凸顯角本質的學習路徑研究：鞏固、運用角本質

黃旭冉 林卓然 張芳銘 許佳敏 鞏子坤

【作者簡介】黃旭冉，小學數學教師，主要研究方向為數學教育；林卓然，中學數學教師，主要研究方向為數學課堂教學；張芳銘，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學教育；許佳敏，中學數學教師，主要研究方向為數學課堂教學；鞏子坤（通訊作者），教授，博士生導師，主要研究方向為基礎教育數學課程改革的理論與實踐。

【基金項目】2023年度浙江省哲學社會科學規劃課題“基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（23NDJC265YB）；2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻關計劃項目“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（2023GH005）

【摘 要】凸顯角本質的“角的初步認識”單元整體教學路徑分為三個課時。本文研究第三課時，即鞏固、運用角本質的學習路徑。文章通過教學實踐與研討，得到完善的學習路徑：由轉動引入銳角、直角和鈍角，動靜結合比較角的大小，鞏固角本質；通過分類活動認識直角、銳角和鈍角，并呈現不同開口方向的直角，體會直角的特殊性；轉動活動角，運用角本質進一步感受銳角、直角和鈍角之間的大小關系。由此，提出教學建議：用“轉動”一以貫之直角、銳角和鈍角的學習；借助分類活動，展示不同開口方向的直角，感受直角的特殊性。

【關鍵詞】角的本質；角的分類；學習路徑；直角；銳角；鈍角

一、研究緣起

為解決當前“角的初步認識”教學中未凸顯角本質的問題，本研究提出了凸顯角本質的“角的初步認識”單元整體教學，共分為“初識角的概念”“體驗、認識角本質”“鞏固、運用角本質”三個課時。第一課時“初識角的概念”借助分類和動手創造，幫助學生認識角的特征，掌握角的概念（第一課時的研究文章刊載于本刊2024年第3期）；第二課時“體驗、認識角本質”設置了動靜結合的角的大小比較任務，通過關注“轉動的多少”，幫助學生體驗、認識角本質（第二課時的研究文章刊載于本刊2024年第4期）。在認識了角的概念，體驗了角的本質后，如何運用角本質來認識具體的角，是本文要回答的問題。筆者在先前研究的基礎上，進一步提出本文的研究問題：如何運用角本質實現對角的分類（認識直角、銳角和鈍角）？如何圍繞角本質的鞏固與運用構建學習路徑？

二、研究設計

我們繼續在YH小學二年級的甲、乙兩個班中開展教學實踐，由教師W按照本研究設計的學習路徑進行備課、授課。研究方法與研究流程同“初識角的概念”“體驗、認識角本質”，不再贅述。以下主要介紹后測問卷及數據處理。

后測題目一共有5道小題（如圖1）。對于給出的“轉動的多少”、“邊長的長短”或“開口的方向”不同的5組角，學生首先需要判斷這些角屬于哪類角（銳角、直角、鈍角），然后對角的大小進行比較。

教師對學生的作答情況進行賦分，正確記1分，錯誤記0分，最后統計總分。

三、研究結果與分析

（一）學習路徑的設計與實施

為探究得到完善的學習路徑，本研究經歷了多次教學設計、兩次教學實踐及多次教學研討。限于篇幅，本文只呈現在乙班開展的優化的學習路徑C2，如圖2所示。

其中，任務1包含2個子任務。

子任務1.1：慢慢轉動停車桿，整體感受角的大小變化。

在第二課時“體驗、認識角本質”中，停車桿模型是體現角本質為“轉動的多少”的良好載體，可以沿用。但需要注意的是，相較于真實的停車桿，此時的模型更類似于由停車桿模型抽象得到的“轉動模型”，轉動的幅度由直角擴大到平角，這樣才會在旋轉過程中出現銳角、直角和鈍角。教師緩慢轉動停車桿，引導學生在動態、連續的過程中整體感受角的大小變化，對角的本質進行再認識與復習。同時，也將銳角、直角和鈍角置于一個整體結構中，以便后續引入。

子任務1.2：截取停車桿轉動過程中形成的角，進行大小排序，并說明理由。

將停車桿轉動過程中的動態角截取下來形成靜態角，分別為2個銳角、1個直角、2個鈍角（如圖3），并進行大小排序。學生結合動態的轉動過程，對截取下來的靜態角進行大小排序，動靜結合，以此鞏固對角本質的認識。

任務2包含3個子任務。

子任務2.1：對圖3中的5個角進行分類，并說一說分類的理由。

為引入直角，教師最早設計的環節是請學生直接思考哪個角最特殊。但學生心中對“特殊”的理解是千差萬別的，回答因人而異。因此，這樣的問題設計顯然缺乏指向性。在第一課時“初識角的概念”中，學生通過分類活動，提煉出角的特征。優化后的學習路徑C2也設計了圖形的分類活動，通過辨別圖形特征，幫助學生初步形成對不同角的認知。學生通過對停車桿轉動過程中截取下來的角進行分類，能夠體會到直角是銳角與鈍角的分界線，以此凸顯直角的特殊性。

在分類過程中，學生主要給出了三種分法：①②、③④⑤；①②③、④⑤；①②、③、④⑤。通過分析、比較這三種分類情況，教師引導學生關注產生分歧的源頭，即③號角，并針對其特殊性展開討論。子任務2.1的課堂實錄如下。

師：比較這三種分類情況，它們有什么不同？

生：對③號角的分類不一樣。

師：為什么會不一樣？

生：它最特殊。

師：特殊在哪里？

生：①、②號角是向里倒的，④、⑤號角是向外倒的，只有③號角是直直地站著。

師：③號角就是我們今天要學習的直角。

在學生認識直角并感受其特殊性后，教師引出銳角和鈍角的概念：像①②這樣，比直角小的角叫銳角；像④⑤這樣，比直角大的角叫鈍角。

子任務2.2：尋找教室中的直角。

學生在教室的各處（如黑板、書柜、窗框、粉筆盒等）可以找到符合直角特征的角。由此，教師引導學生用數學的眼光觀察現實世界，同時搭建抽象概念與現實具體的橋梁，加深學生對直角的認識。

子任務2.3：利用銳角和鈍角的學具，感受它們為何如此命名。

教師利用硬紙板制作的銳角和鈍角學具，引導學生通過觸覺體驗，感受銳角和鈍角為何如此命名，由此加深對銳角和鈍角的認識。銳角摸起來是尖銳的，賦以“銳”字；鈍角摸起來不是尖銳的，賦以“銳”的反義詞——“鈍”字。

任務3：制作活動角，并轉動角的其中一邊。在轉動的過程中，說一說角的大小變化，并思考此時是銳角、直角，還是鈍角。

任務3需要同桌兩人合作完成。首先，兩人共同利用小棒制作活動角。其次，一人將活動角的一邊固定并緩慢轉動另一邊，當轉動停止時，另一人需要說出此時的角相較于上一刻的角的大小變化情況，以及此時的角是銳角、直角，還是鈍角。重復若干次后，雙方交換。這樣“制作動態角、轉動動態角、感知動態角”的活動過程，是學生體驗與思考的過程，即運用角本質理解銳角、直角和鈍角之間的大小關系，并體會大小不同的銳角和鈍角。

綜上，任務1主要由“轉動”鞏固對角本質的理解并引入不同類型的角；任務2通過對任務1的素材進行分類，先認識特殊角——直角，再通過比較認識銳角和鈍角；任務3通過轉動活動角，并運用角本質進一步感知銳角、直角和鈍角之間的大小關系。由此，“轉動”貫穿直角、銳角和鈍角的學習過程，促進了學生對角本質、角特征的系統理解。同時，直角、銳角和鈍角的學習過程也與角本質的鞏固、運用過程此呼彼應，相得益彰。

（二）學習路徑的教學效果與分析

如前文所述，本研究首先在甲班開展了假想的學習路徑C1的教學，結合專家建議與甲班后測情況，繼而在乙班開展了優化的學習路徑C2的教學。以下對甲、乙兩個班的后測情況進行定量分析，并結合典型回答，驗證學習路徑得到了改進。甲、乙兩個班的得分情況如圖4所示。

比較甲、乙兩個班的成績，發現乙班學生在T1、T4和T5上的正確率均高于甲班，在T2和T3上的正確率與甲班保持相等。對甲、乙兩個班學生的后測得分進行獨立樣本t檢驗。通過分析整體得分可以發現，乙班學生比較角大小和辨析三類角的正確率顯著提高，對角本質的認識更加深刻。通過分析T1、T2和T3得分可以發現，甲、乙兩個班的學生均能意識到“轉動的多少”是影響角大小的本質因素，以及排除“開口的方向”這一非本質因素。在特殊情況下（如T3，兩個角均為直角），也能排除“邊長的長短”這一非本質因素。兩個班在這方面的認知水平不存在顯著性差異。通過分析T4得分與T5得分可以發現，乙班學生相較于甲班更能在一般情況下排除“邊長的長短”這一非本質因素（如圖5），并且對于銳角、直角和鈍角的概念區分更加清晰（如圖6）。由此說明，優化的學習路徑C2能有效幫助學生認識直角、銳角和鈍角，并鞏固、運用角本質。

需要注意的是，優化的學習路徑C2仍存在可完善之處。直角是認識銳角和鈍角的基礎，因此，學生對直角特殊性的感受顯得尤為重要。學生將直角特殊性理解為“直直的”，但實際上，直角的“直”體現在一條邊與另一條邊的位置關系是垂直的，即相對位置的“直”。然而學生對于相對位置關系的感受較弱，因此，對直角特殊性的理解容易存在偏差。教師可以通過以下任務引導學生體會直角的“直”是相對位置的“直”。首先，教師展示開口方向不同的若干個直角（如圖7），詢問學生這些是否是直角。其次，教師將直角的開口方向統一，詢問學生調整方向后的角是否還是原來的角，以及這些角是否是直角。這樣的概念性變式，即變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征［1］，將有利于學生對直角特殊性的體會。

據此修改得到完善的學習路徑C3。由于實施優化后的學習路徑C2在很大程度上滿足了預期的學習目標，且最終完善的學習路徑C3與C2相差不大，故不再詳述。

四、結論與建議

（一）結論

本研究通過多次教學設計、兩次教學實踐及多次教學研討，最終得到了完善的“鞏固、運用角本質”學習路徑：首先從停車桿的轉動出發，讓學生鞏固對角本質的理解，引出不同類型的角；其次通過分類和比較得到直角、銳角和鈍角；最后通過制作活動角，讓學生在轉動過程中親身經歷角的變化。研究表明，本研究設計的學習路徑能有效幫助學生鞏固、運用角本質，同時實現對角的正確分類（認識直角、銳角和鈍角）。

（二）建議

1.用“轉動”一以貫之直角、銳角和鈍角的學習

“轉動”體現了角的本質，因此，可以用“轉動”一以貫之直角、銳角和鈍角的學習，使得直角、銳角和鈍角的學習過程整體化、本質化。如在停車桿轉動的過程中，截取出銳角、直角和鈍角的素材；通過動靜結合進行大小排序，為后續分類活動認識直角、銳角和鈍角做鋪墊；通過轉動活動角，進一步感知銳角、直角和鈍角的大小關系。

2.借助分類活動，展示不同開口方向的直角，感受直角的特殊性

分類思想在小學數學的各個領域有著廣泛的應用，它具有培養學生有條理地思考、發展學生良好思維品質等作用。［2］因此，分類活動是認識圖形特征的重要手段。首先，教師可以通過分類活動，對比銳角的“向里倒”和鈍角的“向外倒”，引導學生體會直角的“直”。其次，教師通過展示不同開口方向、看似不“直”的直角，經由開口方向的調整重新變“直”，引導學生體會直角的“直”在于一條邊相對于另一條邊的“直”。由此，學生由淺入深地感受直角的特殊性。

參考文獻：

［1］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等. 變式教學研究（續）［J］. 數學教學，2003（2）：6-10，23.

［2］姚美芳. 分類在認識圖形中的教育價值［J］. 小學數學教育，2021（6）：9-11.

（責任編輯：羅小熒）