擬齊次核半離散Hilbert型逆向不等式的最佳搭配參數條件及算子表示

趙茜 洪勇

摘 要：利用權函數方法和實分析技巧，在lαp（N）和Lβp（0，+∞）中討論擬齊次核的半離散Hilbert型不等式的逆向形式，得到逆向不等式具有最佳常數因子時的最佳搭配參數的充分必要條件，最后給出所得結果的等價算子表示和若干特例。

關鍵詞：半離散Hilbert型逆向不等式；擬齊次核；最佳常數因子；最佳搭配參數；充分必要條件；算子表示

中圖分類號：O178

文獻標志碼：A

1908年Hilbert不等式［1］誕生以來，已經取得了許多的研究成果并在算子理論中得到廣泛應用［2-10］，文獻［11］首次探討了齊次核Hilbert型不等式的搭配參數問題，得到最佳搭配參數的等價條件，之后討論最佳搭配參數的文獻不斷出現［12-18］，取得了豐碩成果，但針對逆向Hilbert型不等式，相關的研究還不多，本文將討論擬齊次核的半離散Hilbert型逆向不等式最佳搭配參數的充分必要條件。

1 預備知識

設r≠0，α∈R，Ν={1，2，…}，記

是以K（n，x）為核的半離散Hilbert型逆向不等式，M稱為常數因子，而M0=sup{M}稱為式（1）的最佳常數因子。

為避免重復，本文中，記

型Hlder逆向不等式

當且僅當an=C1（常數）和f（x）=C2（常數）時，式（2）取等號。

當且僅當an=C1常數時，式（3）取等號。

又根據積分型Hlder逆向不等式和式（3），有

根據式（3）和式（4）取等號的條件，可知當且僅當an=C1和f（x）=C2時，式（2）取等號。

證明 根據擬齊次核K（n.x）的性質，有

又因為K（t，1）t－aq在（0，+∞）上遞減，故有

2最佳搭配參數的充分必要條件

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

證明 （i）根據引理1及引理2，并p>0，q<0，有

故式（6）成立。

于是可知式（5）化為式（6），從而只需證明式（6）的常數因子最佳。

若式（6）的常數因子不是最佳的，則存在M0>0使

則有

于是

從而

于是式（5）可等價地寫為

因為式（5）的常數因子是最佳的，故式（8）的常數因子也是最佳的，即式（8）的最佳常數因子是

因為式（8）的常數因子是最佳的，對比式（8）與式（9），有

從而W1（－b′p）<+∞，W2（－a′q）<+∞。 再根據前面充分性的證明，可知式（8）的最佳常數因子應為

于是

根據逆向的Hlder不等式，有

3 不等式的算子表示

設K（n，x）≥0，定義級數算子T1與積分算子T2：

根據Hilbert型不等式的基本理論，式（1）等價于算子不等式

于是根據定理1，可得如下的等價定理：

級數算子T1和積分算子T2分別由式（12）和式（13）定義，W1（－bp）<+∞，W2（－aq）<+∞，存在常數σ>0使W2（－aq－σ）<+∞。

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

則有

且

綜上并根據定理2，知推論1的結論成立。

推論3 設算子T1與T2分別為：

則有

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Conditions for the Optimal Matching Parameters of

Quasi-Homogeneous Kernel Semi-Discrete Hilbert-Type

Inverse Inequalities and Operator Representations

Abstract：

Using the weight functions method and real analysis techniques ， the inverse form of the Hilbert-type inequality is discussed in the lαp（N） and Lβp（0，+∞）， sufficient necessary condition are obtained for the optimal matching parameters of the inverse inequality when it has optimal constant factors， and finally the equivalent operator representations and special cases are given.

Key words：

semi-discrete Hilbert-type inverse inequality; quasi-homogeneous kernel; the best constant factor; the optimal matching parameters; sufficient and necessary conditions; operator expression