一堂高三數學試卷評講課引發的探究與思考

尤娜 余超 趙思林

摘? 要：2024屆某市高三第一次診斷性考試理科數學試題是一套頗有新意且有一定難度的好試題.筆者對某校高三部分學生此次考試情況做了調查，發現其中幾道小題的得分率比較低，在試卷評講課上對這幾道小題做了探究，并引發了一系列的思考.

關鍵詞：高三數學；試卷評講課；探究；思考

2024屆某市高三第一次診斷性考試理科數學試題是一套頗有新意的試題，據考生和老師反映，這套試題中有幾道小題頗有新意且有一定難度.通過聽

幾位一線教師的評講課并觀察學生的課堂表現，發現：不少學生并未充分理解問題的本質，且對有關概念、性質、數式等的多元表征存在障礙.因此，對這幾道小題進行探究與教學思考是有意義的.

1? 三道小題的簡介

本次診斷性考試的理科數學試題內容主要是代數和導數知識，未對概率統計、立體幾何、解析幾何、復數等內容進行考查，但試題難度整體偏大

.通過對某校高三學生此次考試情況的分析，發現第10，12，16這三道小題的得分率很低，幾位教師對這三道小題做了重點評講.

2? 解題方法的探究

下面給出的解題思路不同于評講課老師的解題思路.

第10題：命題p：“若△ABC與△DEF滿足AB=DE=x，BC=EF=2，cos A=cos D=45，則△ABC≌△DEF.”已知命題p是真命題，則x的值不可以是（? ）.

A. 1? B. 2? C. 103? D. 73

分析1：此題的本質是考查確定三角形的條件，利用余弦定理和驗算法，其思維量和運算量相對其他方法較小.

解：設AC=DF=b（b>0）.

由cos A=cos D=45和余弦定理，得b2+x2-2bx·45=4，整理，有b2-85xb+x2-4=0.

對于A，當x=1時，b2-85b-3=0只有一個正實數根，符合題意.

對于B，當x=2時，b2-165b=0只有一個正實數根，符合題意.

對于C，當x=103時，b2-163b+649=0只有一個正實數根，符合題意.

對于D，當x=73時，b2-5615b+139=0有兩個正實數根，所以x的值不可以是73.故選D.

分析2：有兩位教師評講時都采用了正弦定理和驗算法.由題知，sin Cx=sin A2，得到sin C=3x10.再用驗算法對x分情況討論即可，具體步驟從略.學生若運用此思路，則需從sin C=3x10解出C，分情況討論，這對多數學生來說是一大難點.此外，由cos A=45和sin C=3x10，對A和C的范圍作比較精確的估計，也是一個難點.

評注：很多學生由于讀不懂題意，所以無從下手導致錯誤.本題以兩個三角形的全等為背景，考查確定三角形的條件.因此，問題可等價轉化為判斷△ABC的邊b的長有唯一的正實數解，而利用驗算法和余弦定理的思路相對其他方法是比較直觀易懂的.

第12題：已知函數f（x）=4cosωx-π12（ω>0），f（x）在區間0，π3上的最小值恰為-ω，則所有滿足條件的ω的積屬于區間（? ）.

A. （1，4］

B. ［4，7］

C. （7，13）

D. ［13，+∞）

分析：閉區間上的連續函數的最值一般在端點或頂點處取得.對于本題，函數f（x）的最小值可能在x=0或x=π3或ωx-π12=π處取得.

2024年第3期復習考試

復習考試2024年第3期

解：

當x=0時，f（x）=4cos-π12=-ω<0，矛盾，故x=0應舍去.

當x=π3時，f（x）=4cosπ3ω-π12=-ω，此時，π3ω-π12必須落在減區間π2，π之內，則存在ω1，且74<ω1<134.

當ωx-π12=π時，由x∈0，π3，得-π12≤ωx-π12≤π3ω-π12，從而

f（x）=4cos π=-ω.

解得ω=4，且ω滿足上述不等式，即存在唯一的ω2=4.

故ω1ω2∈（7，13）.故選C.

評注：本題作為選擇題的壓軸題，涉及分類討論、整體代換、數形結合等思想方法的綜合應用，難度較高，因此多數同學感到困難.該題若利用高等數學的結論“閉區間上的連續函數的最值一般在端點或頂點處取得”，可快速判斷函數最值的取點情況，從而進行分類討論求解.這樣既能提高做題效率，又能避免手繪簡圖造成的誤差.因此，教師教學時不可局限于課本知識的講解，還要注重數學知識、數學方法、數學思想的拓展.但在解題過程中會遇到一個超越方程4cosπ3ω-π12=-ω的解的存在性問題.此問題有三種解題思路：一是令t=π3ω-π12，將超越方程的求根問題轉化為余弦函數y=4cos t與直線y=-3πt-14在t∈π2，π是否有唯一交點的問題.只要學生能比較準確地畫出它們的圖象，此問題即可解決.二是構造函數h（ω）=4cosπ3ω-π12+ω，并用零點存在定理予以解決.三是運用整體思維，將π3ω-π12限制在y=4cos t的減區間π2，π內，就可減少計算量.易見，最后一種方法較為簡潔.

第16題：已知函數f（x），g（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x+6），f（2-x）+g（x）=4，若g（x+1）為奇函數，f（2）=3，則31k=1g（k）的值為??? .

分析1：本題涉及兩個抽象函數，可考慮先消去一個抽象函數，如消去g（x）.

需注意，“g（x+1）為奇函數”有無窮多個等價的代數表達式.比如，g（x+1）為奇函數g（-x+1）=-g（x+1）g（2-x）=-g（x）等.

解法1：由g（x+1）為奇函數知，g（-x+1）=-g（x+1）.①

由f（2-x）+g（x）=4可知，

f（1-x）+g（x+1）=4，②

由②，得f（1+x）+g（-x+1）=4.③

由①③，得f（1+x）-g（x+1）=4，

即f（x）-g（x）=4.④

由f（2-x）+g（x）=4與④相加，得f（2-x）+f（x）=8，

即f（2+x）+f（-x）=8.⑤

再由f（-x）=f（x+6）知，

f（2+x）+f（x+6）=8，

即f（x）+f（x+4）=8.⑥

即f（x+8）=8-f（x+4）=f（x）.

可得f（x）的一個周期為8.

在⑥中分別取x=1，2，3，4，則有

f（1）+f（5）=8，f（2）+f（6）=8，f（3）+f（7）=8，f（4）+f（8）=8，

所以8k=1f（k）=32.

將x=-2代入題設條件，f（2）=f（4）.

由已知f（2）=3，得f（4）=3.

所以f（32）=f（8）=8-f（4）=5.

故31k=1g（k）=31k=1f（k）-4×31=48k=1f（k）-f（32）-4×31=4×32-5-4×31=-1.

分析2：采用消元法，如消去f（x）.

解法2：由題知，f（-x）=f（x+6）f（x）=f（6-x）.①

g（x+1）為奇函數g（2-x）=-g（x）.②

f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4.

所以f（x）-g（x）=4.③

由①③消去f（x），易得g（x）=g（6-x）.

由②，得-g（2-x）=g（x）=g（6-x）.

所以g（x+4）=-g（x）.④

故g（x+8）=-g（x+4）=g（x）.

所以函數g（x）的一個周期為8.⑤

由④，得g（x）+g（x+4）=0.⑥

在⑥中分別取x=1，2，3，4，則有

g（1）+g（5）=0，g（2）+g（6）=0，g（3）+g（7）=0，g（4）+g（8）=0.

即32k=1g（k）=48k=1g（k）=0.

將x=2代入①，得f（4）=f（2）=3.

再由③⑤知，g（32）=g（8）=-g（4）=4-f（4）=1.

故31k=1g（k）=32k=1g（k）-g（32）=48k=1g（k）-1=-1.

分析3：采用數形結合法.

解法3：由已知

f（-x）=f（x+6），

可得函數f（x）的圖象關于直線x=3對稱.①

由題知，g（x+1）為奇函數.

故函數g（x）的圖象關于點（1，0）中心對稱.②

由②可知，g（2-x）=-g（x）.③

由②，g（1）=0，且f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4，f（x）-g（x）=4，即f（x）=g（x）+4.④

由①和④，得g（x）的圖象關于直線x=3對稱.⑤

又由②和⑤，得g（x）的一個周期為8.

將x=2代入④，得g（2）=f（2）-4=-1.

又由③，得g（0）=-g（2）=1.

以下同解法2.

評注：本題是涉及2個抽象函數，共有6個條件的復雜問題，其抽象度很高，難度較大，得分率較低.多數學生對此題的解答感到困難，究其原因是沒有較好地領悟其本質及幾何意義，難以形成函數對稱性的多種代數表達形式，并不易發現其幾何意義，從而學生難以生成

解決問題的認知圖式.因此，建議教師講解題目時，應放緩教學進度，讓學生充分思考，并多角度表征數學概念和公式，讓學生對問題具有豐富的感性認識.解答本題的關鍵是找到f（x）和g（x）的關系，即f（x）-g（x）=4.

3? 對評講課的思考

3.1? 調查學情，面向全體

學情調查與分析作為教學設計的前期工作，是教師有效教學的前提，是提升課堂教學效率的必要基礎.學情分析的方法有很多，如問卷調查、觀察記錄、小組討論、訪談等.學情調查與分析有以下目的：一是為了精準定位學生當前的知識儲備、解題能力、思維水平等，明確學生的差異化需求；二是為了學生面對大型考試應表現出良好心態和抗壓能力，有針對性地調整學生心態；三是為了對學生進行一個綜合評價，為學生制定個性化備考方案和學習計劃，確保全體學生能有效

地

參與后續學習.依據學情調查與分析，教師可更好地

提供給

學生

適合的

差異化學習需求，可更好地

分析

學生經驗基礎而提供學習素材，可更好地針對學生的薄弱環節設計不同

的

教學方法.

3.2? 講簡講透，揭示本質

通過觀察幾位老師的評講課，發現存在解題思路單一、解題方法煩瑣、解題過程冗長、局限于試題講解、未能對知識進行回顧和拓展等問題.試題的評講課應該具有兩個作用：一是讓學生知其然更知其所以然，即講清試題來源，揭示試題本質，讓學生明白試題是由什么數學核心知識、普適方法和重要思想所構建而成；二是讓學生的深度學習真正發生，即挖掘試題中的隱性知識，豐富試題條件的數學表征，讓學生加深理解，建立內在聯系，促進問題解決圖式的生成.因此，評講課教學應注意以下幾點：一是講簡單，即講清問題的本質特征、知識的底層邏輯；二是講要點，即知識的重難點、概念的辨析點、運算的易錯點、方法的關鍵點、思維的轉折點等；三是講變式，即通過變換試題的已知條件、問題情境、設問方式等，做到“一題多變”“一題多用”“多題一解”“一法多用”等.

3.3? 指向創新，發展素養

創新素養是數學核心素養的靈魂.指向創新素養培養的評講課才是高質量的評講課.數學創新具有自組織性［1］，即創新是學生在綜合運用數學“四基”去分析和解決現實情境或數學問題的自組織過程中生成的.因此，數學創新是學生組織數學資源并創造性地運用資源解決新穎問題的過程和結果.“指向創新，發展素養”的數學評講課需做到以下幾點：一是自組織性，即在教師啟發、點撥、指導等外力作用下，讓學生在感知題意、探索思路、選擇方法、書寫表達等解題過程中盡可能實現自組織化；二是創新性，即學生在靈活運用“三基”基礎上能提供創新、新穎、簡潔的非常規解法；三是遷移性，即將數學問題遷移到不同情境中，如跨學科情境和現實情境；四是拓展性，即學生能對已有問題進行變式、拓展和推廣，發現并提出新的問題；五是批判性，批判孕育創新［2］，即學生在對自己的解題行為的反思、批判等過程中實現創新.

參考文獻

［1］趙思林，高崢，熊露.數學核心素養的內涵探究［J］.內江師范學院學報，2020，35（6）：12-17.

［2］尤娜，趙思林.批判性思維的心理過程及對數學教學的啟示［J］.內江師范學院學報，2023，38（10）：1-6.