基于函數(shù)大概念的中考數(shù)學試題研究

盛昊燦 夏瑜琦

摘? 要：函數(shù)大概念引領函數(shù)問題解決的過程.本研究基于對中考函數(shù)內(nèi)容的分析，并借鑒大概念的層級體系，建構基于函數(shù)大概念的中考數(shù)學試題分析框架，以此為核心說明在數(shù)學問題解決過程中大概念的重要作用.以期強調(diào)函數(shù)大概念在函數(shù)課堂教學中的重要地位.研究以中考函數(shù)試題為例，提煉三個結論，并給出三點教學啟示，以期對數(shù)學問題解決和課堂教學有所助益.

關鍵詞：函數(shù)；大概念；中考數(shù)學；試題研究

大概念的引入積極促成了教育學的變革與進步.大概念已經(jīng)不僅僅是一個簡單詞匯，它背后潛藏著一個意義的世界，它超出了一個普通概念的應有內(nèi)涵與外延，作為一種深刻思想、學說的負載體，已成為“思想之網(wǎng)”的聯(lián)結樞紐.［1］中考試題具備有效性、可靠性、教育性與教學導向性.［2］函數(shù)作為數(shù)學學科的大概念之一，是初中數(shù)學的重要學習主題［3］，也是中考數(shù)學重要的組成內(nèi)容.基于函數(shù)大概念的視角對中考數(shù)學試題進行分析有助于發(fā)揮中考以評促教和以評促學的作用，幫助大概念融入數(shù)學課堂教學，具有廣泛的現(xiàn)實意義.

1? 基于函數(shù)大概念的研究框架的建構

1.1? 函數(shù)大概念的內(nèi)涵

張翰提出大概念是聯(lián)結學科知識的紐帶，大概念的表現(xiàn)形式是多樣的，其可以是以單詞或短語表達的核心概念，也可以是以句子表達的學科觀點和理論.［4］劉徽認為大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值.［5］眾多學者給出了自己對大概念的理解，其中應用較為廣泛的是如圖1所示的大概念層級體系.［6］

在四個層級中，學科視角所屬的兩個層級較貼近日常教學并易理解其內(nèi)涵，就函數(shù)而言，學科層級包含了一次函數(shù)的概念、性質(zhì)等事實性知識和學科概念（第一層級），也包括一次函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)等內(nèi)涵更為廣泛的核心概念（第二層級）.跨學科視角下的層級更是如火如荼地被教育學者所討論，函數(shù)作為描述“變化”的數(shù)學內(nèi)容，其中便有較多的跨學科背景，常與物理、化學和體育等學科基礎知識相結合.而第四層級則指向學科內(nèi)容中內(nèi)隱的思想方法，其涉及學科本質(zhì)的方法論、情感態(tài)度和價值觀的討論.基于此，可以給出如圖2所示的函數(shù)大概念層級體系，并以此作為本研究函數(shù)大概念的內(nèi)涵.

1.2? 研究框架的建構

函數(shù)大概念的內(nèi)涵明確了需要從系統(tǒng)的、整體的和關聯(lián)的視角分析中考函數(shù)試題.依據(jù)從理解題目到給出假設，再運用歸納和演繹推理解決問題的基本思考路徑，可以構建如圖3所示的研究框架，研究框架由六個環(huán)節(jié)循環(huán)構成.

在圖3中，核心步驟是函數(shù)大概念的確定，并以此作為整個循環(huán)的循環(huán)節(jié)點，其余的五個步驟都可以回歸到對函數(shù)大概念的環(huán)節(jié).框架圖中各個環(huán)節(jié)并非需要依次進行，每一個環(huán)節(jié)完成后都可以重新回歸到函數(shù)大概念的環(huán)節(jié)，并借助函數(shù)大概念的層級體系進行思考與檢驗.

2? 中考數(shù)學試題研究例析與結論

2.1? 理清邏輯起點和關鍵點，為問題解決過程提供動力和保障

例1? ^^（2023年杭州中考數(shù)學第22題）設二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）.已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應取值如下表所示：

x…-10123…

y…m1n1p…

（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達式；

②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小.

（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍.

2024年第3期復習考試

復習考試2024年第3期

分析? 從題設條件的分析出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)該題主要涉及二次函數(shù)“本身”圖象和性質(zhì)的內(nèi)容，并沒有與其他數(shù)學內(nèi)容相關聯(lián).函數(shù)大概念更多的作為基礎知識、核心概念與一般化的思想方法起著幫助回憶數(shù)學內(nèi)容和熟練運用函數(shù)知識的作用.為問題解決過程提供邏輯起點和保障.

對第（1）小題進行分析，其主要涉及學科知識層級.該題可以直接用較為熟悉的代入式子列方程的路徑求得其一般式的系數(shù)并確定范圍，也可以先通過函數(shù)大概念中關于對稱性、單調(diào)性的性質(zhì)找到其對稱軸作為突破口，即可減少運算量解決問題.對第（2）小題的分析則需要一般性的函數(shù)思想方法出發(fā)，函數(shù)大概念更多起著一般化地看待一類問題的思想作用，利用函數(shù)的性質(zhì)的核心概念，借助對稱性求得m=p，即只有n為正.以此明晰問題解決過程的邏輯起點和關鍵點，即可列出不等式組求解.

2.2? 關聯(lián)不同主題和內(nèi)容領域知識，使問題解決過程具備結構性和整體性

例2? ^^（2023年金昌中考數(shù)學第27題）如圖4，拋物線y＝-x2+bx與x軸交于點A，與直線y＝-x交于點B（4，-4），點C（0，-4）在y軸上.點P從點B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運動，運動到點O時停止.

（1）求拋物線y＝-x2+bx的表達式；

（2）當BP＝2時，請在圖4中過點P作PD⊥OA交拋物線于點D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由；

（3）如圖5，點P從點B開始運動時，點Q從點O同時出發(fā)，以與點P相同的速度沿x軸正方向勻速運動，點P停止運動時點Q也停止運動.連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值.

分析? 該題涉及函數(shù)主題下的不同內(nèi)容，分別是二次函數(shù)與一次函數(shù).函數(shù)常與幾何內(nèi)容相結合，如圓和四邊形等，不同函數(shù)之間的聯(lián)系也是中考考查的重點.此題需要以函數(shù)思想方法為統(tǒng)領，從題設條件出發(fā)，借助函數(shù)大概

念

的層級體系，找到兩個函數(shù)之間的聯(lián)系.同時以學科層級為著力點，整體地、聯(lián)系地看待兩個函數(shù)之間的聯(lián)系，進而求解.

第（1）小題，借助函數(shù)的定義，利用待定系數(shù)法將B點坐標代入拋物線y＝-x2+bx中，即可求解.第（2）小題，需要從題目條件出發(fā)，挖掘函數(shù)的性質(zhì)核心概念下的基礎定理，通過作輔助線把幾何結構或者定理成立需要的條件進行補全，求出PD的長，

證明PD＝OC，PD∥OC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證.第（3）小題，找出變化過程中的不變性，函數(shù)大概念中的轉換思想強調(diào)解決變化問題往往需要借助不變的量，故完成符合條件的圖象后，可以構造全等三角形，CP+BQ的最小值即可以轉換為定長的線段，根據(jù)勾股定理求出長度即可.

2.3? 把握跨學科背景與概念，讓問題解決過程貼近生活和現(xiàn)實

例3? ^^（2023年北京中考數(shù)學第25題）某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略，部分內(nèi)容如下.每次清洗1個單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800，要求清洗后的清潔度為0.990.

方案一：采用一次清洗的方式.

結果：當用水量為19個單位質(zhì)量時，清洗后測得的清潔度為0.990.

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為x1個單位質(zhì)量，第二次用水量為x2個單位質(zhì)量，總用水量為（x1+x2）個單位質(zhì)量，兩次清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實驗數(shù)據(jù)如下.

x111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

x20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以上實驗數(shù)據(jù)進行分析，補充完成以下內(nèi)容.

（1）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“”；

（2）通過分析（1）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量x1和總用水量x1+x2之間的關系，在平面直角坐標系xOy中畫出此函數(shù)的圖象；

結果：結合實驗數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當?shù)谝淮斡盟考s為??? 個單位質(zhì)量（精確到個位）時，總用水量最小.

根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)和結果，解決下列問題：

①當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約??? 個單位質(zhì)量（結果保留小數(shù)點后一位）；

②當采用兩次清洗的方式時，若第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C??? 0.990（填“＞”“＝”或”＜”）.

分析? 本題是一道跨學科背景下的函數(shù)問題.故在思考本題時需要借助函數(shù)大概念中的跨學科層級，明確跨學科概念在問題解決過程中的作用，回憶已有的生活經(jīng)驗，使問題解決過程貼近生活經(jīng)驗和現(xiàn)實情境，不會感到陌生與被動，從而解決問題.

對（1）和（2）小題，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點連線即可做出函數(shù)圖象，再結合函數(shù)圖象找到最低點求解.這里需要借助函數(shù)大概念學科層級中的函數(shù)圖象的核心概念對該題跨學科背景進行理解，意識到需要采用描點法解決問題.剩下兩題主要考查跨學科概念的理解，從生活實際出發(fā)，借助函數(shù)圖象求解即可.

3? 教學啟示

3.1? 明確函數(shù)大概念在問題解決中的核心地位

問題解決需要有嚴密的邏輯鏈條，但在實際考查中，可以發(fā)現(xiàn)學生往往對邏輯起點和關鍵點無從下手，在得知完整的解決過程后又幡然醒悟，感嘆問題解決的巧妙.此問題出現(xiàn)的主要原因是學生對函數(shù)大概念的內(nèi)涵和層級體系并不明晰，且對自己所處的困境并無察覺，此類情況下，教師必須明確函數(shù)大概念在問題解決過程中的核心地位，以此強調(diào)僅僅借助學科層級

能解決的

問題是極為有限的，讓學生在學習中開闊思維，不局限于基礎知識的“狹小胡同”.

3.2? 明晰函數(shù)大概念在問題解決中的引領作用

現(xiàn)有的問題解決教學范式強調(diào)先于知識前提出問題，以問題為學生學習知識的驅動器，一改課堂教學先有知識后解決問題的路徑，但是在整個過程仍舊需要明晰大概念在整個過程中的引領作用，其基礎知識和核心概念可以遲于問題的提出，但是函數(shù)思想等卻引領問題提出的過程.

3.3? 加強函數(shù)大概念在問題解決中與現(xiàn)實經(jīng)驗的聯(lián)系

問題解決并非埋頭苦干，而是源于自己的生活經(jīng)驗，跨學科背景和概念等不僅僅從課堂中獲得，更需要明確的是，生活經(jīng)驗也是學習過程的一個重要環(huán)節(jié).函數(shù)大概念所具有的一大特征即是與生活密切相關，在問題解決過程中，教師需要從生活中提取真正存在的問題，而非憑空杜撰，才能落實函數(shù)大概念引領下的數(shù)學課堂教學.

參考文獻

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