重力驅動下漏斗出口形狀及振動因素對顆粒流的影響分析

馬鴻澤 郭濤 沙潔

摘 要：為了深入了解漏斗顆粒在外部激勵下的運動狀態，本文基于離散元方法，探究了重力驅動下漏斗出口傾角、振動幅值、振動方向、顆粒豎向初始速度以及是否加裝出口擋板對于顆粒流流量的影響。結果表明：出口傾角和振動幅值的增大都有利于顆粒流量的增加；在不考慮初始速度和擋板情況下，當振動方向由水平逐漸轉向豎直這一過程中，顆粒流量隨之減小，并且在水平方向振動時，顆粒流量達到最大值，而在加裝出口擋板和考慮初始速度兩種情況下，結果與之相反；在出口無擋板且振幅為零的條件下，賦予顆粒物質豎直方向速度有益于流量的增加，隨著振幅的增大，流量穩步提高，但增長幅度均低于相同環境下無豎直方向速度的流量增長幅度；出口的擋板在低振幅下不利于顆粒物質的排出，但在提高振幅且振動方向逐步轉向豎直方向后，顆粒流量大幅提高。

關鍵詞：顆粒流；振動幅度；振動方向；流量；離散元

中圖分類號：O311

文獻標志碼：A

顆粒物質是由大量具有宏觀尺寸的粒子組成的相互作用的復雜集合體系。自然界中單個顆粒的尺寸一般在10-6～10 m之間，其顆粒的運動情況遵從牛頓定律。當它們靜止時，顆粒物質呈固態。當收到外界能量的擾動，產生流動時，具有類似于流體的運動方式，通常稱為顆粒流，其廣泛存在于自然環境中的泥石流［1］、雪崩［2］、巖土體滑坡［3-4］、沙丘遷移［5］、交通流［6］、以及離散物料的加工、輸運、存儲等工業生產中［7］。如，筒倉中的糧食出料動力學行為。美國《Science》［8］雜志將“顆粒流動力學理論”列為當今125個重大科學問題之一，2014年出版的《中國學科發展戰略：流體動力學》［9］也將“顆粒物質與顆粒流”列為6個基礎與前沿學科之一。由此可見，探究并認識顆粒物質的運動規律和本質具有較大的實際工程應用和科學意義。

顆粒流根據其流動形態，可分為漏斗流、斜坡流、轉筒流和堆積流等，其中，漏斗流因其應用靈活的特性和復雜的相應機制一直被視為顆粒流問題中重要的研究領域［10-12］。廣義上來講，任何一種從廣口導入，小口流出的裝置都可視為漏斗，在此裝置中的顆粒流便叫做漏斗流。1961年荷蘭物理學家BEVERLOO ［13］推出了著名的顆粒流流量公式——Beverloo公式，此后顆粒流流量就成為探究顆粒流運動狀態的重要指標之一。KOHRING等［14］模擬了2D狀態下方形顆粒在漏斗中的流出情況，研究發現不同流入速率下，出口流量表現為不穩定狀態，最后中斷流出、堵塞出口；ASHOUR等［15］觀察了各種形狀顆粒在3D漏斗中的流出狀態，發現顆粒長寬比的增加降低了流速且增加了出口堵塞概率；WANG等［16］的研究也證實橢球長寬比的增加不利于出口流量的增大；KOIVISTO等［17］對比了表面粗糙和表面光滑這兩種顆粒的流出狀況，發現光滑顆粒流量隨著顆粒填充高度的減少而減少，但表面粗糙顆粒因為摩擦力的存在使得其出口速度為一個恒定的數值，漏斗屬性也是改變顆粒流流量情況的重要依據；JANDA等［18］的研究表明，在二維情況下，當出口尺寸縮小到約為顆粒直徑的4倍時，流動可能會停止，發生堵塞的幾率急劇增加；WAN等［19］考慮了出口形狀對顆粒流流量的影響，發現流量隨出口曲率變大而增加，由此修正了內孔為圓弧面時的BEVERLOO公式；黃德財等［20］研究了開口角度對二維顆粒流流量的影響，結果發現，無論是在固定入口流量還是固定顆粒數目的情況下，開口角度的增大可以提高顆粒流出口流量和出口流速；YU等［21］采用了離散元法研究了顆粒壁面靜摩擦系數對顆粒流態和速度分布的影響，結果表明，靜摩擦系數對壁面區域的速度分布有明顯的影響，隨著靜摩擦系數的增大，流動形態由質量流轉變為漏斗流，壁面剪切層變大變寬，外部條件也會影響顆粒流流量的變化；DORBOLO等［22］使用離心機探究重力對筒倉出料的影響，探究了失重和超重的環境中筒倉的出口流量，結果表明，超重的環境有利于流量的提升，但對確定允許顆粒流出的最小出口尺寸影響不大。

顆粒流有三種情況：稀疏流、密集流和堵塞。稀疏流是指顆粒堆積密度較低，整體流速較高、顆粒之間幾乎沒有相互作用的顆粒流；密集流是指顆粒堆積密度較高、整體流速緩慢、顆粒之間多為相互碰撞、擠壓的顆粒流；隨著顆粒堆積密度繼續增大，顆粒之間的相互作用力不斷變大，在局部區域內形成力拱，截停顆粒流，致使顆粒不再流動，從而發生堵塞現象。力拱結構并不穩定，有時可以自行崩塌，使顆粒繼續流動［23］，有時要通過外部激勵如碰撞、振動等破壞力拱。HUNT［24-25］等通過實驗裝置對料斗施加了水平方向和豎直方向的振動，通過分析發現，兩種方向的振動降低了力拱形成的概率、增加顆粒流流量、減少停滯地帶。

然而，在實際生產加工中，顆粒有時并非從靜止狀態開始出倉，工廠所用的漏斗裝置不盡相同，為了提高出口流量施加的振動幅值也參差不齊、振動方向更是千差萬別。目前少有文獻對以上情況進行綜合研究。本文基于離散元方法，在2D重力驅動的漏斗流模式下，探究了出口傾角、振動幅值、振動方向、顆粒豎直方向初始速度以及是否加裝出口擋板對于顆粒流流量的影響。

1 離散元理論

CUNDALL等［26］在1979年首次提出離散元法，其基本思想是將物體看做由多個非連續體分離而成剛性單元的集合，且每個剛性單元都服從牛頓第二定律，其與分子動力學相似卻又不同，分子動力學只需描述原子在給定相互作用力下的運動規律，而離散元還要考慮單元固有性質（密度、粒徑等）、物體性質（粒徑分布、孔隙率等）和單元的運動和旋轉。單元的基本運動方程為

mx··（t）+cx·（t）+kx（t）=f（t）（1）

式中：m為單元質量；x為位移；t為時間；c為黏性阻尼系數；k為剛度系數；f為單元所受外荷載。

離散元法最初被用于分析塊體巖石系統和巖土體邊坡在準靜力、動力條件下的力學行為問題。目前，由于離散元理論的不斷發展和計算機技術的進步，離散元法已廣泛的應用到各個領域［27-29］，已成為解決顆粒物質、顆粒流問題的主要手段。其計算流程如圖1所示。

本文視顆粒為剛體，賦予顆粒間線彈性模型以考慮其相互的擠壓、碰撞和摩擦這三種作用［30］，如圖2所示。公式（2）為顆粒間法、切向力的計算公式。

式中：Fn、Fs為法向、切向力；Kn、Ks為法向、切向剛度；kn1、kn2分別為兩個接觸小球各自的法向剛度；ks1、ks2分別為兩個接觸小球各自的切向剛度；Xn，Xs為法向、切向相對位移；Xb為斷裂位移。當顆粒之間的變形超過斷裂位移時，顆粒分離，不考慮兩者相互作用。

顆粒之間的切向相互作用效應，采用莫爾-庫倫準則，即

Fs max=Fs0－μpFn（3）

式中：Fs max為最大剪切力；μp為顆粒間摩擦系數；Fs0為沒有施加法向力時，顆粒間所能承受的最大抗剪力。當切向力超過最大抗剪力，切向彈簧斷裂，此時顆粒間只存在滑動摩擦力－μpFn。

2 數值模型

本文漏斗流模型尺寸如圖3所示，由漏斗壁和顆粒群共同組成。單顆粒質量為m=0.84 g，顆粒直徑d=10 mm，出口尺寸與顆粒直徑之比D0/d=10>4，以防止出口尺寸過小而堵塞顆粒流動。顆粒與容器壁摩擦系數μpw和顆粒間摩擦系數均為μ=0.4，顆粒間的法向剛度Kn=7.12×106 KN/m，切向剛度Ks=4×106 KN/m。

顆粒從入口上方由重力（g=9.8 m/s2）作用做自由落體運動，堆積到出口封閉的漏斗裝置中，一段時間后，顆粒堆積形狀如圖3 陰影部分所示，以此模擬自然堆積的初始狀態，此時顆粒速度為零，顆粒之間相互作用力微弱，再打開漏斗出口，使顆粒物質下落。考慮初始速度V0=0 m/s（靜止）和V0=－1 m/s兩種初始狀態下的顆粒流動，豎向初始速度V0的控制方法是將自然堆積狀態下的顆粒群統一抬升一定高度，自由釋放獲取速度。

另外，計算中還考慮了左右兩側漏斗壁相同方向、幅值下的振動和出口傾角θ對出口顆粒流量的影響。α為振動方向與X軸的夾角，0°≤α≤90°α=0°時為水平振動，α=90°時為豎直振動；漏斗壁振動形式以正弦函數Asin（10T0π/180）控制（A為振動幅值、T0為時間步）。

3 結果分析

3.1 無振動情況下顆粒流速分析

在不考慮振動的情況下，探究改變漏斗出口傾角θ、加裝出口擋板L和顆粒初始速度V0等因素對顆粒流速的影響，其結果如圖4、圖5所示。

由圖4可知，無論是否增加出口擋板，還是賦予顆粒豎直方向初速度，出口傾角的增加都有利于顆粒的流出。出口越陡峭，顆粒流出的質量越多。如圖5所示，在顆粒滾動的過程中，斜邊方向上顆粒重力的兩個分量Mgsin θ和Mgcos θ，分別提供驅動顆粒運動的動力和阻礙顆粒運動的摩擦力，當θ不斷增大，兩個分量此消彼長，數值差距不斷增大，致使顆粒的獲得加速度越來越大，最終實現流量的增大。擁有初始速度V0的顆粒流量更大，比V0=0 m/s的情況下的顆粒流量提高了52%～69%。

圖6為無振動情況下，最快下落20個顆粒的平均堅直方向速度圖。從圖4、圖6 的數據可以判斷，豎直擋板對于顆粒的加速具有負作用，豎直擋板與出口構成了一個狹小的矩形區域，顆粒在流過此區域時，活動空間變小、水平方向約束加強，增加了顆粒與顆粒之間碰撞、擠壓，顆粒與擋板之間的摩擦力也隨之增強，導致顆粒向下運動受阻，同比于不加裝數值擋板的裝置來說，加裝出口擋板后流量和流速分別降低了約11%～23%、5%～19%。

3.2 振動情況下顆粒流速分析

圖7為漏斗不同振動方向下顆粒的運動趨勢圖。由圖7可看出，振動方向由水平轉向豎直方向時大致可分為三個情況。

（1）第一種情況，當α=0°時（水平振動），處于左側的顆粒會跟隨壁面一同向右運動。受到擠壓作用，左壁附近的顆粒相對更密集，阻礙了顆粒的流動。而此時右壁向右移動之后，壁和顆粒之間存在一定空隙，由于與壁面分離，顆粒約束減弱，右側粒子在重力作用下可以快速的向右下方移動，如圖7（a）。

（2）第二種情況，當α=θ時，振動方向與漏斗壁平行。此時，漏斗左壁附近的顆粒會隨著壁面一起向右上方運動，但右壁附近的顆粒卻沿著壁面向下滾動，不受右壁運動的影響。在這種情況下，左壁將附近的顆粒向上抬升了一定的距離，相當于延緩了顆粒下落的時間。但右壁向上移動后，縮短了右壁顆粒與出口之間的距離，使此部分顆粒更快流出，如圖7（b）所示。

（3）第三種情況，α>θ時，左右壁附近的顆粒運動情況相似，由于撞擊、擠壓的作用各個顆粒都隨壁面向右上移動，如圖7（c）所示。

在經歷了多次振動后，顆粒之間的分界線已經模糊，各層顆粒通過運動后相互交錯在一起，上層的顆粒落入下層，下層的顆粒運動到上層，如圖8所示。因此，可以將豎向振動看做是加快顆粒運動到不同層級的一種方式，而這種方式無疑是有利于顆粒流出。

圖9為改變振動方向、振動幅值、出口傾角等影響因素下，顆粒的流量變化。從結果可知：（1）無論如何更改振動方向、出口傾角，振動總是能加速顆粒的流出，并且振幅A越大，效果越明顯，隨著振動幅值A的增加，在第一和第二中情況下顆粒能較快地流出漏斗。在無豎向初始速度和不加裝出口擋板的情況下，水平方向振動時流出顆粒的流量總是最大，且隨著振動方向逐漸轉為豎直時而減小。

（2）在不考慮初始速度和擋板（V0=0 m/s，L=0 m）、不考慮初始速度+擋板（V0=0 m/s，L=0.2 m）、考慮初始速度+無擋板（V0=－1 m/s，L=0 m）、考慮初始速度+擋板（V0=－1 m/s，L=0.2 m）四種工況下，隨著出口傾角θ的不斷增加，顆粒的流量與振動傾角α的變化曲線越來越平緩。在V0=0 m/s，L=0 m況中，相同振動幅值下，出口傾角對顆粒流量影響較小。但是在其他三種工況中，當振動幅度A≥3 mm時，振動角度α對顆粒流量影響較大，流量隨α的增加而增加。

（3）在顆粒具有豎直方向初速度后，在流經振動過程中的漏斗時，增加了顆粒撞擊壁面的概率，由于顆粒與壁面、顆粒間的碰撞、擠壓阻礙了顆粒的向下運動。因此，在顆粒具有豎直方向初速度的情況下，水平振動流出的顆粒質量反而最小，豎直振動流出的顆粒質量最大。

（4）總體而言，考慮初始速度及無擋板（V0=－1 m/s，L=0 m）的情況，顆粒流出效率較優。水平振動下加裝擋板，阻礙顆粒的流出。而豎直振動下加裝擋板則增加顆粒的流出，且豎直振動時，加裝擋板的影響有限。

（5）當出口傾角θ=75°時，顆粒流出質量的趨勢除了在V0=0 m/s，L=0 m工況下與其他出口傾角的趨勢相同外，其他工況均是先漲后落，如圖9（e）所示。主要由于當出口傾角θ=75°時，壁面近似豎立，顆粒可以活動的區域較為狹窄，當壁面開始水平方向振動時，顆粒水平向加速度較大，顆粒之間相互作用力增強，擠壓、碰撞的概率變大，減緩顆粒流出。隨著振動方向的變化，顆粒在水平方向上獲得的速度逐漸減少，在振動傾角α=60°左右時，加速顆粒向漏斗中心線聚攏，又不與其他顆粒發生激烈的碰撞，使其更快流出裝置。

4 結論

本文基于離散元方法，在重力驅動的漏斗流模式下，探究出口傾角、振動幅值、振動方向、顆粒豎直方向速度以及是否加裝出口擋板對于顆粒流流量的影響。結果表明：

1）出口傾角增加和賦予顆粒豎直向下方向速度都可以加快顆粒從漏斗裝置流出，雖然在出口加裝豎直擋板有利于顆粒流出后的堆積，但兩側擋板之間的空間十分狹隘，不利于顆粒的流出。

2）在不改變振動方向的情況下，振動幅值越大越有利于顆粒的逃逸，裝置振動可以使顆粒獲取速度，加快顆粒從其他位置運動到出口的過程，減少形成力拱的概率。

3）振動的方向不同，振動后的作用效果也不同，在只改變出口傾角的情況下，水平振動最有利于顆粒的流出，但是在顆粒有豎直向下方向和漏斗出口有豎直擋板時，豎直振動對顆粒運動方向的改變量最小，此時顆粒流出質量最大。

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Analysis of the Effect of Funnel Outlet Shape and Vibration

Factors on Particle Mass Flow under Gravity

Abstract：

In order to gain a deeper understanding of the motion state of funnel particles under external excitation， this paper， based on the discrete element method， explores the influence of outlet dip ngle， vibration amplitude， vibration direction， vertical velocity of particles and whether to install the outlet bundle device on the particle flow rate under the gravity-driven funnel flow mode. The experimental results show that the increase of outlet angle and vibration amplitude is conducive to the increase of particle flow rate. Without considering the initial velocity and baffle， as the vibration direction gradually shifts from horizontal to vertical， the particle flow rate decreases accordingly. When the vibration direction is horizontal， the particle flow rate reaches the maximum value. However， the result is opposite when the bunching device is installed and the vertical velocity is set. Under the condition that the outlet is not bunching and the amplitude is zero， the vertical velocity is beneficial to the increase of the flow rate. With the increase of the amplitude， the flow rate increases steadily， but the growth rate is lower than that of the flow rate without vertical velocity in the same environment. The baffle at the outlet is not conducive to the discharge of particulate matter under low amplitude， but after increasing the amplitude and gradually turning the vibration direction towards the vertical direction， the particle flow rate increases significantly.

Key words：

particle flow; vibration amplitude; vibration direction; flow; discrete element