判斷相關抽象函數的奇偶性.這里要注意自變量的平方與函數的平方之間的區別與聯系，不要混淆.

解析 已知函數f（x）（x∈R）是奇函數，則有f（-x）=-f（x），對于選項A，由于f[（-x）2]=f（x2），所以f（x2）是偶函數，故選項A正確；對于選項B，由于[f（-x）]2=[-f（x）]2=[f（x）]2，所以[f（x）]2是偶函數，故選項B錯誤；對于選項C，由于f（-x）·（-x）2=-f（x）·x2，所以f（x）·x2是奇函數，故選項C錯誤；對于選項D，由于f（-x）+（-x）=-[f（x）+x]，所以f（x）+x是奇函數，故選項D正確.故選擇答案：AD.

點評 涉及抽象函數的性質與應用，解題者可以從定義入手，也可以性質切入，還可以兩者綜合，綜合起來分析與處理一些相關的綜合應用問題，特別在一些多選題以及一些開放性問題中經常涉及.

變式練習3 （多選題）對于定義在R上的函數f（x），下列命題正確的有（ ）.

A.若f（x）是偶函數，則f（-1）=f（1）

B.若f（-1）=f（1），則f（x）是偶函數

C.若f（-1）≠f（1），則f（x）不是偶函數

D.若f（-1）=f（1），則f（x）不是奇函數

解析 對于選項A，若f（x）是定義域為R的偶函數，則有f（-1）=f（1），則選項A正確；對于選項B，若f（-1）=f（1），不能保證對于其定義域中的任意元素x，都有f（-x）=f（x），f（x）不一定是偶函數，則選項B錯誤；對于選項C，若f（-1）≠f（1），則f（x）不是偶函數，則選項C正確；對于選項D，若f（-1）=f（1）=0，則f（x）可能為奇函數，故選項D錯誤.故選擇答案：AC.

四、特殊是思想

一般與特殊是辯證唯物主義中的一類重要思想，在具體解題與應用中經常加以變化，成為解決抽象函數奇偶性問題的“第四劍客”.

抓住抽象函數中奇偶性的結構特征，合理構建一些相應的特殊函數，以特殊思維切入，特殊函數包括一次函數、二次函數、冪函數、指數函數與對數函數以及三角函數等，特別在解決一些抽象函數的對稱性、周期性等問題時，經常借助三角函數的基本性質，選取吻合題設條件的特殊三角函數來分析與解決.

五、應用是本質

函數奇偶性的應用是解決與之相關問題的關鍵，是解決抽象函數奇偶性問題的“第五劍客”.

利用函數的奇偶性及其他相關的函數性質，可以用來處理一些應用問題，比如函數求值、方程的根的問題等，關鍵是正常理解與掌握函數的奇偶性的概念與特征，抓住要點加以分析與應用.

結 語

對于抽象函數的奇偶性問題，關鍵是利用函數奇偶性的概念，以定義為根本，以變形為創新，以性質為拓展，以特殊為思想，以應用為本質，合理構建函數與圖像之間的關系，充分把握并聯系抽象與具體之間的聯系，正確分析并解決與抽象函數的奇偶性相關的綜合應用問題.

【參考文獻】

[1]胡芳舉.導函數與原函數的奇偶性、對稱性、周期性的關系[J].中學生數學，2023（17）：3-5.

[2]徐曉建，李祎.基于邏輯推理素養培養的數學教學設計：以“函數的奇偶性”教學為例[J].數學通訊，2023（14）：13-16.

[3]朱芷玲.數學概念教學的實踐與思考：以“函數的奇偶性”教學為例[J].高中數學教與學，2023（10）：14-16.

[4]吳艷芹，馬杰.暢言智慧課堂下的“函數奇偶性”主題教學設計[J].中學數學研究，2023（4）：8-11.