開展數學交流提升運算素養

【摘要】

數學運算是高中數學六大核心素養之一，地位相當重要．“說數學”是試卷講評課的新嘗試，案例分析表明：“說知識”能明晰運算對象，揭示運算依據，夯實運算基礎；“說過程”能發現運算盲點，理清運算思路，規范運算程序；“說異見”能鍛煉運算思維，突破運算障礙，優化運算水平；“說體會”能體驗運算本質，形成運算方法，提升運算素養．

【關鍵詞】說數學；運算素養；橢圓方程；案例分析

1問題的提出

對多數普通高中學生而言，數學運算是個難點痛點，主要表現在：運算對象不明確，運算方法技巧理解不透徹不熟練；運算思路不清晰，未能較快地尋求合理簡捷的運算途徑；運算過程不細心不耐煩，運算結果表達不規范不嚴謹．究其原因，有兩方面：一是學生在日常學習中對于簡單的問題眼高手低，認為只要知道解題思路就可以了，光想不算；對于復雜的問題又畏手畏腳，不肯花時間去鉆研，看到式子繁瑣或者遇到困難就膽怯放棄了．二是有些教師過于追求教學進度，忽略學生的數學運算過程，總是由教師全程“示范引領”，導致學生被動地機械模仿學習，運算思想混亂，運算素養難以得到有效提升．

鄭毓信教授在談及如何提高數學教育的有效性時指出：數學通過交流才得以深入和發展，教師要通過相關內容的“理性重建”真正將數學課“講活”“講懂”“講深”，使學生能夠看到活生生的數學研究工作，而不是死的數學知識．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》更是明確強調要重視學生的數學交流能力的培養．“說數學”是數學交流的重要形式之一，屬于口頭交流形式，是指個體用口頭語言表達自己對數學問題的具體認識和理解、解決數學問題的思路、思想和方法以及數學學習情感、體會等的數學學習活動．通過學生的“說”，能暴露他們的思維過程，發現運算盲點，突破運算難點，優化運算水平，形成運算方法，提升運算素養．

“作為反思性實踐者，應當高度重視案例（包括正例和反例）的分析與積累，并能通過案例的比較獲得關于如何從事新的實踐活動的重要啟示”．為此，本文通過對一道圓錐曲線試題的講評案例，談談“說數學”教學方法在提升學生數學運算素養上的積極意義．

2教學案例

2.1學情分析

本次授課的對象是某鄉鎮中學高三歷史班的學生，學生數學基礎普遍比較薄弱，對數學運算有畏難情緒．

直線與圓錐曲線的位置關系問題一直是高考考查的熱點難點，其本質是用代數方法研究幾何問題，試題普遍有變量多、運算繁的特點，對學生運算能力要求較高，也是落實數學運算素養的良好載體．

2.2教學設計

基于提升學生數學運算素養的試卷講評課“說數學”教學環節，共有四部分：“說知識”“說過程”“說異見”與“說體會”，具體如下（見圖1）：

2.3教學過程實錄

3教學反思

章建躍博士認為“數學育人要用數學的方式”．何謂“數學的方式”，歸根到底是學生運用數學的思維和語言進行閱讀、運算、推理和表達的實踐活動．在筆者看來，把“說數學”教學方法應用在試題講評就是“數學的方式”育人實踐的積極嘗試，有效地發展了學生的運算素養．

3.1“說知識”能明晰運算對象，揭示運算依據，夯實運算基礎

數學運算核心素養中的“理解運算對象，掌握運算法則”強調的是數學運算的前提——數學基礎知識．很多學生在解題時往往“會而不對”，根本原因是基礎知識不扎實．在課堂伊始，我先讓學生說該題考查的知識點及解題方法，實際就是讓學生回顧基礎知識和基本算法；說困難，實際上就是明晰運算對象．

課后，一位學生過來膽怯怯地問道：“老師，我用求根公式直接算出兩根，代進去求解，不知道這樣可不可以？”

我反問道：“這不就是正確答案嗎？你為什么會有懷疑呢？”

“這樣好像太麻煩了，真的可以這樣直接算嗎？”

“盡管很麻煩，但你成功地算出來了，這就很厲害了．要知道，很多學生都能想到用求根公式去求根，但看到復雜的式子就產生了畏難情緒．相比之下，你有著扎實的運算功底和踏實的學習作風，點贊．”

學生開心地回去了．

而我卻有點懊惱，后悔課堂上沒有把這種方法展示出來，讓那位同學失去了一次成功解決問題的展示機會，也失去了一次讓其他同學訓練運算基本功的機會．

當運算出現x1，x2結構不對稱時，韋達定理整體代入后不能徹底消元，直接用二次方程的求根公式求解，也不失為一種算法．此時需要學生打破設點而不求點的思維慣性，追本逐源，求根破解．這也是后面使用韋達定理的依據．

波利亞指出解題的第一步是弄清題意，目的是剖析從條件到結論之間的障礙，明了問題解決的癥結所在．很明顯，該生的猶豫（真的可以直接用二次方程的求根公式求解嗎？）就是問題的癥結，是學生的心理障礙，教師要意識到這一點，耐心引導學生踏實計算．雖然這個運算相當耗費時間，但夯實了運算基礎．所以在課堂上，教師要引導學生敢于進行復雜計算，加強對具體運算過程的示范、引領、指導和要求，在練好數學運算基本功的基礎上再尋求簡捷的運算方法．

3.2“說過程”能發現運算盲點，理清運算思路，規范運算程序

數學運算核心素養強調“探究運算思路，選擇運算方法”，這就要求學生在解決問題時多思考，先想一想有哪些運算思路，不同思路的可操作性怎樣，只有明晰算理，嚴謹算法，才能準確地解決問題．

波利亞主張數學教育的主要目的之一是發展學生解決問題的能力，教會學生思考．他用“怎樣解題表”總結了解決數學問題的一般規律和程序，概括為“弄清問題”“擬定計劃”“實現計劃”和“回顧反思”四個步驟．

在“困難”呈現后，我引導學生先尋找從“已知”通往“所求”的“一條路”．生3同學的發言給同學們起了一個很大的示范作用：要有目標意識．接著他的疑惑（不知道如何與韋達定理的結論聯系起來）想必也是大多數同學的疑惑，也是該題的運算盲點，還有他的質疑（構造之后多出來x2，這樣的構造有意義嗎？）表現出來的恰恰是大多數同學忽視計算，是“想當然的認為”的典型表現，這種錯誤的行為屢見不鮮．然而，通過生3最后興奮的一句：“真的可以啊，原來是剛好抵消了．”整個班級都有了深刻的認識，腳踏實地的運算的品質就這樣潛移默化地在學生心底生根發芽了．同樣的，生4的一句：“為什么我沒有得到滿分？”引起了學生的強烈關注，似乎在等待著一個結果：老師改錯了？課堂氛圍被點燃了，促使學生認識到解題要嚴謹，要注重運算程序的規范．這樣“學生說解題過程”的效果遠比“老師說”的效果要好．

3.3“說異見”能鍛煉運算思維，突破運算障礙，優化運算水平

史寧中教授認為：“學生數學核心素養的形成和發展，本質上是學生自己‘悟出來的，是學生通過自己的獨立思考，以及和他人的討論與反思逐漸養成的一種思維習慣．”教師需在課堂上創造機會讓學生去想題、算題、講題，在運算中推理，在推理中運算，在生生、師生交流與合作中提升學生的數學運算素養．

不同的學生知識儲備不一樣，觀察問題的視角不一樣，思考問題的方式也有所不同．本題的難點是對（x1-1）（x2-2）（x2-1）（x1+2）拆分與構造，生3明顯是自己的解題經驗，儲備了直線與圓錐曲線相交這類問題的知識，于是敢大膽地指出解題的出發點，坦然地說出自己的困難，（或許他認為這樣的解法是不可行的，其他同學也解不出來，畢竟他是驗算檢查過）所以，遇到“異見”他立馬就提出了質疑．而生4顯得十分淡定，說明她能夠用運算結果說明問題，達到了數學運算素養的水平一．

小組討論后，生6提出了從特殊到一般的解法，相對于解法1，問題解決方向變得更直接，容易理解且運算簡便．接著生7又提出了設橫截式的方法，避免了分類討論．體現了觀察視角的差異性，更可貴的是，他們還指明了不同方法的作用．這也是達到數學運算水平二（能夠借助運算探討問題）的表現．

對運算過程的比較與優化，僅靠學生獨自學習是不容易的，這需要同學之間不同方法的比較與融合，所以，教師要鼓勵學生積極思考，敢于提出自己的見解，要呵護學生自己想到的解題思路，遇到困難不要輕言放棄．給予足夠的時間去思考，借助合作交流、質疑辯論、思維碰撞去突破障礙．

3.4“說體會”能體驗運算本質，形成運算方法，提升運算素養

解題后，經常性地總結與反思，有利于養成“回頭看”的思考和解決問題的習慣，有利于厘清數學問題及其解答的來龍去脈，有利于透視解題過程中的種種“遭遇”并明晰被征服的困難的實質．

在“說數學”課堂上，學生多次“說體會”，既有回顧解題的每一個步驟是怎樣構思出來的，也談到每個解答方法背后的理由，還有“撥開云霧見月明”的恍然大悟.這樣的“對話”使同學在聽講之后在心里默默地想：為什么別人會想到這個算法？他們是怎樣發現的呢？我怎樣才能掌握這個算法呢？通過這些思考，相信他們已經向學會解決運算問題邁出了重大的一步！

每一個數學問題都有它的數學本質.面對難題學生解不出來往往是他們只看到問題的表面，沒有深入問題的內核，沒有看到問題的本質．本節課的運算核心就是對于代數式子的“拆分與構造”，整個教學過程都在圍繞“結構”本質展開．在解法4的講授中，學生對此方法顯然比較生疏，于是我詳細地分析了本質（通過分析題意，挖掘出題目結論蘊含的深層涵義，將該等式變形處理，利用點在橢圓上轉化后用等比定理構造對稱結構．），解決核心結構問題，最后采取思維導圖教學，歸納解題程序．學生通過交流收獲不同的體驗，知識得到內化及遷移，形成程序性方法．這是數學運算素養水平三的要求．

4結束語

數學運算素養的培養不會一蹴而就，教學要讓學生經歷對算法與技能再優化、對算理與推理再反思的“數學運算”過程．雖然我們只是評講了一道題，但“講”的并不是一道題目，而是一類題；“說”的不是生搬硬套的死知識，而是跳動的運算思維；“得”的是一類解題方法，更是攻克難關的成功體驗．因此，對于普通高中而言，“說數學”符合教學實際，能夠有效發展學生的數學運算水平．

實際上，說數學就是讓學生養成用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維分析和解決問題，用數學的語言表達和交流問題，這是數學運算素養的培養落到實處的有效路徑．

參考文獻

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作者簡介陳亮（1983—），男，廣東茂名人，碩士研究生，中學數學一級教師；主要從事中學數學教學研究．