數(shù)學(xué)例題：價值功能及其過程性教學(xué)案例

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1.問題的提出

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常見的形式之一，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義．通過例題教學(xué)，可以更好地幫助學(xué)生學(xué)會解題作答的基本規(guī)范，了解問題的解決思路，鞏固數(shù)學(xué)概念和基本技能．并且進一步完善思維方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)內(nèi)涵本質(zhì)，進而不斷地發(fā)展提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

現(xiàn)實的教學(xué)中，課堂上存在偏面追求例題講解的數(shù)量，而忽視了例題內(nèi)在價值的發(fā)掘；偏面追求題型的覆蓋，而忽視了問題內(nèi)在本質(zhì)及聯(lián)系的揭示；偏面追求解題的技巧和速度，而忽視了通性通法的本源思維；追求表面的課堂效率，而忽視了學(xué)生的思維節(jié)奏和真實參與等現(xiàn)象．

2.數(shù)學(xué)例題的教學(xué)價值功能及選取

數(shù)學(xué)例題的基本功能有：示范功能，反饋功能，鞏固功能，拓展功能［1］．例題教學(xué)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供空間平臺，教師應(yīng)該重視例題的過程性教學(xué)，充分發(fā)揮例題教學(xué)在提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育教學(xué)作用．

（1）選取的例題要具有示范性，表現(xiàn)為：知識運用的示范引領(lǐng)，解題程序與表述規(guī)范的示范引領(lǐng)，學(xué)習(xí)如何解題的示范引領(lǐng)．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個模仿的過程，例題教學(xué)不是教師在課堂上的獨角戲，而是教師精心準備、引領(lǐng)下的師生共同思考探究活動．教師起到引領(lǐng)示范作用，包括作答的條理規(guī)范，真實思維的暴露，乃至思考受阻等．

（2）選取的例題具有一定的層次性，低起點高立意，由淺入深，照顧到全體學(xué)生，幫助學(xué)生在掌握知識技能的同時，進一步感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗．

（3）選取的例題具有一定的典型性，例如用于復(fù)習(xí)教學(xué)的例題，應(yīng)關(guān)注知識的系統(tǒng)性，這樣可以更好地幫助學(xué)生了解知識間的內(nèi)在聯(lián)系和脈絡(luò)，完善學(xué)生的知識體系，提高復(fù)習(xí)的牢固性和有效性．

總之，在例題教學(xué)過程中，教師要有所選擇，針對學(xué)生的具體學(xué)情，選用或改編恰當(dāng)?shù)睦}．什么是好的數(shù)學(xué)例題呢？判斷一道好的數(shù)學(xué)題，一般有兩個重要的標準：一是不以繁雜的計算、特殊的技巧取勝；二是具備一定的洞察力，掌握有關(guān)知識的思想本質(zhì)，才能找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案［2］．

3.新課標下過程性教學(xué)的認識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握知識，還要經(jīng)歷知識的形成過程，理解知識的本質(zhì)，提高發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力．”［3］這就需要開展過程性教學(xué)，以實現(xiàn)學(xué)生真正意義上的學(xué)習(xí)．

過程性教學(xué)原則是由當(dāng)代數(shù)學(xué)教育研究工作者何良仆先生提出的.他認為數(shù)學(xué)教學(xué)必須以知識的發(fā)生發(fā)展和認知形成的內(nèi)在聯(lián)系為線索，充分展現(xiàn)和經(jīng)歷其中的思維活動，使學(xué)生真正參與到發(fā)現(xiàn)和思考的過程中來［4］．

學(xué)生始終是過程性教學(xué)中的主體，組織學(xué)生參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，基于高中生數(shù)學(xué)元認知基礎(chǔ)開展過程性教學(xué)，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，利用例題的示范引領(lǐng)功能，盡量發(fā)揮其潛在的教學(xué)價值，以例啟思、以例促思、以例帶類．

下面以課堂例題教學(xué)的兩個案例實踐，供交流．

4.數(shù)學(xué)例題過程性教學(xué)的案例及分析

案例1 （高一新授課）比較（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小．（人教A版·數(shù)學(xué)·必修第一冊P38頁·例1）

（1）分析引導(dǎo)：通過考察這兩個多項式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．

意圖：讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，明確掌握解題的方法．

（2）解題前設(shè)問：你能估計兩多項式的大小是確定的，還是隨x的不同取值而變化的？

意圖：引起學(xué)生的關(guān)注和思考，將學(xué)生的目光聚焦多項式的結(jié)構(gòu)特征，有所發(fā)現(xiàn)：兩多項式之差是常數(shù)2．

（3）解題示范：

解：（x+2）（x+3）－（x+1）（x+4）=（x2+5x+6）－（x2+5x+4）=2>0．所以，（x+2）（x+3）>（x+1）（x+4）．

意圖：通過例題分析教學(xué)，使學(xué)生牢固掌握作差比較大小的處理方法，特別地，要將作差運算結(jié)果進行到底，解題前的設(shè)問，培養(yǎng)學(xué)生解題觀察的自覺意識．

學(xué)生真正的理解掌握，可以較好地實現(xiàn)解題思考遷移，在日后的考試中得以體現(xiàn)，如下的兩題學(xué)生作答情況良好．

意圖：對于高一新生，規(guī)范的作答表述，清晰的解題邏輯呈現(xiàn)，這些培養(yǎng)很重要．

題2 函數(shù)y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在［－3，3］上的最小值為（ ）.

A. 2B.3C.4 D.5

考后反饋：學(xué)生基本都能發(fā)現(xiàn)y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5=［（x+1）（x+4）］］［（x+2）（x+3）］+5的變形處理，整體答題情況好于其他班級．

這是2022年全國新高考Ⅰ卷第22題的變式題：

設(shè)函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，與其他兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．

意圖：交代例題出處，引起學(xué)生的注意和重視，為學(xué)生投入思考營造良好氛圍．

教學(xué)進程：引導(dǎo)學(xué)生直覺預(yù)判a>0，進行思辨分析，若a≤0，則函數(shù)f（x）、g（x）在各自的定義域上均不存在最小值，不符合題設(shè)要求．

意圖：例題呈現(xiàn)后，教師應(yīng)該留出時間，讓學(xué)生讀題、觀察、思考和直覺感知，一方面對問題保留深刻的印象，另一方面在此過程中，積極聯(lián)想，尋求解題思路．

根據(jù)學(xué)生的思考反應(yīng)，總結(jié)得解題思路：分別探討求解f（x）、g（x）的最小值，結(jié)果用a表示，根據(jù)題意，得到關(guān)于a的方程，解方程得a的值．

對于函數(shù)g（x），g′（x）=ex－a，若a≤0，則g′（x）>0，此時g（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則不存在最小值；a>0時，由g′（x）=0，得x=lna，此時，當(dāng)x∈（－∞，lna）時，g′（x）<0，x∈（lna，+∞）時，g′（x）>0，即函數(shù)g（x）在（－∞，lna）上單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．所以g（x）min=g（lna）=a－alna．

意圖：縱觀上述求解過程，涉及了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等常見初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，需要學(xué)生牢固、熟練地掌握，．而對于參數(shù)取值的變化所引起的函數(shù)單調(diào)性探討，需要學(xué)生具有提前判斷的預(yù)感，從而作答邏輯清晰，思維順暢．

分析引導(dǎo)：面對的不是常見可以直接求解的不等式，我們采取的解題策略是，根據(jù)未知量的取值可能，分類探索，逐步分析推進，教學(xué)中與學(xué)生一起回顧函數(shù)零點存在定理．

知識回顧及延拓：人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊P143頁：

一般地，由函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的解．

順勢拓展：函數(shù)、方程、不等式是代數(shù)中有機聯(lián)系的整體，函數(shù)零點也就是相應(yīng)方程的解，而不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，便可順利地納入同一個系統(tǒng)中．

在函數(shù)零點存在定理的基礎(chǔ)上，加以延伸，若函數(shù)y=f（x）在［a，b］上是單調(diào)遞增，且c∈（a，b），使得f（c）=0，我們不難得到f（x）<0的解集是［a，c），f（x）>0的解集是（c，b］．繼續(xù)補充完善，若在函數(shù)零點某側(cè)是不單調(diào)的，可以通過相應(yīng)的極大值小于零（或極小值大于零），如圖1，學(xué)生不難理解．因此，在適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時機，順勢拓展，深化、完善學(xué)生的知識體系是自然而然的，教師理應(yīng)培養(yǎng)相應(yīng)的教學(xué)機智，提高課堂教學(xué)效率．

積極觀察聯(lián)想，函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的切線不等式ex≥

意圖：復(fù)習(xí)回顧函數(shù)零點存在定理，并在此基礎(chǔ)上進行延拓，得到不等式處理的方法．在判斷導(dǎo)函數(shù)h′（x）的符號時，利用ex≥ex來突破解題難點，提升學(xué)生的深刻洞察和深度思維的能力．

別樣視角：數(shù)學(xué)審美角度：靈活變形轉(zhuǎn)化，以美啟真，直達問題本質(zhì)：已知函數(shù)值的大小，逆向探討相應(yīng)變量的大小．

意圖：在過程性教學(xué)中，教師要娓娓道來，自然流暢，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)對象中的特別之處，教師要經(jīng)常就數(shù)學(xué)內(nèi)容問諸如“這樣的表達與那樣的表達有什么不同？”“這樣的證明和那樣的證明相比有什么區(qū)別？”“這樣的方法和那樣的方法相比有什么特別之處”等問題，使得學(xué)生能夠觀察數(shù)學(xué)對象所具有的特別之處．這樣的過程性教學(xué)更好地體現(xiàn)學(xué)生和數(shù)學(xué)對象相互作用的過程．

5.結(jié)束語

數(shù)學(xué)例題教學(xué)設(shè)計不是教師單一的、線性的、一廂情愿的活動，要考慮教學(xué)的內(nèi)容和目標，教學(xué)中活動的主體——學(xué)生．從學(xué)生的實際出發(fā)，設(shè)計應(yīng)處在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的學(xué)習(xí)任務(wù)，采取有步驟地設(shè)置思維障礙等方法，鋪設(shè)恰當(dāng)?shù)恼J知臺階，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．

過程性教學(xué)，要關(guān)注學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平，更要關(guān)注學(xué)生成長和發(fā)展的過程；不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展和變化．

眾所周知，學(xué)生的思維是在學(xué)習(xí)的過程中逐漸得到發(fā)展的，而現(xiàn)實的教學(xué)往往忽視教學(xué)的過程屬性，教師把自己的思路和想法直接拋給學(xué)生，影響了實際教學(xué)效果．因此，教師在實施例題教學(xué)時，應(yīng)該有意識地關(guān)注學(xué)生的過程性參與，關(guān)注學(xué)生的理解達成情況，必要時作出相應(yīng)的教學(xué)調(diào)整．

參考文獻

［1］ 陳佳敏，馬文杰．?dāng)?shù)學(xué)例題：內(nèi)涵、功能及其設(shè)計策略研究［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中版），2022，（13）4-9．

［2］曹廣福．跳出機械化技巧，深挖知識背后的思想——一道2023年數(shù)學(xué)高考壓軸題的解法比較及其教學(xué)啟示［J］，教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（6）5-8．

［3］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］．北京：人民教育出版社，2020．5．

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